Übungsaufgaben zu logischen Verknüpfungen: Gatter, Wahrheitstabelle, Schaltalgebra und Impulsdiagramm

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Erstelle neue Übungsaufgaben zum Thema „Logische Verknüpfungen: Gatter,
Wahrheitstabelle, Schaltalgebra und Impulsdiagramm“.

Bauplan: Halte Dich an Aufbau, Kompetenzstufen, Operatoren,
Anforderungsbereiche, Punkte und Zeitschätzung, die im Artikel
https://oer-informatik.de/aufgaben-aufbau beschrieben sind.

Fachliche Grundlage:
- https://oer-informatik.de/logische-verknuepfungen
- https://oer-informatik.de/zahlensysteme-codes
- Stilbeispiel: https://oer-informatik.de/logische-verknuepfungen-uebungsaufgaben

Die Aufgaben sollen Inhalte zu diesen Schlagwörtern abdecken:
- Logische Verknüpfung
- Gatter
- Wahrheitstabelle
- Schaltalgebra
- De Morgan
- NAND
- NOR
- XOR
- Impulsdiagramm
- Flankenerkennung

Kompetenzstufe: Basiskompetenz (alternativ: Kernkompetenz, Profilkompetenz, Expertise)
Anzahl: 1 Aufgabe mit Teilaufgaben
Bearbeitungszeit in Minuten ca.: <5 bis 30 min>
Szenario: eines der Szenarien aus dem Bauplan

Vorgehen:
1. Lies zuerst die verlinkten Artikel. Kannst Du keine Webseiten
   abrufen, sag mir das, statt zu raten.
2. Steht bei einer Angabe noch ein Platzhalter in <…>, frag mich
   zuerst danach. Richte Punkte und Zahl der Teilaufgaben nach der
   Bearbeitungszeit (ca. 0,9 min je Punkt).
3. Gib je Aufgabe Titel mit Kompetenzstufe, Ausgangssituation und
   Teilaufgaben mit Operator und Punktzahl aus, dazu die geschätzte
   Bearbeitungszeit.
4. Gib die Beispiellösungen mit Punkteverteilung erst aus, wenn ich
   danach frage.

Geg.: Reihenschaltung der Schließer -S1 und -B1 vor der Leuchte -E1, Schließer -S2 parallel zu -B1; Meldetaster -S3 und -S4 über Dioden auf I1

Ges.: Verknüpfung; Eingangskombination, bei der -E1 leuchtet

Strom fließt nur, wenn beide Kontakte geschlossen sind: Die Reihenschaltung entspricht einer UND-Verknüpfung (1 Punkt).

\underline{\underline{E1 = S1 \wedge B1}}

-E1 leuchtet nur bei S1 = 1 und B1 = 1 (Hauptschalter ein und Bewegung erkannt) (1 Punkt).

Ges.: Funktionsgleichung für -E1; Wertetabelle

-S2 liegt parallel zu -B1 (ODER), die Parallelschaltung in Reihe mit -S1 (UND) (2 Punkte):

\underline{\underline{E1 = S1 \wedge (B1 \vee S2)}}

Wertetabelle (2 Punkte, je falscher Zeile 0,5 Punkte Abzug):

-E1 leuchtet bei den drei Kombinationen mit S1 = 1 und mindestens einer 1 bei B1 oder S2.

Ges.: Funktionszeichen des Gatters

Richtig ist Antwort 3, =1 (2 Punkte): Das Exklusiv-ODER (Antivalenz) liefert eine 1, wenn genau ein Eingang 1 ist, also bei verschiedenen Eingangswerten.

• Antwort 1 ist falsch: & (UND) liefert nur bei A = B = 1 eine 1, bei gleichen Werten.
• Antwort 2 ist falsch: ≥1 (ODER) liefert auch bei A = B = 1 eine 1.
• Antwort 4 ist falsch: Das NAND liefert auch bei A = B = 0 eine 1.

Ges.: Verknüpfung an I1; Aufgabe der Dioden und von -R3

Wird -S3 oder -S4 betätigt, liegen über die leitende Diode etwa 24 V an I1: Es handelt sich um eine ODER-Verknüpfung (Dioden-ODER) (1 Punkt).

\underline{\underline{I1 = S3 \vee S4}}

• Die Dioden entkoppeln die beiden Taster: Ist -S3 betätigt, sperrt die Diode im Zweig von -S4, sodass keine Spannung in diesen Zweig zurückfließt (z. B. zu einer Meldeleuchte oder einem eigenen Eingang für Tor 2). Beide Taster bleiben einzeln auswertbar (1 Punkt).
• -R3 ist ein Pull-down-Widerstand: Ist kein Taster betätigt, zieht er I1 auf 0 V. Ohne ihn wäre der Eingang offen und könnte zufällige Pegel annehmen (1 Punkt).

Geg.: A = Wasser im Tank, B = Handbetrieb, C = Regen; -K1 NICHT, -K2 ODER, -K3 UND

Ges.: Schaltgleichung für Y

Gatter für Gatter von den Eingängen zum Ausgang (1 Punkt):

\begin{aligned} &\text{(I)} && X1 = \overline{C} \\ &\text{(II)} && X2 = B \vee X1 \\ &\text{(III)} && Y = A \wedge X2 \end{aligned}

I in II, II in III (1 Punkt):

\underline{\underline{Y = A \wedge (B \vee \overline{C})}}

Ges.: Wertetabelle mit X1, X2, Y

Je richtige Spalte X1, X2 1 Punkt, Spalte Y 2 Punkte:

Geg.: A = 1, B = 0, C = 1

Ges.: Pegel an X1, X2, X3

\begin{aligned} X1 &= \overline{C} = \overline{1} = 0 \\ X2 &= B \vee X1 = 0 \vee 0 = 0 \\ X3 &= Y = A \wedge X2 = 1 \wedge 0 = 0 \end{aligned}

\underline{\underline{X1 = 0,\ X2 = 0,\ X3 = 0}}

(2 Punkte, je falschem Pegel 1 Punkt Abzug) Bei Regen bleibt die Pumpe im Automatikbetrieb aus.

Ges.: Eingangskombinationen mit Y = 1; Verhalten

Aus der Wertetabelle (1 Punkt):

Die Pumpe läuft nur, wenn Wasser im Tank ist; dann im Handbetrieb immer, im Automatikbetrieb nur, wenn es nicht regnet (1 Punkt).

Geg.: T = Tür geschlossen, V = Verdichter läuft, D = Abtauung aktiv; Fühler B1, B2, B3

Ges.: Funktionsgleichung für H1

• „Verdichter läuft nicht, obwohl keine Abtauung aktiv ist“: \overline{V} \wedge \overline{D} (1 Punkt)
• „Tür nicht geschlossen“: \overline{T} (1 Punkt)
• beides mit „oder“ verknüpft (1 Punkt):

\underline{\underline{H1 = (\overline{V} \wedge \overline{D}) \vee \overline{T}}}

Ges.: Umformung mit De Morgan; Gatter

Grundform der Regel: \overline{A \vee B} = \overline{A} \wedge \overline{B}, hier rückwärts angewendet (1 Punkt):

\overline{V} \wedge \overline{D} = \underline{\underline{\overline{V \vee D}}}

Das ist ein NOR-Glied mit den Eingängen V und D (1 Punkt). Es liefert nur dann eine 1, wenn weder der Verdichter läuft noch abgetaut wird.

Ges.: Funktionsgleichung für H2; Gatter

Mindestens zwei von drei Fühlern bedeutet: Eines der drei Paare meldet gleichzeitig (2 Punkte):

\underline{\underline{H2 = (B1 \wedge B2) \vee (B1 \wedge B3) \vee (B2 \wedge B3)}}

Benötigt werden drei UND-Glieder mit je zwei Eingängen und ein ODER-Glied mit drei Eingängen (1 Punkt).

Ges.: Erläuterung

Fällt ein einzelner Fühler aus und meldet ständig 1 (z. B. Kurzschluss), löst er allein keinen Alarm aus, weil ein zweiter Fühler fehlt – Fehlalarme werden vermieden (1 Punkt). Meldet ein defekter Fühler ständig 0, erkennen die beiden intakten Fühler eine echte Übertemperatur trotzdem – der Alarm wird nicht verhindert (1 Punkt). Die Auswertung ist also redundant gegen den Ausfall eines Fühlers.

Geg.: Verläufe von A und B in acht Abschnitten; Laufzeiten vernachlässigbar

Ges.: Verlauf Y1 = \overline{A \vee B}

Je Abschnitt Eingänge ablesen und einsetzen; das NOR liefert nur bei A = B = 0 eine 1 (3 Punkte, je falschem Abschnitt 0,5 Punkte Abzug):

Y1 ist nur in den Abschnitten t0–t1 und t6–t7 gleich 1.

Ges.: Verlauf Y2 = A \oplus B

Das XOR liefert eine 1, wenn A und B verschieden sind (3 Punkte, je falschem Abschnitt 0,5 Punkte Abzug):

Y2 ist in t1–t2, t3–t4, t5–t6 und t7–t8 gleich 1 (Verlauf siehe Bild in der Lösung zu a).

Ges.: Verknüpfung für Y3

Wertetabelle aus dem Diagramm (alle vier Kombinationen kommen vor) (1 Punkt):

Y3 ist nur bei A = 1 und B = 0 gleich 1: ein UND-Glied mit negiertem Eingang B (1 Punkt). Das Tor öffnet also nur, wenn „Auf“ gedrückt und die Lichtschranke frei ist.

\underline{\underline{Y3 = A \wedge \overline{B}}}

Geg.: Wertetabelle mit L = 1 bei CBA = 010, 011, 101, 110, 111

Ges.: DNF

Für jede Zeile mit L = 1 ein UND-Term, Variable mit 0 negiert (je 2 Terme 1 Punkt, Verknüpfung 1 Punkt):

\underline{\underline{L = \overline{A} B \overline{C} \vee A B \overline{C} \vee A \overline{B} C \vee \overline{A} B C \vee A B C}}

(Hier ist AB die Kurzschreibweise für A \wedge B.)

Ges.: vereinfachte Gleichung; Beschreibung

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} L & = & \overline{A} B \overline{C} \vee A B \overline{C} \vee \overline{A} B C \vee A B C \vee A \overline{B} C & \color{gray}{\text{sortieren}} \\ L & = & B \overline{C} (\overline{A} \vee A) \vee B C (\overline{A} \vee A) \vee A \overline{B} C & \color{gray}{\text{ausklammern}} \\ L & = & B \overline{C} \vee B C \vee A \overline{B} C & \color{gray}{\overline{A} \vee A = 1} \\ L & = & B (\overline{C} \vee C) \vee \overline{B} (A C) & \color{gray}{B \text{ ausklammern}} \\ L & = & B \vee \overline{B} (A C) & \color{gray}{\overline{C} \vee C = 1} \\ L & = & B \vee A C & \color{gray}{B \vee \overline{B} X = B \vee X} \end{array}

(3 Punkte für die Umformung, gleichwertige Wege sind richtig)

\underline{\underline{L = B \vee (A \wedge C)}}

Der Lüfter läuft bei Übertemperatur immer, sonst nur, wenn die Luftfeuchte zu hoch und die Außenluft trocken genug ist (1 Punkt). Kontrolle: Die Gleichung ergibt genau die fünf Einsen der Wertetabelle.

Ges.: Gleichung nur mit NAND; Anzahl

Doppelt negieren und De Morgan anwenden (2 Punkte):

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} L & = & B \vee (A \wedge C) & \\ L & = & \overline{\overline{B \vee (A \wedge C)}} & \color{gray}{\text{doppelt negieren}} \\ L & = & \overline{\overline{B} \wedge \overline{A \wedge C}} & \color{gray}{\text{De Morgan}} \end{array}

Mit \overline{B} = \overline{B \wedge B} (NAND mit verbundenen Eingängen):

\underline{\underline{L = \overline{\overline{B \wedge B} \wedge \overline{A \wedge C}}}}

Benötigt werden 3 NAND-Glieder (2 Punkte): eines als Inverter für B, eines für \overline{A \wedge C} und eines für den Ausgang.

Ges.: Beurteilung NAND-IC / NOR-IC

• NAND-IC: Nach c) sind 3 von 4 Gliedern nötig – die Steuerung passt auf ein IC (1 Punkt). Die Eingänge des unbenutzten vierten Glieds legt man fest auf 0 oder 1.
• NOR-IC: Mit dem Distributivgesetz gilt L = B \vee (A \wedge C) = (A \vee B) \wedge (B \vee C). Ein UND zweier ODER-Terme ist ein NOR der beiden NOR-Terme: L = \overline{\overline{A \vee B} \vee \overline{B \vee C}}. Das sind ebenfalls nur 3 NOR-Glieder – auch das NOR-IC reicht (1 Punkt). Der direkte Weg über A \wedge C = \overline{\overline{A} \vee \overline{C}} bräuchte dagegen 5 NOR-Glieder.

\underline{\underline{\text{Aufbau mit jedem der beiden ICs möglich (je 3 von 4 Gliedern)}}}

Beide ICs müssen außerdem zur Versorgungsspannung und zu den Pegeln der Schaltung passen (1 Punkt).

Geg.: Impulsdiagramm von A und B, Zeitachse 0 … 2 ms

Ges.: Achsen; T_A, f_A, T_B, f_B

Waagerecht ist die Zeit t in ms aufgetragen, senkrecht je Signal der logische Zustand 0 oder 1 (1 Punkt).

Abgelesen von steigender zu steigender Flanke: T_A = 0{,}5\ \mathrm{ms}, T_B = 1\ \mathrm{ms} (1 Punkt).

f = \frac{1}{T}

\underline{\underline{f_A = \frac{1}{0{,}5\ \mathrm{ms}} = 2\ \mathrm{kHz}}},\qquad \underline{\underline{f_B = \frac{1}{1\ \mathrm{ms}} = 1\ \mathrm{kHz}}}

(1 Punkt)

Ges.: Verlauf A \wedge B; f, t_i, Tastgrad

A \wedge B ist nur 1, wenn beide Signale 1 sind: von 0 bis 0,25 ms und von 1,00 bis 1,25 ms (2 Punkte).

Periodendauer von steigender zu steigender Flanke T = 1\ \mathrm{ms}, Impulsdauer t_i = 0{,}25\ \mathrm{ms} (1 Punkt):

f = \frac{1}{T} = \frac{1}{1\ \mathrm{ms}} = \underline{\underline{1\ \mathrm{kHz}}}

\text{Tastgrad} = \frac{t_i}{T} = \frac{0{,}25\ \mathrm{ms}}{1\ \mathrm{ms}} = \underline{\underline{25\ \%}}

(1 Punkt)

Ges.: Verlauf A \oplus B; Frequenz; Vergleich mit B

A \oplus B ist 1, wenn die Signale verschieden sind: von 0,25 bis 0,75 ms und von 1,25 bis 1,75 ms (Verlauf siehe Bild in der Lösung zu b) (1 Punkt).

f = \frac{1}{T} = \frac{1}{1\ \mathrm{ms}} = \underline{\underline{1\ \mathrm{kHz}}}

(1 Punkt) Das Signal hat dieselbe Frequenz und denselben Tastgrad von 50 % wie B, ist aber um 0,25 ms (eine Viertelperiode) nach rechts verschoben (1 Punkt).

Geg.: Y = E \wedge \overline{E_{\mathrm{verz}}}, t_d = 2\ \mu\mathrm{s}, steigende Flanke von E bei t = 10\ \mu\mathrm{s}

Ges.: Erklärung; Beginn und Dauer des Impulses

• Vor der Flanke ist E = 0, also Y = 0 (1 Punkt).
• Ab t = 10\ \mu\mathrm{s} ist E = 1. Der invertierende Zweig gibt die Änderung erst nach t_d weiter und liefert bis dahin noch \overline{0} = 1. Beide UND-Eingänge sind 1, also Y = 1 (1 Punkt).
• Ab t = 10\ \mu\mathrm{s} + 2\ \mu\mathrm{s} = 12\ \mu\mathrm{s} liefert der verzögerte Zweig \overline{1} = 0, also wieder Y = 0 (1 Punkt).

\underline{\underline{\text{Impuls von } 10\ \mu\mathrm{s} \text{ bis } 12\ \mu\mathrm{s},\ t_i = t_d = 2\ \mu\mathrm{s}}}

(1 Punkt) Bei der fallenden Flanke entsteht kein Impuls, weil dann E = 0 ist.

Geg.: B1 Lichtschranke, B2 Barcodeleser, -S2 Grenztaster linke Endlage (Öffner), F Störung

Ges.: Pegel von -S2; Begründung Öffner

• Vor Erreichen der Endlage ist der Öffner geschlossen: S2 = 1. In der Endlage wird er betätigt und öffnet: S2 = 0 (1 Punkt).
• Reißt die Leitung zum Grenztaster, liefert der Eingang ebenfalls 0 – die Steuerung behandelt das wie „Endlage erreicht“ und stoppt den Motor (2 Punkte). Ein Schließer würde bei Drahtbruch dagegen nie melden, und die Weiche könnte gegen den Anschlag fahren (Drahtbruchsicherheit).

Ges.: Funktionsgleichung für M1

„Endlage noch nicht erreicht“ ist beim Öffner S2 = 1, „keine Störung“ ist \overline{F} (je 1 Punkt); alle Bedingungen sind UND-verknüpft (1 Punkt):

\underline{\underline{M1 = B1 \wedge B2 \wedge S2 \wedge \overline{F}}}

Ges.: Pegel an M1 in zwei Situationen

\begin{aligned} (1)\quad M1 &= 1 \wedge 1 \wedge 0 \wedge \overline{0} = 0 \\ (2)\quad M1 &= 1 \wedge 1 \wedge 1 \wedge \overline{0} = 1 \end{aligned}

\underline{\underline{(1)\ M1 = 0,\quad (2)\ M1 = 1}}

(je 1 Punkt) In Situation (1) steht die Weiche schon links, der Motor bleibt aus.

Ges.: Gleichung nur mit NOR; Anzahl der Glieder und ICs

Je zwei Bedingungen zusammenfassen und De Morgan anwenden (X \wedge Y = \overline{\overline{X} \vee \overline{Y}}) (2 Punkte):

\begin{aligned} &\text{(I)} && X1 = B1 \wedge B2 = \overline{\overline{B1} \vee \overline{B2}} \\ &\text{(II)} && X2 = S2 \wedge \overline{F} = \overline{\overline{S2} \vee F} \\ &\text{(III)} && M1 = X1 \wedge X2 = \overline{\overline{X1} \vee \overline{X2}} \end{aligned}

I und II in III, Inverter als NOR mit verbundenen Eingängen (\overline{A} = \overline{A \vee A}):

\underline{\underline{M1 = \overline{\overline{\overline{\overline{B1} \vee \overline{B2}}} \vee \overline{\overline{\overline{S2} \vee F}}}}}

NOR-Glieder (2 Punkte): 3 Inverter (\overline{B1}, \overline{B2}, \overline{S2}) + 2 NOR für X1, X2 + 2 Inverter für \overline{X1}, \overline{X2} + 1 NOR für M1 = 8 NOR-Glieder, also 2 ICs mit je vier Gliedern (1 Punkt).

Alternative: Mit einem NOR-Glied mit vier Eingängen gilt M1 = \overline{\overline{B1} \vee \overline{B2} \vee \overline{S2} \vee F}; dann genügen drei Inverter und ein NOR mit vier Eingängen.