Übungsaufgaben zum Entwurf von Synchronzählern

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Bauplan: Halte Dich an Aufbau, Kompetenzstufen, Operatoren,
Anforderungsbereiche, Punkte und Zeitschätzung, die im Artikel
https://oer-informatik.de/aufgaben-aufbau beschrieben sind.

Fachliche Grundlage:
- https://oer-informatik.de/synchronzaehler
- https://oer-informatik.de/zaehler-schieberegister
- https://oer-informatik.de/zahlensysteme-codes
- Stilbeispiel: https://oer-informatik.de/synchronzaehler-uebungsaufgaben

Die Aufgaben sollen Inhalte zu diesen Schlagwörtern abdecken:
- Synchronzähler
- disjunktive Normalform
- konjunktive Normalform
- KV-Diagramm
- Gray-Code
- Glixon-Code
- BCD-Zähler
- JK-Flipflop
- Koeffizientenvergleich
- Signallaufzeit

Kompetenzstufe: Kernkompetenz (alternativ: Basiskompetenz, Profilkompetenz, Expertise)
Anzahl: 1 Aufgabe mit Teilaufgaben
Bearbeitungszeit in Minuten ca.: <5 bis 30 min>
Szenario: eines der Szenarien aus dem Bauplan

Vorgehen:
1. Lies zuerst die verlinkten Artikel. Kannst Du keine Webseiten
   abrufen, sag mir das, statt zu raten.
2. Steht bei einer Angabe noch ein Platzhalter in <…>, frag mich
   zuerst danach. Richte Punkte und Zahl der Teilaufgaben nach der
   Bearbeitungszeit (ca. 0,9 min je Punkt).
3. Gib je Aufgabe Titel mit Kompetenzstufe, Ausgangssituation und
   Teilaufgaben mit Operator und Punktzahl aus, dazu die geschätzte
   Bearbeitungszeit.
4. Gib die Beispiellösungen mit Punkteverteilung erst aus, wenn ich
   danach frage.

Geg.: Lüfter läuft bei geschlossener Tür (D = 0) und (H = 1 oder T = 1)

Ges.: Spalte Y

(je zwei richtige Zeilen ca. 1 Punkt, insgesamt 3 Punkte)

Ges.: DNF von Y

Einsen in den Zeilen 2, 4 und 6; je Zeile ein Minterm, Variable mit 0 negiert (je Minterm 1 Punkt):

\underline{\underline{Y = \overline{H}\,T\,\overline{D} \vee H\,\overline{T}\,\overline{D} \vee H\,T\,\overline{D}}}

Ges.: KNF von Y

Nullen in den Zeilen 0, 1, 3, 5 und 7; je Zeile ein Maxterm, Variable mit 1 negiert:

\underline{\underline{Y = (H \vee T \vee D)(H \vee T \vee \overline{D})(H \vee \overline{T} \vee \overline{D})(\overline{H} \vee T \vee \overline{D})(\overline{H} \vee \overline{T} \vee \overline{D})}}

(Maxterm-Regel 1 Punkt, fünf richtige Maxterme 2 Punkte)

Ges.: Begründung; vereinfachte Gleichung

Die DNF hat so viele Terme wie Einsen (3), die KNF so viele wie Nullen (5). Die DNF ist deshalb kürzer (1 Punkt).

\begin{aligned} Y &= \overline{D}\,(\overline{H}\,T \vee H\,\overline{T} \vee H\,T) && \overline{D} \text{ ausklammern} \\ &= \overline{D}\,(\overline{H}\,T \vee H) && H\overline{T} \vee HT = H \\ &= \overline{D}\,(T \vee H) && \text{Hilfsregel} \end{aligned}

\underline{\underline{Y = \overline{D}\,(H \vee T)}}

(Rechenweg 1 Punkt, Ergebnis 1 Punkt) Kontrolle: Der Lüfter läuft bei geschlossener Tür, wenn Hand oder Temperatur meldet, genau wie gefordert.

Geg.: Einsen in den Feldern 0, 1, 2, 5, 8, 9, 10, 13

Ges.: ausgefüllte KV-Tafel

(Feldnummern richtig zugeordnet 1 Punkt, Werte 2 Punkte)

Ges.: Blöcke, minimale DNF

• Vier Ecken (Felder 0, 2, 8, 10): Die Ecken sind über den oberen/unteren und den linken/rechten Rand benachbart. Konstant sind C = 0 und A = 0: \overline{C}\,\overline{A} (2 Punkte).

• Spalte 01 (Felder 1, 5, 13, 9): konstant B = 0 und A = 1: \overline{B}\,A (2 Punkte).

\underline{\underline{Y = \overline{C}\,\overline{A} \vee \overline{B}\,A}}

(1 Punkt)

Ges.: minimale KNF

Die Nullen bilden zwei Viererblöcke:

• Spalte 11 (Felder 3, 7, 15, 11): konstant B = 1, A = 1. Im ODER-Term stehen Variablen mit 1 negiert: (\overline{B} \vee \overline{A}) (2 Punkte).

• Zeilen 01 und 11, Spalten 00 und 10 (Felder 4, 6, 12, 14, über den linken/rechten Rand): konstant C = 1, A = 0: (\overline{C} \vee A) (2 Punkte).

\underline{\underline{Y = (\overline{C} \vee A)(\overline{B} \vee \overline{A})}}

Kontrolle: Ausmultipliziert ergibt sich \overline{C}\,\overline{B} \vee \overline{C}\,\overline{A} \vee A\overline{B}; der Term \overline{C}\,\overline{B} ist nach der Konsensregel überflüssig, es bleibt die minimale DNF aus b).

Geg.: Gray-Folge 000, 001, 011, 010, 110, 111, 101, 100, wieder 000

Ges.: Folgezustände

(je zwei richtige Zeilen 1 Punkt) Zum Prüfen: In jeder Zeile unterscheiden sich Zustand und Folgezustand in genau einem Bit.

Ges.: KV-Tafeln und vereinfachte Folgezustandsgleichungen

• Q_2^+: Block Spalte 10 (Q_1\overline{Q_0}) und Block Zeile 1, Spalten 01 und 11 (Q_2Q_0).

• Q_1^+: Block Spalte 10 (Q_1\overline{Q_0}) und Block Zeile 0, Spalten 01 und 11 (\overline{Q_2}\,Q_0).

• Q_0^+: Block Zeile 0, Spalten 00 und 01 (\overline{Q_2}\,\overline{Q_1}) und Block Zeile 1, Spalten 11 und 10 (Q_2Q_1).

\underline{\underline{Q_2^+ = Q_2Q_0 \vee Q_1\overline{Q_0} \qquad Q_1^+ = \overline{Q_2}\,Q_0 \vee Q_1\overline{Q_0} \qquad Q_0^+ = Q_2Q_1 \vee \overline{Q_2}\,\overline{Q_1}}}

(je Tafel 1 Punkt, je Gleichung 1 Punkt)

Ges.: J_i, K_i

Charakteristische Gleichung: Q^+ = J\overline{Q} \vee \overline{K}\,Q. Jede Folgezustandsgleichung wird in die Form (\ldots)\,\overline{Q_i} \vee (\ldots)\,Q_i gebracht; Terme ohne Q_i kommen in beide Klammern.

Flipflop 2: Q_1\overline{Q_0} enthält kein Q_2:

Q_2^+ = Q_1\overline{Q_0} \cdot \overline{Q_2} \vee (Q_0 \vee Q_1\overline{Q_0}) \cdot Q_2 = Q_1\overline{Q_0} \cdot \overline{Q_2} \vee (Q_0 \vee Q_1) \cdot Q_2

\underline{\underline{J_2 = Q_1\overline{Q_0}}} \qquad \overline{K_2} = Q_0 \vee Q_1 \;\Rightarrow\; \underline{\underline{K_2 = \overline{Q_1}\,\overline{Q_0}}}

Flipflop 1: \overline{Q_2}\,Q_0 enthält kein Q_1:

Q_1^+ = \overline{Q_2}\,Q_0 \cdot \overline{Q_1} \vee (\overline{Q_2}\,Q_0 \vee \overline{Q_0}) \cdot Q_1 = \overline{Q_2}\,Q_0 \cdot \overline{Q_1} \vee (\overline{Q_2} \vee \overline{Q_0}) \cdot Q_1

\underline{\underline{J_1 = \overline{Q_2}\,Q_0}} \qquad \overline{K_1} = \overline{Q_2} \vee \overline{Q_0} \;\Rightarrow\; \underline{\underline{K_1 = Q_2Q_0}}

Flipflop 0: Keiner der beiden Terme enthält Q_0, beide gehören in beide Klammern:

Q_0^+ = (Q_2Q_1 \vee \overline{Q_2}\,\overline{Q_1}) \cdot \overline{Q_0} \vee (Q_2Q_1 \vee \overline{Q_2}\,\overline{Q_1}) \cdot Q_0

\underline{\underline{J_0 = Q_2Q_1 \vee \overline{Q_2}\,\overline{Q_1} = \overline{Q_2 \oplus Q_1}}} \qquad \overline{K_0} = \overline{Q_2 \oplus Q_1} \;\Rightarrow\; \underline{\underline{K_0 = Q_2 \oplus Q_1}}

(je Flipflop 2 Punkte)

Ges.: benötigte Verknüpfungsglieder

• vier UND-Glieder mit zwei Eingängen für J_2, K_2, J_1, K_1 (die negierten Variablen kommen von den \overline{Q}-Ausgängen) (1 Punkt),

• ein Exklusiv-ODER-Glied für K_0 = Q_2 \oplus Q_1 und ein Inverter (oder ein XNOR-Glied) für J_0 (1 Punkt).

Ges.: Nachweis und Begründung

Glixon: 9 = 1000, 0 = 0000, es wechselt nur Q_3 (1 Punkt).

Gray: 9 = 1101, 0 = 0000, es wechseln Q_3, Q_2 und Q_0 (1 Punkt). Liest das Steuergerät im Übergang ab, während die drei Bits nicht exakt gleichzeitig schalten, kann es kurz einen ganz anderen Wert sehen. Der Gray-Code ist nur über alle 16 Werte zyklisch einschrittig, nicht über die ersten zehn (1 Punkt).

Geg.: Glixon-Code-Tabelle

Ges.: Zustandsfolgetabelle

(zehn Folgezustände 3 Punkte, X-Zeilen 1 Punkt) Die Zeilen sind nach dem Dualwert geordnet, damit sie sich direkt in die KV-Tafeln übertragen lassen.

Ges.: KV-Tafeln, J_i, K_i

Vereinfachte Folgezustandsgleichungen (zusammen 2 Punkte):

Q_3^+ = Q_2\overline{Q_1}\,\overline{Q_0} \qquad Q_2^+ = Q_2\overline{Q_3} \vee Q_1\overline{Q_0} \qquad Q_1^+ = \overline{Q_2}\,Q_0 \vee Q_1\overline{Q_0} \qquad Q_0^+ = Q_2Q_1 \vee \overline{Q_3}\,\overline{Q_2}\,\overline{Q_1}

Für J_i zählt nur die Hälfte der Tafel mit Q_i = 0, für K_i die Hälfte mit Q_i = 1 (dort werden die Nullen zusammengefasst); die jeweils andere Hälfte gilt als X. Gleichwertig ist der Koeffizientenvergleich mit Q^+ = J\overline{Q} \vee \overline{K}\,Q, wobei am Ende die X-Felder genutzt werden dürfen.

• Flipflop 3: J_3 aus den Zeilen 00 und 01: einzige 1 im Feld 4, mit dem X in Feld 12 ein Zweierblock: J_3 = Q_2\overline{Q_1}\,\overline{Q_0}. K_3 aus den Zeilen 11 und 10: einzige 0 im Feld 8 (Q_3^+ = 0, also rücksetzen); mit den X-Feldern 9, 10, 11 wird daraus die ganze Zeile 10: K_3 = \overline{Q_2} (2 Punkte).

• Flipflop 2: J_2 aus den Zeilen 00 und 10 (Q_2 = 0): 1 im Feld 2, mit X in Feld 10 ein Zweierblock: J_2 = Q_1\overline{Q_0}. K_2 aus den Zeilen 01 und 11: 0 im Feld 12, mit den X-Feldern 13, 15, 14 die ganze Zeile 11: K_2 = Q_3 (2 Punkte).

• Flipflop 1: J_1 aus den Spalten 00 und 01 (Q_1 = 0): Einsen in Feld 1, Block mit Feld 3 und den X-Feldern 9 und 11 (Spalten 01 und 11, Zeilen 00 und 10): J_1 = \overline{Q_2}\,Q_0. K_1 aus den Spalten 11 und 10: einzige 0 im Feld 7, mit dem X in Feld 15 ein Zweierblock (Zeilen 01 und 11, Spalte 11): K_1 = Q_2Q_0 (2 Punkte).

• Flipflop 0: J_0 aus den Spalten 00 und 10 (Q_0 = 0): Die 1 in Feld 0 bildet mit Feld 1 (andere Hälfte, also X) den Block \overline{Q_3}\,\overline{Q_2}\,\overline{Q_1}; die 1 in Feld 6 bildet mit den X-Feldern 7, 14 und 15 den Block Q_2Q_1: J_0 = Q_2Q_1 \vee \overline{Q_3}\,\overline{Q_2}\,\overline{Q_1}. K_0 aus den Spalten 01 und 11: Die 0 in Feld 3 bildet mit den X-Feldern 2, 10 und 11 den Block \overline{Q_2}\,Q_1, die 0 in Feld 5 mit 4, 12 und 13 den Block Q_2\overline{Q_1}: K_0 = \overline{Q_2}\,Q_1 \vee Q_2\overline{Q_1} = Q_2 \oplus Q_1 (2 Punkte).

\underline{\underline{J_3 = Q_2\overline{Q_1}\,\overline{Q_0},\; K_3 = \overline{Q_2} \qquad J_2 = Q_1\overline{Q_0},\; K_2 = Q_3 \qquad J_1 = \overline{Q_2}\,Q_0,\; K_1 = Q_2Q_0 \qquad J_0 = Q_2Q_1 \vee \overline{Q_3}\,\overline{Q_2}\,\overline{Q_1},\; K_0 = Q_2 \oplus Q_1}}

Ges.: Folgezustände der nicht benutzten Kombinationen; Beurteilung

Beispiel 9 (1001): J_3 = 0, K_3 = \overline{Q_2} = 1 → Q_3 = 0; J_2 = 0 → Q_2 = 0; J_1 = \overline{Q_2}\,Q_0 = 1 → Q_1 = 1; K_0 = Q_2 \oplus Q_1 = 0 → Q_0 bleibt 1. Folgezustand 0011.

(je Kombination ca. 0,5 Punkte, insgesamt 3 Punkte)

Aus jeder nicht benutzten Kombination erreicht der Zähler nach höchstens zwei Takten einen gültigen Zustand und zählt dann im Zählzyklus weiter. Er ist selbststartend, einen Fangzustand gibt es nicht (2 Punkte). Für den Prüfstand sollte er trotzdem beim Einschalten zurückgesetzt werden, damit die Prüfung immer bei Ziffer 0 beginnt.

Geg.: t_\mathrm{pd,max} = 40\ \mathrm{ns}, 4 Stufen

Ges.: Einschwingzeit t_\mathrm{ges}; Übergang

Im ungünstigsten Fall schalten alle vier Stufen nacheinander:

t_\mathrm{ges} = 4 \cdot t_\mathrm{pd,max} = 4 \cdot 40\ \mathrm{ns} = \underline{\underline{160\ \mathrm{ns}}}

(2 Punkte) Das tritt beim Übergang ein, bei dem sich alle Bits ändern, z. B. von 7 auf 8 (0111 → 1000) oder von 15 auf 0 (1 Punkt).

Ges.: f_\mathrm{max} einer synchronen BCD-Stufe

Der längste Weg führt vom Flipflop-Ausgang über das UND-Glied mit drei Eingängen zum J-Eingang, der vor der nächsten Flanke die Vorbereitungszeit einhalten muss (2 Punkte):

T_\mathrm{min} = t_\mathrm{pd,FF} + t_\mathrm{pd,UND3} + t_\mathrm{su} = 40\ \mathrm{ns} + 24\ \mathrm{ns} + 25\ \mathrm{ns} = 89\ \mathrm{ns}

f_\mathrm{max} = \frac{1}{T_\mathrm{min}} = \frac{1}{89\ \mathrm{ns}} = \underline{\underline{11{,}2\ \mathrm{MHz}}}

(2 Punkte) Das Flipflop selbst schafft mindestens 25 MHz; begrenzend ist also der Signalweg mit 11,2 MHz (1 Punkt).

Ges.: f_\mathrm{max} bei seriellem Übertrag

Der Weg führt jetzt durch zwei UND-Glieder mit zwei Eingängen:

T_\mathrm{min} = 40\ \mathrm{ns} + 2 \cdot 20\ \mathrm{ns} + 25\ \mathrm{ns} = 105\ \mathrm{ns} \qquad f_\mathrm{max} = \frac{1}{105\ \mathrm{ns}} = \underline{\underline{9{,}5\ \mathrm{MHz}}}

(2 Punkte) Der serielle Übertrag spart Gatter-Eingänge, macht den Zähler aber langsamer (1 Punkt).

Ges.: Ansteuergleichungen der Zehnerstufe (Index Z); f_\mathrm{max} des zweistelligen Zählers

Die Zehnerstufe ist eine BCD-Stufe, deren Ansteuerungen zusätzlich mit \ddot{U} verknüpft sind; bei \ddot{U} = 0 sind alle J = K = 0 und die Stufe hält ihren Stand (3 Punkte):

\begin{aligned} J_{0\mathrm{Z}} &= K_{0\mathrm{Z}} = \ddot{U} \\ J_{1\mathrm{Z}} &= \ddot{U}\,\overline{Q_{3\mathrm{Z}}}\,Q_{0\mathrm{Z}} \qquad K_{1\mathrm{Z}} = \ddot{U}\,Q_{0\mathrm{Z}} \\ J_{2\mathrm{Z}} &= K_{2\mathrm{Z}} = \ddot{U}\,Q_{1\mathrm{Z}}Q_{0\mathrm{Z}} \\ J_{3\mathrm{Z}} &= \ddot{U}\,Q_{2\mathrm{Z}}Q_{1\mathrm{Z}}Q_{0\mathrm{Z}} \qquad K_{3\mathrm{Z}} = \ddot{U}\,Q_{0\mathrm{Z}} \end{aligned}

Der längste Weg führt vom Einer-Flipflop über das Übertrags-UND (2 Eingänge) und das UND-Glied mit vier Eingängen für J_{3\mathrm{Z}} (2 Punkte):

T_\mathrm{min} = 40\ \mathrm{ns} + 20\ \mathrm{ns} + 26\ \mathrm{ns} + 25\ \mathrm{ns} = 111\ \mathrm{ns} \qquad f_\mathrm{max} = \frac{1}{111\ \mathrm{ns}} = \underline{\underline{9{,}0\ \mathrm{MHz}}}

(1 Punkt) Die Wege innerhalb der Einerstufe (89 ns) und innerhalb der Zehnerstufe (40 ns + 26 ns + 25 ns = 91 ns) sind kürzer.

Ges.: Beurteilung

Dann schaltet die Zehnerstufe erst nach der Laufzeit der Einerstufe und des Übertrags-UND, also nicht mehr gleichzeitig mit der Einerstufe: Der Zähler wäre zwischen den Stufen wieder asynchron, beim Übergang von 09 auf 10 stünden kurz Falschwerte an (1 Punkt). Außerdem kann \ddot{U} beim Umschalten der Einerstufe kurze Nadelimpulse enthalten, die als zusätzliche Taktflanke wirken und die Zehnerstufe falsch weiterzählen lassen. Der Vorschlag ist deshalb abzulehnen (1 Punkt).