Formeln umstellen: Äquivalenzumformungen, Brüche, Wurzeln und Winkelfunktionen
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Formeln umstellen, Äquivalenzumformung, Umkehroperation, Ausklammern, Bruchrechnung, Kehrwert, Quadratwurzel, Satz des Pythagoras, Winkelfunktionen, Ungleichung, Elektrotechnik
tl/dr; (ca. 17 min Lesezeit): Fast jede Rechnung in der Elektrotechnik beginnt damit, eine Formel nach der gesuchten Größe umzustellen. Dieser Artikel zeigt Dir Schritt für Schritt, wie das mit Äquivalenzumformungen gelingt: bei einfachen Produkten und Quotienten, bei gemischten Formeln mit Summen im Nenner und mehrfach vorkommender Größe, bei Brüchen und Kehrwerten, bei Quadraten und Wurzeln, im rechtwinkligen Dreieck mit Pythagoras und Winkelfunktionen und bei Ungleichungen [AI-Assisted]. (Zuletzt geändert am 10.11.2026)
Dieser Artikel ist Teil einer Artikelreihe über Mathematik für die Elektrotechnik: Größen, Einheiten und Zehnerpotenzen / Formeln umstellen / Exponentialfunktionen und Logarithmen
Dieser Artikel baut auf der Kann-Liste des Artikels Physikalische Größen, Einheiten und Zehnerpotenzen auf. Schon fit in diesem Thema? Nutze die Kann-Liste und die Leitfragen unter dem Artikel als Checkliste, ob Du die relevanten Kompetenzen bereits hast.
Als Mathematik-Grundlagen für die Elektrotechnik kann ich nach Durcharbeiten des Artikels…
… erklären, was eine Äquivalenzumformung ist, und zu jeder Rechenoperation die Umkehroperation angeben.
… einfache Formeln aus Produkten und Quotienten nach jeder Größe umstellen und die Umformungen nachvollziehbar notieren.
… gemischte Formeln mit Summen, Differenzen und Brüchen umstellen, auch wenn die gesuchte Größe im Nenner oder mehrfach vorkommt (Ausklammern).
… Brüche addieren, Kehrwerte bilden und die Formel für zwei parallele Widerstände bzw. zwei Kondensatoren in Reihe herleiten.
… Formeln mit Quadraten und Wurzeln umstellen und typische Fehler wie \sqrt{a^2 + b^2} = a + b vermeiden.
… im rechtwinkligen Dreieck Seiten mit dem Satz des Pythagoras und Winkel mit Sinus, Kosinus und Tangens berechnen.
… Winkel im Grad- und im Bogenmaß angeben und den Taschenrechner passend einstellen.
Darüber hinaus kann ich als Mathematik-Expertenwissen…
… Ungleichungen umformen und erkennen, wann sich das Ungleichheitszeichen umdreht.
… das Leistungs- und das Widerstandsdreieck der Wechselstromtechnik mit Pythagoras und Winkelfunktionen auswerten.
Ein Widerstand soll höchstens 0,5 W abbekommen – welcher Strom ist erlaubt? Ein RC-Glied soll eine bestimmte Grenzfrequenz haben – welcher Kondensator passt? Ein Motor nimmt 3 kW auf – welche Scheinleistung muss die Zuleitung liefern? In allen Fällen kennst Du die Formel, aber die gesuchte Größe steht an der falschen Stelle. Formeln umstellen heißt, die Formel so umzuformen, dass die gesuchte Größe allein auf einer Seite steht, ohne dass sich an der Aussage der Formel etwas ändert.
Wie Du mit Einheiten und Zehnerpotenzen rechnest, zeigt der erste Teil dieser Reihe, Physikalische Größen, Einheiten und Zehnerpotenzen. Formeln mit Exponentialfunktionen und Logarithmen stellst Du im dritten Teil um, Exponentialfunktionen und Logarithmen. Aufgaben zu diesem Artikel findest Du unter Übungsaufgaben zum Umstellen von Formeln.
Schritt 1: Das Prinzip der Äquivalenzumformung
Eine Gleichung ist wie eine Balkenwaage im Gleichgewicht: Sie bleibt im Gleichgewicht, wenn Du auf beiden Seiten dasselbe tust. Eine Umformung, die die Aussage der Gleichung nicht verändert, heißt Äquivalenzumformung. Erlaubt ist, auf beiden Seiten
dieselbe Größe zu addieren oder zu subtrahieren,
mit derselben Größe zu multiplizieren oder durch dieselbe Größe (ungleich null) zu dividieren,
beide Seiten zu quadrieren oder die Wurzel zu ziehen (in der Technik nur mit positiven Größen),
auf beide Seiten dieselbe Funktion bzw. ihre Umkehrfunktion anzuwenden (Kehrwert, Exponentialfunktion, Logarithmus, Winkelfunktion).
Jede Rechenoperation hat eine Umkehroperation, die sie rückgängig macht:
| Operation auf die gesuchte Größe | Umkehroperation |
|---|---|
| +a | -a |
| \cdot a | :a |
| (\ )^2 | \sqrt{\ } |
| (\ )^n | \sqrt[n]{\ } = (\ )^{1/n} |
| Kehrwert \frac{1}{x} | Kehrwert |
| e^{(\ )}, 10^{(\ )}, 2^{(\ )} | \ln, \lg, \operatorname{lb} |
| \sin, \cos, \tan | \arcsin, \arccos, \arctan |
Die Grundregel: Überlege, in welcher Reihenfolge die Rechenschritte auf die gesuchte Größe wirken, und mache sie in umgekehrter Reihenfolge rückgängig. Was zuletzt auf die Größe wirkt, wird zuerst entfernt, wie beim Auspacken eines Pakets.
So wird die Umformung notiert
Damit eine Rechnung nachvollziehbar bleibt, steht die Umformung rechts hinter einem senkrechten Strich, grau abgesetzt. Sie gilt für den Übergang zur nächsten Zeile. Division schreibst Du mit dem Doppelpunkt. Erst wenn die Formel vollständig umgestellt ist, setzt Du die Werte mit Einheiten ein. Beispiel: Welcher Strom fließt in einem Lötkolben mit P = 60\ \mathrm{W} an U = 230\ \mathrm{V}?
\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} P & = & U \cdot I & \color{gray}{:U} \\ I & = & \dfrac{P}{U} = \dfrac{60\ \mathrm{W}}{230\ \mathrm{V}} \approx \underline{\underline{0{,}261\ \mathrm{A}}} & \end{array}
Schritt 2: Einfache Formeln aus Produkten und Quotienten
Besteht eine Formel nur aus Produkten und Quotienten, ist das Umstellen kurz: Was multipliziert, wird dividiert, und umgekehrt. Steht die gesuchte Größe im Nenner, holst Du sie zuerst durch Multiplikation nach oben. Beispiel: die Zeitkonstante \tau = R \cdot C nach C und die Frequenz f = \frac{1}{T} nach T:
\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} \tau & = & R \cdot C & \color{gray}{:R} \\ C & = & \dfrac{\tau}{R} & \end{array} \qquad\qquad \begin{array}{rcl|l} f & = & \dfrac{1}{T} & \color{gray}{\cdot T} \\ f \cdot T & = & 1 & \color{gray}{:f} \\ T & = & \dfrac{1}{f} & \end{array}
Mehrere Formeln, die über eine gemeinsame Größe zusammenhängen, nummerierst Du mit römischen Zahlen und setzt sie ineinander ein. Gesucht sei die Leistung P in einem Widerstand, bekannt sind R und I:
\begin{aligned} &\text{(I)} && P = U \cdot I \\ &\text{(II)} && U = R \cdot I \end{aligned} \qquad \text{II in I:} \quad P = R \cdot I \cdot I = R \cdot I^2
So entstehen die bekannten Leistungsformeln P = I^2 \cdot R und P = \frac{U^2}{R}, ohne dass Du sie auswendig lernen musst.
Schritt 3: Gemischte Formeln mit Summen und Differenzen
Kommen Summen oder Differenzen vor, gilt die Rechenreihenfolge („Punkt vor Strich“) auch rückwärts: Ein Summand wird durch Subtrahieren entfernt, bevor Du einen Faktor durch Dividieren entfernen kannst. Klammern bleiben dabei als Ganzes zusammen. Beispiel: Der Widerstand einer Kupferwicklung steigt mit der Temperatur nach R_\vartheta = R_{20} \cdot (1 + \alpha \cdot \Delta\vartheta). Gesucht ist der Widerstand R_{20} bei 20 °C:
\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} R_\vartheta & = & R_{20} \cdot (1 + \alpha \cdot \Delta\vartheta) & \color{gray}{:(1 + \alpha \cdot \Delta\vartheta)} \\ R_{20} & = & \dfrac{R_\vartheta}{1 + \alpha \cdot \Delta\vartheta} & \end{array}
Die Klammer wirkt als ein Faktor auf R_{20}. Du teilst durch die ganze Klammer, nicht durch einzelne Summanden.
Gesuchte Größe in einer Summe im Nenner
Steht die gesuchte Größe in einer Summe im Nenner, multiplizierst Du zuerst mit dem ganzen Nenner in Klammern. Beim Spannungsteiler im Bild gilt U_2 = U \cdot \frac{R_2}{R_1 + R_2}. Gesucht ist R_1:
\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U_2 & = & U \cdot \dfrac{R_2}{R_1 + R_2} & \color{gray}{\cdot (R_1 + R_2)} \\ U_2 \cdot (R_1 + R_2) & = & U \cdot R_2 & \color{gray}{:U_2} \\ R_1 + R_2 & = & \dfrac{U \cdot R_2}{U_2} & \color{gray}{-R_2} \\ R_1 & = & \dfrac{U \cdot R_2}{U_2} - R_2 & \end{array}
Die gesuchte Größe kommt mehrfach vor: Ausklammern
Kommt die gesuchte Größe nach dem Beseitigen des Nenners auf beiden Seiten vor, bringst Du alle Terme mit ihr auf eine Seite und klammerst sie aus. Erst dann kannst Du durch die Klammer teilen. Ein Beispiel aus der Praxis: Ein Kondensator C_1 = 4{,}7\ \mu\mathrm{F} ist auf U_1 = 12\ \mathrm{V} geladen und wird mit einem ungeladenen Kondensator unbekannter Kapazität C_2 verbunden. Die Ladung verteilt sich, danach misst Du an beiden U = 4{,}0\ \mathrm{V}. Mit der erhaltenen Ladung gilt U = \frac{C_1 \cdot U_1}{C_1 + C_2}. Gesucht ist C_2:
\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U & = & \dfrac{C_1 \cdot U_1}{C_1 + C_2} & \color{gray}{\cdot (C_1 + C_2)} \\ U \cdot C_1 + U \cdot C_2 & = & C_1 \cdot U_1 & \color{gray}{-U \cdot C_1} \\ U \cdot C_2 & = & C_1 \cdot U_1 - U \cdot C_1 & \color{gray}{C_1\ \text{ausklammern}} \\ U \cdot C_2 & = & C_1 \cdot (U_1 - U) & \color{gray}{:U} \\ C_2 & = & \dfrac{C_1 \cdot (U_1 - U)}{U} = \dfrac{4{,}7\ \mu\mathrm{F} \cdot (12\ \mathrm{V} - 4{,}0\ \mathrm{V})}{4{,}0\ \mathrm{V}} = \underline{\underline{9{,}40\ \mu\mathrm{F}}} & \end{array}
Hier wurde C_1 ausgeklammert, weil die Gleichung so übersichtlicher wird. Steht die gesuchte Größe selbst in mehreren Summanden, klammerst Du sie aus, z. B. a \cdot x - b \cdot x = x \cdot (a - b).
Schritt 4: Brüche und Kehrwerte
Bei Parallelschaltungen von Widerständen und Reihenschaltungen von Kondensatoren addierst Du Kehrwerte. Dafür brauchst Du die Bruchrechnung:
Brüche addieren: auf den Hauptnenner erweitern, dann die Zähler addieren: \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}.
Durch einen Bruch teilen heißt mit seinem Kehrwert multiplizieren: a : \frac{b}{c} = a \cdot \frac{c}{b}. Doppelbrüche löst Du so auf.
Kehrwert einer Gleichung: Aus \frac{1}{x} = \frac{a}{b} folgt x = \frac{b}{a}. Den Kehrwert darfst Du nur von ganzen Seiten bilden, nachdem jede Seite zu einem Bruch zusammengefasst ist.
Für zwei Kondensatoren in Reihe gilt \frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}. Mit dem Hauptnenner C_1 \cdot C_2 entsteht daraus eine Formel ohne Kehrwerte:
\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} \dfrac{1}{C} & = & \dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2} & \color{gray}{\text{Term: Hauptnenner}} \\ \dfrac{1}{C} & = & \dfrac{C_2 + C_1}{C_1 \cdot C_2} & \color{gray}{\text{Kehrwert}} \\ C & = & \dfrac{C_1 \cdot C_2}{C_1 + C_2} & \end{array}
Der erste Schritt („Term“) formt nur die rechte Seite um; die eigentliche Äquivalenzumformung ist der Kehrwert. Dieselbe Form hat die Formel für zwei parallele Widerstände.
Der häufigste Fehler: Kehrwert einer Summe
Der Kehrwert einer Summe ist nicht die Summe der Kehrwerte: \frac{1}{a + b} \neq \frac{1}{a} + \frac{1}{b}. Wer aus \frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} einfach C = C_1 + C_2 macht, erhält bei zwei Kondensatoren mit je 10 nF statt 5 nF das Vierfache, 20 nF. Eine schnelle Plausibilitätsprüfung hilft: Bei der Reihenschaltung von Kondensatoren (wie bei der Parallelschaltung von Widerständen) ist das Ergebnis immer kleiner als der kleinste Einzelwert.
Schritt 5: Quadrate und Wurzeln
Quadrat und Wurzel heben sich gegenseitig auf: \sqrt{x^2} = x für positive x. In der Technik sind Größen wie Spannungen, Ströme und Widerstände dabei Beträge, deshalb gilt nur die positive Wurzel. Beispiel: Ein Messwiderstand (Shunt) mit R = 0{,}10\ \Omega ist mit P = 0{,}50\ \mathrm{W} belastbar. Welcher Strom ist höchstens erlaubt?
\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} P & = & I^2 \cdot R & \color{gray}{:R} \\ I^2 & = & \dfrac{P}{R} & \color{gray}{\sqrt{\ }} \\ I & = & \sqrt{\dfrac{P}{R}} = \sqrt{\dfrac{0{,}50\ \mathrm{W}}{0{,}10\ \Omega}} = \sqrt{5{,}0\ \mathrm{A}^2} \approx \underline{\underline{2{,}24\ \mathrm{A}}} & \end{array}
Steht die Wurzel um einen größeren Ausdruck, beseitigst Du sie zuerst durch Quadrieren, weil sie als Letztes auf die gesuchte Größe wirkt. Dabei wird jeder Faktor quadriert: (2 \cdot \pi \cdot f)^2 = 4 \cdot \pi^2 \cdot f^2.
Für Potenzen und Wurzeln gelten diese Regeln:
| Regel | Beispiel |
|---|---|
| a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n} | I \cdot I = I^2 |
| (a \cdot b)^{2} = a^{2} \cdot b^{2} | (2\pi f)^2 = 4\pi^2 f^2 |
| \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} | \sqrt{2 \cdot 230^2} = \sqrt{2} \cdot 230 |
| \sqrt{a} = a^{1/2}, \sqrt[n]{a} = a^{1/n} | \sqrt[3]{8} = 8^{1/3} = 2 |
| (a + b)^{2} \neq a^{2} + b^{2} | (3 + 4)^2 = 49, aber 3^2 + 4^2 = 25 |
| \sqrt{a^{2} + b^{2}} \neq a + b | \sqrt{3^2 + 4^2} = 5, nicht 7 |
Hängt eine Größe quadratisch von einer anderen ab, wirkt jede Änderung doppelt stark: Steigt der Strom in einem Widerstand um 10 %, steigt die Leistung um 21 % (1{,}1^2 = 1{,}21).
Schritt 6: Pythagoras und Winkelfunktionen
In der Wechselstromtechnik stehen Wirk- und Blindgrößen senkrecht aufeinander. Wirkwiderstand, Blindwiderstand und Scheinwiderstand bilden ein rechtwinkliges Dreieck, ebenso Wirk-, Blind- und Scheinleistung. Für jedes rechtwinklige Dreieck gelten der Satz des Pythagoras und die Winkelfunktionen:
| Zusammenhang | Formel | Umkehrung |
|---|---|---|
| Satz des Pythagoras | c^2 = a^2 + b^2 | c = \sqrt{a^2 + b^2}, a = \sqrt{c^2 - b^2} |
| Sinus = Gegenkathete : Hypotenuse | \sin\alpha = \dfrac{a}{c} | \alpha = \arcsin\dfrac{a}{c} |
| Kosinus = Ankathete : Hypotenuse | \cos\alpha = \dfrac{b}{c} | \alpha = \arccos\dfrac{b}{c} |
| Tangens = Gegenkathete : Ankathete | \tan\alpha = \dfrac{a}{b} | \alpha = \arctan\dfrac{a}{b} |
Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber und ist die längste Seite. Gegen- und Ankathete bestimmst Du immer vom betrachteten Winkel aus: Die Ankathete liegt am Winkel an, die Gegenkathete gegenüber.
Die Umkehrfunktionen heißen am Taschenrechner \sin^{-1}, \cos^{-1} und \tan^{-1}. Das ist kein Kehrwert, also nicht \frac{1}{\sin}.
Es gilt immer \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1; das ist der Satz des Pythagoras im Dreieck mit der Hypotenuse 1.
Beispiel: Eine Spule hat den Wirkwiderstand R = 330\ \Omega und bei der Betriebsfrequenz den Blindwiderstand X_L = 440\ \Omega. Der Scheinwiderstand ist die Hypotenuse, R die Ankathete und X_L die Gegenkathete des Phasenwinkels:
Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{(330\ \Omega)^2 + (440\ \Omega)^2} = \underline{\underline{550\ \Omega}} \qquad \varphi = \arctan\frac{X_L}{R} = \arctan\frac{440\ \Omega}{330\ \Omega} \approx \underline{\underline{53{,}1°}}
Im Leistungsdreieck ist der Leistungsfaktor \cos\varphi = \frac{P}{S}. Bei P = 3{,}0\ \mathrm{kW} und Q = 4{,}0\ \mathrm{kvar} ist S = \sqrt{P^2 + Q^2} = 5{,}0\ \mathrm{kVA} und \cos\varphi = 0{,}60. Wie Blindleistung entsteht und kompensiert wird, erklärt der Artikel Kondensator und Spule im Wechselstromkreis.
Gradmaß und Bogenmaß
Winkel gibst Du im Gradmaß (°) oder im Bogenmaß (rad) an. Ein voller Kreis hat 360° \mathrel{\hat{=}} 2\pi\ \mathrm{rad}, also gilt:
\varphi_\mathrm{rad} = \varphi_\mathrm{Grad} \cdot \frac{2\pi}{360°} \qquad \varphi_\mathrm{Grad} = \varphi_\mathrm{rad} \cdot \frac{360°}{2\pi}
Der Taschenrechner muss zum Winkel passen: DEG für Grad, RAD für Bogenmaß. Bei Sinusgrößen wie u(t) = \hat{u} \cdot \sin(\omega \cdot t) ist \omega \cdot t immer im Bogenmaß. Bei f = 50\ \mathrm{Hz} und t = 5\ \mathrm{ms} ist \omega \cdot t = 2\pi \cdot 50\ \mathrm{Hz} \cdot 5\ \mathrm{ms} = \frac{\pi}{2}, also 90° und \sin = 1: Nach einer Viertelperiode erreicht die Spannung ihren Scheitelwert. Steht der Taschenrechner auf DEG, rechnet er \sin(1{,}57°) \approx 0{,}027 – ein grob falscher Wert, der nicht sofort auffällt.
Schritt 7: Ungleichungen
Viele Bedingungen der Technik sind Ungleichungen: Ein Strom darf einen Grenzwert nicht überschreiten, eine Spannung muss mindestens einen Wert erreichen. Ungleichungen (<, \leq, >, \geq) formst Du genauso um wie Gleichungen, mit einer Ausnahme: Multiplizierst oder dividierst Du mit einer negativen Zahl, dreht sich das Ungleichheitszeichen um. Aus -2 \cdot x \leq 6 wird nach :(-2) die Ungleichung x \geq -3.
Auch beim Kehrwert zweier positiver Seiten dreht sich das Zeichen um: Aus \frac{1}{R} \leq \frac{1}{100\ \Omega} folgt R \geq 100\ \Omega. Logarithmus, Wurzel und Exponentialfunktion behalten das Zeichen dagegen bei.
Beispiel: Eine LED mit U_\mathrm{F} = 2{,}0\ \mathrm{V} soll an U_\mathrm{B} = 5{,}0\ \mathrm{V} mit höchstens I_\mathrm{F} = 20\ \mathrm{mA} betrieben werden. Welchen Vorwiderstand braucht sie mindestens?
\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} I_\mathrm{F} & \leq & 20\ \mathrm{mA} & \color{gray}{\text{mit } I_\mathrm{F} = \tfrac{U_\mathrm{B} - U_\mathrm{F}}{R_\mathrm{V}}} \\ \dfrac{U_\mathrm{B} - U_\mathrm{F}}{R_\mathrm{V}} & \leq & 20\ \mathrm{mA} & \color{gray}{\cdot R_\mathrm{V} : 20\ \mathrm{mA}} \\ R_\mathrm{V} & \geq & \dfrac{U_\mathrm{B} - U_\mathrm{F}}{20\ \mathrm{mA}} = \dfrac{3{,}0\ \mathrm{V}}{20\ \mathrm{mA}} = \underline{\underline{150\ \Omega}} & \end{array}
Im letzten Schritt wurde mit positiven Größen multipliziert und dividiert, das Zeichen bleibt. Weil R_\mathrm{V} dabei vom Nenner in den Zähler wandert, wird aus „höchstens“ beim Strom „mindestens“ beim Widerstand.
Fazit und Ausblick
Formeln stellst Du um, indem Du die Rechenschritte, die auf die gesuchte Größe wirken, in umgekehrter Reihenfolge mit der Umkehroperation rückgängig machst, immer auf beiden Seiten. Steht die Größe im Nenner, multiplizierst Du mit dem ganzen Nenner; kommt sie mehrfach vor, klammerst Du sie aus; Kehrwerte bildest Du nur von ganzen Seiten. Quadrat und Wurzel, Winkelfunktion und Arkusfunktion heben sich auf, und bei Ungleichungen achtest Du auf negative Faktoren. Weiter geht es mit:
Aufgaben zu allen Schritten dieses Artikels: Übungsaufgaben zum Umstellen von Formeln
Formeln mit Exponentialfunktionen und Logarithmen umstellen: Exponentialfunktionen und Logarithmen
Spannungsteiler in der Praxis: Der Spannungsteiler
Widerstands- und Leistungsdreieck: Kondensator und Spule im Wechselstromkreis
Leitfragen
- Was ist eine Äquivalenzumformung, und in welcher Reihenfolge machst Du Rechenschritte rückgängig?
Eine Umformung, die auf beiden Seiten dasselbe tut und die Aussage der Gleichung nicht ändert. Die Schritte, die auf die gesuchte Größe wirken, machst Du in umgekehrter Reihenfolge mit der Umkehroperation rückgängig; die Umformung steht grau rechts hinter dem Strich. siehe Abschnitt „Schritt 1: Das Prinzip der Äquivalenzumformung“
- Wie stellst Du f = \frac{1}{T} nach T um, und wie entsteht P = I^2 \cdot R?
Mit \cdot T holst Du T aus dem Nenner, mit :f isolierst Du es: T = \frac{1}{f}. Für die Leistung setzt Du U = R \cdot I (II) in P = U \cdot I (I) ein. siehe Abschnitt „Schritt 2: Einfache Formeln aus Produkten und Quotienten“
- Was tust Du, wenn die gesuchte Größe in einer Summe im Nenner steht oder mehrfach vorkommt?
Zuerst mit dem ganzen Nenner (in Klammern) multiplizieren. Kommt die Größe dann auf beiden Seiten vor, alle Terme mit ihr auf eine Seite bringen, sie ausklammern und durch die Klammer teilen. siehe Abschnitt „Schritt 3: Gemischte Formeln mit Summen und Differenzen“
- Wie leitest Du aus \frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} die Formel für C her, und welcher Fehler ist dabei typisch?
Rechte Seite auf den Hauptnenner C_1 \cdot C_2 bringen, dann von beiden Seiten den Kehrwert bilden: C = \frac{C_1 \cdot C_2}{C_1 + C_2}. Typischer Fehler: den Kehrwert einzelner Summanden bilden; \frac{1}{a + b} ist nicht \frac{1}{a} + \frac{1}{b}. siehe Abschnitt „Schritt 4: Brüche und Kehrwerte“
- Wie stellst Du P = I^2 \cdot R nach I um, und warum ist \sqrt{a^2 + b^2} nicht a + b?
Durch R teilen, dann die Wurzel ziehen: I = \sqrt{\frac{P}{R}}. Die Wurzel einer Summe lässt sich nicht in Summanden zerlegen, z. B. \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 und nicht 7. siehe Abschnitt „Schritt 5: Quadrate und Wurzeln“
- Wie berechnest Du Scheinwiderstand und Phasenwinkel aus R und X_L, und worauf achtest Du am Taschenrechner?
Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} (Pythagoras), \varphi = \arctan\frac{X_L}{R}; R ist die Ankathete, X_L die Gegenkathete. Winkel in Grad mit DEG, im Bogenmaß mit RAD rechnen; bei \sin(\omega t) immer RAD. siehe Abschnitt „Schritt 6: Pythagoras und Winkelfunktionen“
- Wann dreht sich bei einer Ungleichung das Zeichen um?
Beim Multiplizieren oder Dividieren mit einer negativen Zahl und beim Kehrwert zweier positiver Seiten. Addieren, Subtrahieren, Wurzel, Logarithmus und Exponentialfunktion behalten das Zeichen bei. siehe Abschnitt „Schritt 7: Ungleichungen“
Links und weitere Informationen
als Nachschlagewerk: Wikipedia: Äquivalenzumformung
zu Winkelfunktionen: Wikipedia: Trigonometrische Funktion
zum Satz des Pythagoras: Wikipedia: Satz des Pythagoras
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