Spannungsteiler, Brückenschaltung und Potenziometer: Wiederholung und Übungsaufgaben

Als Gleichstromtechnik-Grundlagen kann ich nach Durcharbeiten des Artikels…

• … gemischte Schaltungen mit dem ohmschen Gesetz, der Maschen- und der Knotenregel berechnen.

• … Teilspannungen an unbelasteten Spannungsteilern mit einem oder mehreren Abgriffen berechnen.

• … einen Spannungsteiler für einen Analogeingang dimensionieren.

• … Potenziometer als Spannungsteiler und als veränderbaren Widerstand anschließen und Trimmer von Potenziometern unterscheiden.

• … die Abgleichbedingung einer Brückenschaltung anwenden.

Darüber hinaus kann ich als Gleichstromtechnik-Expertenwissen…

• … die Wirkung einer Last auf einen Spannungsteiler berechnen und den Querstromfaktor beurteilen.

• … den Einstellbereich eines Potenziometers mit Vor- und Nachwiderstand berechnen.

• … die Brückenspannung einer Sensorbrücke berechnen und ihr Vorzeichen deuten.

• … Fehler wie unterbrochene Widerstände in Spannungsteilern und Brücken an den gemessenen Spannungen erkennen.

Kopiere den Text in ein KI-Sprachmodell Deiner Wahl und passe Kompetenzstufe, Anzahl, Bearbeitungszeit und Szenario bei Bedarf an. Wie die Aufgaben aufgebaut sind, beschreibt der Artikel Wie sind die Aufgaben aufgebaut?. Prüfe die Ergebnisse mit dem Lehrartikel: KI-Sprachmodelle machen Fehler.

Erstelle neue Übungsaufgaben zum Thema „Spannungsteiler,
Brückenschaltung und Potenziometer“.

Bauplan: Halte Dich an Aufbau, Kompetenzstufen, Operatoren,
Anforderungsbereiche, Punkte und Zeitschätzung, die im Artikel
https://oer-informatik.de/aufgaben-aufbau beschrieben sind.

Fachliche Grundlage:
- https://oer-informatik.de/gleichstromkreis
- https://oer-informatik.de/spannungsteiler
- https://oer-informatik.de/brueckenschaltung
- Stilbeispiel: https://oer-informatik.de/spannungsteiler-wiederholung

Die Aufgaben sollen Inhalte zu diesen Schlagwörtern abdecken:
- Spannungsteiler
- Brückenschaltung
- Potenziometer
- Trimmer
- Querstromfaktor
- Wheatstone-Brücke
- Maschenregel
- Knotenregel

Kompetenzstufe: Kernkompetenz (alternativ: Basiskompetenz, Profilkompetenz, Expertise)
Anzahl: 1 Aufgabe mit Teilaufgaben
Bearbeitungszeit in Minuten ca.: <5 bis 30 min>
Szenario: eines der Szenarien aus dem Bauplan

Vorgehen:
1. Lies zuerst die verlinkten Artikel. Kannst Du keine Webseiten
   abrufen, sag mir das, statt zu raten.
2. Steht bei einer Angabe noch ein Platzhalter in <…>, frag mich
   zuerst danach. Richte Punkte und Zahl der Teilaufgaben nach der
   Bearbeitungszeit (ca. 0,9 min je Punkt).
3. Gib je Aufgabe Titel mit Kompetenzstufe, Ausgangssituation und
   Teilaufgaben mit Operator und Punktzahl aus, dazu die geschätzte
   Bearbeitungszeit.
4. Gib die Beispiellösungen mit Punkteverteilung erst aus, wenn ich
   danach frage.

Richtige Antwort: 4

Geg.: U = 12\ \text{V}; U_1 = 3{,}0\ \text{V}; U_2 = 5{,}5\ \text{V}; Reihenschaltung

Ges.: U_3

Maschenregel: Die Summe der Teilspannungen ist gleich der Quellenspannung.

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U & = & U_1 + U_2 + U_3 & \color{gray}{-U_1 - U_2} \\ U_3 & = & U - U_1 - U_2 = 12\ \text{V} - 3{,}0\ \text{V} - 5{,}5\ \text{V} = \underline{\underline{3{,}5\ \text{V}}} & \end{array}

Antwort 4. Antwort 1 addiert nur die gemessenen Teilspannungen. Antwort 2 übersieht, dass der dritte Widerstand nicht allein an der Quelle liegt, sondern in Reihe mit den anderen. Antwort 3 addiert die Quellenspannung zu den Teilspannungen, statt sie abzuziehen. Antwort 5 ist falsch, weil die Maschenregel ohne Widerstandswerte auskommt.

Geg.: U = 12\ \text{V}; R_1 = 1\ \text{k}\Omega; R_2 = 2{,}2\ \text{k}\Omega; R_3 = 3{,}3\ \text{k}\Omega (-R_2 \parallel -R_3, in Reihe zu -R_1)

a) Ges.: R_\mathrm{ges}

\begin{aligned} &\text{(I)} && R_{23} = \dfrac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3} \\ &\text{(II)} && R_\mathrm{ges} = R_1 + R_{23} \end{aligned}

R_{23} = \frac{2{,}2\ \text{k}\Omega \cdot 3{,}3\ \text{k}\Omega}{2{,}2\ \text{k}\Omega + 3{,}3\ \text{k}\Omega} = 1{,}32\ \text{k}\Omega

I in II:

R_\mathrm{ges} = 1\ \text{k}\Omega + 1{,}32\ \text{k}\Omega = \underline{\underline{2{,}32\ \text{k}\Omega}}

b) Ges.: I, U_1, U_{23}

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U & = & R_\mathrm{ges} \cdot I & \color{gray}{:R_\mathrm{ges}} \\ I & = & \dfrac{U}{R_\mathrm{ges}} = \dfrac{12\ \text{V}}{2{,}32\ \text{k}\Omega} \approx \underline{\underline{5{,}17\ \text{mA}}} & \end{array}

U_1 = R_1 \cdot I = 1\ \text{k}\Omega \cdot 5{,}17\ \text{mA} \approx \underline{\underline{5{,}17\ \text{V}}} \qquad U_{23} = U - U_1 = 12\ \text{V} - 5{,}17\ \text{V} = \underline{\underline{6{,}83\ \text{V}}}

Mit gerundeten Zwischenergebnissen ergibt sich: U_{23} = 12\ \text{V} - 5{,}17\ \text{V} = 6{,}83\ \text{V}
Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: U_{23} = 1{,}32\ \text{k}\Omega \cdot 5{,}1724\ \text{mA} \approx 6{,}83\ \text{V}

Die Maschenregel (U = U_1 + U_{23}) ersetzt hier die zweite Multiplikation und dient zugleich als Kontrolle.

c) Ges.: I_2, I_3; Knotenregel

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U_{23} & = & R_2 \cdot I_2 & \color{gray}{:R_2} \\ I_2 & = & \dfrac{U_{23}}{R_2} = \dfrac{6{,}83\ \text{V}}{2{,}2\ \text{k}\Omega} \approx \underline{\underline{3{,}10\ \text{mA}}} & \end{array}

Ebenso für -R_3:

I_3 = \frac{U_{23}}{R_3} = \frac{6{,}83\ \text{V}}{3{,}3\ \text{k}\Omega} \approx \underline{\underline{2{,}07\ \text{mA}}}

Mit gerundeten Zwischenergebnissen ergibt sich: mit U_{23} = 6{,}83\ \text{V}: I_2 \approx 3{,}10\ \text{mA}, I_3 \approx 2{,}07\ \text{mA}
Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: I_2 \approx 3{,}10\ \text{mA}, I_3 \approx 2{,}07\ \text{mA}

Knotenregel: I_2 + I_3 = 3{,}10\ \text{mA} + 2{,}07\ \text{mA} = 5{,}17\ \text{mA} = I – die Rechnung \underline{\underline{\text{stimmt}}}. Der kleinere Widerstand -R_2 führt den größeren Strom.

Richtige Antwort: 5

Geg.: U = 12\ \text{V}; R_1 = 10\ \text{k}\Omega; R_2 = 4{,}7\ \text{k}\Omega

Ges.: U_2

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} \dfrac{U_2}{U} & = & \dfrac{R_2}{R_1 + R_2} & \color{gray}{\cdot U} \\ U_2 & = & U \cdot \dfrac{R_2}{R_1 + R_2} = 12\ \text{V} \cdot \dfrac{4{,}7\ \text{k}\Omega}{14{,}7\ \text{k}\Omega} \approx \underline{\underline{3{,}84\ \text{V}}} & \end{array}

Antwort 5. 8,16 V (Antwort 1) ist die Spannung an -R_1. Antwort 2 teilt nur durch R_1 statt durch den Gesamtwiderstand (12\ \text{V} \cdot 4{,}7 : 10). Antwort 3 vertauscht das Verhältnis (12\ \text{V} \cdot 10 : 4{,}7) und ergibt mehr als die Versorgungsspannung – das ist bei einem Spannungsteiler unmöglich. 6,00 V (Antwort 4) gilt nur für gleich große Widerstände.

Geg.: U = 9\ \text{V}; R_1 = 22\ \text{k}\Omega; R_2 = 15\ \text{k}\Omega; R_3 = 10\ \text{k}\Omega; unbelastet

a) Ges.: I

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U & = & (R_1 + R_2 + R_3) \cdot I & \color{gray}{:(R_1 + R_2 + R_3)} \\ I & = & \dfrac{U}{R_1 + R_2 + R_3} = \dfrac{9\ \text{V}}{47\ \text{k}\Omega} \approx \underline{\underline{0{,}191\ \text{mA}}} & \end{array}

b) Ges.: U_\mathrm{A}, U_\mathrm{B}

Unter A liegen -R_2 und -R_3, unter B nur -R_3:

U_\mathrm{A} = U \cdot \frac{R_2 + R_3}{R_1 + R_2 + R_3} = 9\ \text{V} \cdot \frac{25\ \text{k}\Omega}{47\ \text{k}\Omega} \approx \underline{\underline{4{,}79\ \text{V}}}

U_\mathrm{B} = U \cdot \frac{R_3}{R_1 + R_2 + R_3} = 9\ \text{V} \cdot \frac{10\ \text{k}\Omega}{47\ \text{k}\Omega} \approx \underline{\underline{1{,}91\ \text{V}}}

Kontrolle über den Strom: U_\mathrm{B} = R_3 \cdot I = 10\ \text{k}\Omega \cdot 0{,}191\ \text{mA} = 1{,}91\ \text{V}; U_\mathrm{A} = 25\ \text{k}\Omega \cdot 0{,}191\ \text{mA} \approx 4{,}78\ \text{V} (mit gerundetem Strom; ohne Rundung 4,79 V).

c) Ges.: U_\mathrm{A}, U_\mathrm{B} bei unterbrochenem -R_2

Der Stromkreis ist unterbrochen, es fließt kein Strom mehr. An -R_1 und -R_3 fällt keine Spannung ab:

• A liegt über -R_1 (stromlos) auf dem oberen Potenzial: \underline{\underline{U_\mathrm{A} = 9\ \text{V}}}.

• B liegt über -R_3 (stromlos) auf 0 V: \underline{\underline{U_\mathrm{B} = 0\ \text{V}}}.

Die ganze Spannung von 9 V liegt an der Unterbrechung.

Geg.: U_\mathrm{max} = 16\ \text{V}; U_\mathrm{2,max} = 3{,}3\ \text{V}; R_2 = 10\ \text{k}\Omega; unbelastet

a) Ges.: R_1

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} \dfrac{U_1}{U_2} & = & \dfrac{R_1}{R_2} & \color{gray}{\cdot R_2} \\ R_1 & = & R_2 \cdot \dfrac{U_1}{U_2} = R_2 \cdot \dfrac{U - U_2}{U_2} = 10\ \text{k}\Omega \cdot \dfrac{16\ \text{V} - 3{,}3\ \text{V}}{3{,}3\ \text{V}} \approx \underline{\underline{38{,}5\ \text{k}\Omega}} & \end{array}

b) Ges.: I_\mathrm{q}

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U_2 & = & R_2 \cdot I_\mathrm{q} & \color{gray}{:R_2} \\ I_\mathrm{q} & = & \dfrac{U_2}{R_2} = \dfrac{3{,}3\ \text{V}}{10\ \text{k}\Omega} = \underline{\underline{0{,}330\ \text{mA}}} & \end{array}

c) Ges.: U_\mathrm{Bat} bei 2,50 V mit R_1 = 39\ \text{k}\Omega

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} \dfrac{U_2}{U} & = & \dfrac{R_2}{R_1 + R_2} & \color{gray}{\cdot U \cdot (R_1 + R_2) : R_2} \\ U & = & \dfrac{U_2 \cdot (R_1 + R_2)}{R_2} = 2{,}50\ \text{V} \cdot \dfrac{49\ \text{k}\Omega}{10\ \text{k}\Omega} \approx \underline{\underline{12{,}3\ \text{V}}} & \end{array}

(genau 12,25 V). Mit 39 kΩ liegen erst bei 3{,}3\ \text{V} \cdot 4{,}9 \approx 16{,}2\ \text{V} die 3,3 V am Eingang; der Messbereich reicht damit etwas über 16 V.

d) Ges.: Begründung

Der Teiler aus 3,9 Ω und 1 Ω hätte einen Querstrom von 16\ \text{V} : 4{,}9\ \Omega \approx 3{,}3\ \text{A} und würde rund 52 W in Wärme umsetzen. Er würde \underline{\underline{\text{die Batterie entladen und die Widerstände überlasten}}}. Hochohmige Teiler (hier ≈ 49 kΩ, 0,33 mA) belasten die Quelle kaum. Nach oben ist der Wert begrenzt, weil der Eingangsstrom des Analogeingangs und Störeinkopplungen bei sehr großen Widerständen das Ergebnis verfälschen.

Richtige Antwort: 3

Geg.: U konstant; R_\mathrm{L} wird kleiner

Ges.: Folge

R_\mathrm{L} liegt parallel zu R_2. Wird R_\mathrm{L} kleiner, sinkt R_{2\mathrm{L}} und damit der Gesamtwiderstand R_1 + R_{2\mathrm{L}}. Bei konstantem U \underline{\underline{\text{steigt der Strom durch } {-R_1}}}: Antwort 3.

Die anderen Antworten sind falsch: Weil mehr Strom durch -R_1 fließt, steigt die Spannung an -R_1 (nicht Antwort 4), und U_2 = U - U_1 sinkt (nicht Antwort 1). Mit U_2 sinkt auch der Strom I_\mathrm{q} = U_2 : R_2 durch -R_2 (nicht Antwort 2). Der Gesamtwiderstand sinkt (nicht Antwort 5).

Geg.: U = 24\ \text{V}; R_1 = 1{,}5\ \text{k}\Omega; R_2 = 1{,}0\ \text{k}\Omega; R_\mathrm{L} = 2{,}2\ \text{k}\Omega

a) Ges.: U_{20}

U_{20} = U \cdot \frac{R_2}{R_1 + R_2} = 24\ \text{V} \cdot \frac{1{,}0\ \text{k}\Omega}{2{,}5\ \text{k}\Omega} = \underline{\underline{9{,}60\ \text{V}}}

b) Ges.: U_2; Abweichung

\begin{aligned} &\text{(I)} && R_{2\mathrm{L}} = \dfrac{R_2 \cdot R_\mathrm{L}}{R_2 + R_\mathrm{L}} \\ &\text{(II)} && U_2 = U \cdot \dfrac{R_{2\mathrm{L}}}{R_1 + R_{2\mathrm{L}}} \end{aligned}

R_{2\mathrm{L}} = \frac{1{,}0\ \text{k}\Omega \cdot 2{,}2\ \text{k}\Omega}{3{,}2\ \text{k}\Omega} = 0{,}6875\ \text{k}\Omega

I in II:

U_2 = 24\ \text{V} \cdot \frac{0{,}6875\ \text{k}\Omega}{1{,}5\ \text{k}\Omega + 0{,}6875\ \text{k}\Omega} \approx \underline{\underline{7{,}54\ \text{V}}}

Mit gerundeten Zwischenergebnissen ergibt sich: R_{2\mathrm{L}} \approx 0{,}688\ \text{k}\Omega: U_2 \approx 7{,}55\ \text{V}
Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: R_{2\mathrm{L}} = 0{,}6875\ \text{k}\Omega: U_2 \approx 7{,}54\ \text{V}

\frac{U_2 - U_{20}}{U_{20}} = \frac{7{,}54\ \text{V} - 9{,}60\ \text{V}}{9{,}60\ \text{V}} \approx \underline{\underline{-21{,}4\ \%}}

(mit U_2 \approx 7{,}55\ \text{V}: -21{,}4\ \%). Die Last senkt die Ausgangsspannung um gut ein Fünftel.

c) Ges.: I_\mathrm{q}, I_\mathrm{L}, q

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U_2 & = & R_2 \cdot I_\mathrm{q} & \color{gray}{:R_2} \\ I_\mathrm{q} & = & \dfrac{U_2}{R_2} = \dfrac{7{,}54\ \text{V}}{1{,}0\ \text{k}\Omega} \approx \underline{\underline{7{,}54\ \text{mA}}} & \end{array}

Ebenso für die Last (U_2 = R_\mathrm{L} \cdot I_\mathrm{L}, umgestellt mit :R_\mathrm{L}):

I_\mathrm{L} = \frac{U_2}{R_\mathrm{L}} = \frac{7{,}54\ \text{V}}{2{,}2\ \text{k}\Omega} \approx \underline{\underline{3{,}43\ \text{mA}}}

q = \frac{I_\mathrm{q}}{I_\mathrm{L}} = \frac{7{,}54\ \text{mA}}{3{,}43\ \text{mA}} \approx \underline{\underline{2{,}20}}

Mit gerundeten Zwischenergebnissen ergibt sich: U_2 \approx 7{,}55\ \text{V}: I_\mathrm{q} \approx 7{,}55\ \text{mA}, I_\mathrm{L} \approx 3{,}43\ \text{mA}, q \approx 2{,}20
Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: U_2 = 7{,}543\ \text{V}: I_\mathrm{q} \approx 7{,}54\ \text{mA}, I_\mathrm{L} \approx 3{,}43\ \text{mA}, q = 2{,}20

Weil an -R_2 und -R_\mathrm{L} dieselbe Spannung liegt, gilt auch q = R_\mathrm{L} : R_2 = 2{,}2 (unabhängig von Rundungen). Obwohl q im Bereich der Faustregel liegt, sinkt U_2 um 21 %: Das untere Ende der Faustregel reicht nur, wenn die Ausgangsspannung nicht genau stimmen muss.

d) Ges.: R_1, R_2 für U_2 = 9{,}6\ \text{V} und q = 10; Nachteil

\begin{aligned} &\text{(I)} && U_2 = R_\mathrm{L} \cdot I_\mathrm{L} \\ &\text{(II)} && I_\mathrm{q} = q \cdot I_\mathrm{L} \end{aligned}

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U_2 & = & R_\mathrm{L} \cdot I_\mathrm{L} & \color{gray}{:R_\mathrm{L}} \\ I_\mathrm{L} & = & \dfrac{U_2}{R_\mathrm{L}} = \dfrac{9{,}6\ \text{V}}{2{,}2\ \text{k}\Omega} \approx 4{,}36\ \text{mA} & \end{array}

I in II: I_\mathrm{q} = 10 \cdot 4{,}36\ \text{mA} = 43{,}6\ \text{mA}.

Ohmsches Gesetz an -R_2 und an -R_1 (durch -R_1 fließt I_\mathrm{q} + I_\mathrm{L}):

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U_2 & = & R_2 \cdot I_\mathrm{q} & \color{gray}{:I_\mathrm{q}} \\ R_2 & = & \dfrac{U_2}{I_\mathrm{q}} = \dfrac{9{,}6\ \text{V}}{43{,}6\ \text{mA}} \approx \underline{\underline{220\ \Omega}} & \\ U - U_2 & = & R_1 \cdot (I_\mathrm{q} + I_\mathrm{L}) & \color{gray}{:(I_\mathrm{q} + I_\mathrm{L})} \\ R_1 & = & \dfrac{U - U_2}{I_\mathrm{q} + I_\mathrm{L}} = \dfrac{14{,}4\ \text{V}}{48{,}0\ \text{mA}} = \underline{\underline{300\ \Omega}} & \end{array}

Mit gerundeten Zwischenergebnissen ergibt sich: I_\mathrm{q} = 43{,}6\ \text{mA}: R_2 \approx 220\ \Omega, R_1 = 300\ \Omega
Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: I_\mathrm{q} = 43{,}64\ \text{mA}: R_2 = 220\ \Omega, R_1 = 300\ \Omega (exakt)

Nachteil: Der Teiler nimmt 24\ \text{V} \cdot 48{,}0\ \text{mA} \approx 1{,}15\ \text{W} auf, davon gelangen nur 9{,}6\ \text{V} \cdot 4{,}36\ \text{mA} \approx 42\ \text{mW} zur Last. Der Teiler wird \underline{\underline{\text{sehr verlustreich}}} (Erwärmung, größere Bauform von -R_1). Besser ist ein Spannungsregler oder ein Impedanzwandler.

Richtige Antwort: 2

Geg.: Potenziometer als veränderbarer Widerstand

Ges.: Anschluss

Genutzt werden \underline{\underline{\text{Schleifer und ein Endanschluss}}}; der freie Endanschluss wird mit dem Schleifer verbunden: Antwort 2. Dann ist der Widerstand einstellbar, und bei einem abgehobenen Schleifer bleibt der Kreis über die ganze Widerstandsbahn geschlossen.

Mit den Anschlüssen 1 und 3 allein (Antwort 1) wirkt immer der volle, feste Widerstand. Drei getrennte Potenziale (Antwort 3) ergeben die Spannungsteilerschaltung. Antwort 4 legt den Schleifer an 0 V ohne Stromkreis. Bei Antwort 5 ist die Widerstandsbahn kurzgeschlossen, der Widerstand ist immer null.

Richtige Antwort: 3

Geg.: Trimmer

Ges.: zutreffende Aussage

Ein Trimmer wird \underline{\underline{\text{beim Abgleich mit Werkzeug eingestellt}}} und danach nicht mehr verstellt: Antwort 3.

Antwort 1 beschreibt ein Bedien-Potenziometer. Antwort 2 beschreibt einen Heiß- oder Kaltleiter. Trimmer gibt es überwiegend mit linearer Kennlinie (Antwort 4). Ein Trimmer hat wie ein Potenziometer drei Anschlüsse (Antwort 5) und wird oft als Spannungsteiler geschaltet.

Geg.: U = 12\ \text{V}; R_1 = 4{,}7\ \text{k}\Omega; R_2 = 10\ \text{k}\Omega (Potenziometer, linear); R_3 = 2{,}2\ \text{k}\Omega; unbelastet

a) Ges.: U_\mathrm{S,min}, U_\mathrm{S,max}

Gesamtwiderstand R_\mathrm{ges} = 4{,}7\ \text{k}\Omega + 10\ \text{k}\Omega + 2{,}2\ \text{k}\Omega = 16{,}9\ \text{k}\Omega.

Schleifer unten (nur -R_3 unter dem Abgriff), Schleifer oben (-R_2 und -R_3 unter dem Abgriff):

U_\mathrm{S,min} = 12\ \text{V} \cdot \frac{2{,}2\ \text{k}\Omega}{16{,}9\ \text{k}\Omega} \approx \underline{\underline{1{,}56\ \text{V}}} \qquad U_\mathrm{S,max} = 12\ \text{V} \cdot \frac{12{,}2\ \text{k}\Omega}{16{,}9\ \text{k}\Omega} \approx \underline{\underline{8{,}66\ \text{V}}}

b) Ges.: Schleiferstellung x für 5,0 V

Mit dem Anteil x (0 … 1) des Potenziometers unter dem Schleifer gilt:

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U_\mathrm{S} & = & U \cdot \dfrac{R_3 + x \cdot R_2}{R_\mathrm{ges}} & \color{gray}{\cdot R_\mathrm{ges} : U} \\ \dfrac{U_\mathrm{S} \cdot R_\mathrm{ges}}{U} & = & R_3 + x \cdot R_2 & \color{gray}{-R_3} \\ \dfrac{U_\mathrm{S} \cdot R_\mathrm{ges}}{U} - R_3 & = & x \cdot R_2 & \color{gray}{:R_2} \\ x & = & \dfrac{\dfrac{5{,}0\ \text{V} \cdot 16{,}9\ \text{k}\Omega}{12\ \text{V}} - 2{,}2\ \text{k}\Omega}{10\ \text{k}\Omega} = \dfrac{7{,}04\ \text{k}\Omega - 2{,}2\ \text{k}\Omega}{10\ \text{k}\Omega} \approx \underline{\underline{48{,}4\ \%}} & \end{array}

Mit gerundeten Zwischenergebnissen ergibt sich: 7{,}04\ \text{k}\Omega: x = 0{,}484
Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: 7{,}0417\ \text{k}\Omega: x \approx 0{,}484 = 48{,}4\ \%

c) Ges.: zwei Gründe

• Sie \underline{\underline{\text{begrenzen den Einstellbereich}}} auf 1,56 … 8,66 V; Extremwerte von 0 V oder 12 V, die der Komparator nicht verarbeiten soll, sind nicht einstellbar.

• Die Einstellung wird \underline{\underline{\text{feiner}}}: Der ganze Drehwinkel des Potenziometers verteilt sich auf 7,1 V statt auf 12 V. Außerdem begrenzen sie den Strom, falls der Abgriff versehentlich gegen 0 V oder 12 V kurzgeschlossen wird.

d) Ges.: Änderung von U_\mathrm{S} bei Belastung

Der Eingang liegt parallel zum unteren Teil des Teilers. Der untere Teil wird kleiner, \underline{\underline{U_\mathrm{S} \text{ sinkt}}} (in Mittelstellung von 5,11 V auf etwa 3,62 V), und die Einstellung ist nicht mehr linear.

Geg.: U = 12\ \text{V}; U_\mathrm{F} = 2{,}0\ \text{V}; I_\mathrm{min} = 5\ \text{mA}; I_\mathrm{max} = 20\ \text{mA}

a) Ges.: R_1, R_2

An den Widerständen liegt zusammen U_\mathrm{R} = 12\ \text{V} - 2{,}0\ \text{V} = 10\ \text{V}. Der größte Strom fließt bei R_2 = 0, der kleinste bei voll eingedrehtem Trimmer:

\begin{aligned} &\text{(I)} && U_\mathrm{R} = R_1 \cdot I_\mathrm{max} \\ &\text{(II)} && U_\mathrm{R} = (R_1 + R_2) \cdot I_\mathrm{min} \end{aligned}

I nach R_1 umstellen:

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U_\mathrm{R} & = & R_1 \cdot I_\mathrm{max} & \color{gray}{:I_\mathrm{max}} \\ R_1 & = & \dfrac{U_\mathrm{R}}{I_\mathrm{max}} = \dfrac{10\ \text{V}}{20\ \text{mA}} = \underline{\underline{500\ \Omega}} & \end{array}

I in II und nach R_2 umstellen:

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U_\mathrm{R} & = & (R_1 + R_2) \cdot I_\mathrm{min} & \color{gray}{:I_\mathrm{min}} \\ R_1 + R_2 & = & \dfrac{U_\mathrm{R}}{I_\mathrm{min}} & \color{gray}{-R_1} \\ R_2 & = & \dfrac{10\ \text{V}}{5\ \text{mA}} - 500\ \Omega = 2000\ \Omega - 500\ \Omega = \underline{\underline{1{,}50\ \text{k}\Omega}} & \end{array}

Der Trimmer muss mindestens 1,5 kΩ haben. Mit einem 2-kΩ-Trimmer ist der kleinste Strom 10\ \text{V} : 2{,}5\ \text{k}\Omega = 4\ \text{mA}. 500 Ω ist kein Normwert: Mit 470 Ω wären es höchstens 21,3 mA, mit 560 Ω höchstens 17,9 mA (sichere Wahl, wenn 20 mA der Grenzwert der LED ist).

b) Ges.: Begründung Festwiderstand

Steht der Trimmer auf 0 Ω, begrenzt nur noch -R_1 den Strom. Ohne -R_1 wäre der Strom nur durch den Bahnwiderstand der LED begrenzt; \underline{\underline{\text{die LED würde zerstört}}}. Der Festwiderstand legt den Höchststrom unabhängig von der Trimmerstellung fest.

Richtige Antwort: 4

Geg.: R_1 = 2{,}2\ \text{k}\Omega; R_3 = 1{,}0\ \text{k}\Omega; R_4 = 1385\ \Omega

Ges.: R_2 für Abgleich

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} \dfrac{R_1}{R_2} & = & \dfrac{R_3}{R_4} & \color{gray}{\cdot R_2 \cdot R_4 : R_3} \\ R_2 & = & \dfrac{R_1 \cdot R_4}{R_3} = \dfrac{2{,}2\ \text{k}\Omega \cdot 1385\ \Omega}{1{,}0\ \text{k}\Omega} \approx \underline{\underline{3{,}05\ \text{k}\Omega}} & \end{array}

Antwort 4. Antwort 1 rechnet R_3 \cdot R_4 : R_1, Antwort 3 R_1 \cdot R_3 : R_4 – beide stellen die Abgleichbedingung falsch um. Antwort 2 übernimmt einfach den Sensorwert; das gilt nur, wenn R_1 = R_3 ist. Antwort 5 ist die Summe R_1 + R_3 + R_4 und hat mit dem Abgleich nichts zu tun.

Geg.: U = 10\ \text{V}; R_1 = R_2 = R_3 = 10\ \text{k}\Omega; R_4 (NTC): 33,6 kΩ bei 0 °C, 10,0 kΩ bei 25 °C, 5,30 kΩ bei 40 °C

a) Ges.: Nachweis Abgleich bei 25 °C

\frac{R_1}{R_2} = \frac{10\ \text{k}\Omega}{10\ \text{k}\Omega} = 1 \qquad \frac{R_3}{R_4} = \frac{10\ \text{k}\Omega}{10{,}0\ \text{k}\Omega} = 1

Beide Verhältnisse sind gleich, also ist \underline{\underline{U_\mathrm{AB} = 0}}: Beide Abgriffe liegen auf 5 V.

b) Ges.: U_\mathrm{AB} bei 40 °C und 0 °C

U_\mathrm{AB} = U \cdot \left(\frac{R_2}{R_1 + R_2} - \frac{R_4}{R_3 + R_4}\right)

U_\mathrm{AB}(40\ \text{°C}) = 10\ \text{V} \cdot \left(0{,}5 - \frac{5{,}30\ \text{k}\Omega}{15{,}3\ \text{k}\Omega}\right) = 5\ \text{V} - 3{,}46\ \text{V} \approx \underline{\underline{1{,}54\ \text{V}}}

U_\mathrm{AB}(0\ \text{°C}) = 10\ \text{V} \cdot \left(0{,}5 - \frac{33{,}6\ \text{k}\Omega}{43{,}6\ \text{k}\Omega}\right) = 5\ \text{V} - 7{,}71\ \text{V} \approx \underline{\underline{-2{,}71\ \text{V}}}

Mit gerundeten Zwischenergebnissen ergibt sich: U_4 \approx 3{,}46\ \text{V} bzw. 7{,}71\ \text{V}: 1{,}54\ \text{V} und -2{,}71\ \text{V}
Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: U_4 = 3{,}464\ \text{V} bzw. 7{,}706\ \text{V}: 1{,}54\ \text{V} und -2{,}71\ \text{V}

c) Ges.: R_2 für Abgleich bei 40 °C

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} \dfrac{R_1}{R_2} & = & \dfrac{R_3}{R_4} & \color{gray}{\cdot R_2 \cdot R_4 : R_3} \\ R_2 & = & \dfrac{R_1 \cdot R_4}{R_3} = \dfrac{10\ \text{k}\Omega \cdot 5{,}30\ \text{k}\Omega}{10\ \text{k}\Omega} = \underline{\underline{5{,}30\ \text{k}\Omega}} & \end{array}

d) Ges.: Bedeutung des Vorzeichens

U_\mathrm{AB} > 0 bedeutet \underline{\underline{\vartheta > 25\ \text{°C}}} (NTC kleiner, B tiefer als A), U_\mathrm{AB} < 0 bedeutet \vartheta < 25\ \text{°C}. Der Betrag zeigt, wie weit die Temperatur vom Abgleichpunkt entfernt ist.

a) Ges.: U_\mathrm{AIN0} bei 24 V

U_\mathrm{AIN0} = U \cdot \frac{R_2}{R_1 + R_2} = 24\ \text{V} \cdot \frac{10\ \text{k}\Omega}{92\ \text{k}\Omega} \approx \underline{\underline{2{,}61\ \text{V}}}

b) Ges.: U_\mathrm{max}; Beurteilung

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} \dfrac{U_\mathrm{AIN0}}{U} & = & \dfrac{R_2}{R_1 + R_2} & \color{gray}{\cdot U \cdot (R_1 + R_2) : R_2} \\ U_\mathrm{max} & = & \dfrac{U_\mathrm{AIN0,max} \cdot (R_1 + R_2)}{R_2} = 3{,}3\ \text{V} \cdot \dfrac{92\ \text{k}\Omega}{10\ \text{k}\Omega} \approx \underline{\underline{30{,}4\ \text{V}}} & \end{array}

30,4 V liegt über der Überspannungsgrenze von 28,8 V. Der ganze zulässige Bereich und auch Überspannungen bis 30,4 V werden erfasst: Der Teiler ist \underline{\underline{\text{geeignet}}}.

c) Ges.: U bei 2,05 V; Meldung

U = 2{,}05\ \text{V} \cdot \frac{92\ \text{k}\Omega}{10\ \text{k}\Omega} \approx \underline{\underline{18{,}9\ \text{V}}}

18,9 V liegen unter 20 V: Der Mikrocontroller meldet \underline{\underline{\text{Unterspannung}}}.

d) Ges.: Messwert und Reaktion bei unterbrochenem -R_2

Ohne -R_2 gibt es keinen Weg mehr nach 0 V; AIN0 wird über -R_1 in Richtung 24 V gezogen. Die Schutzdiode des Eingangs begrenzt die Spannung auf etwa 3,3 V plus Diodenschwelle; der Strom in die Schutzdiode ist durch 82 kΩ auf etwa (24\ \text{V} - 3{,}6\ \text{V}) : 82\ \text{k}\Omega \approx 0{,}25\ \text{mA} begrenzt. Der Mikrocontroller misst den \underline{\underline{\text{Endwert des Messbereichs}}}, rechnet daraus mindestens 30,4 V und meldet fälschlich \underline{\underline{\text{Überspannung}}}. Hat der Eingang keine Schutzbeschaltung, kann er durch die zu hohe Spannung sogar zerstört werden.

a) Ges.: U_\mathrm{A} bei 40 °C

-B_1 liegt oben, -R_3 unten:

U_\mathrm{A} = 5\ \text{V} \cdot \frac{R_3}{R_{B1} + R_3} = 5\ \text{V} \cdot \frac{10\ \text{k}\Omega}{5{,}30\ \text{k}\Omega + 10\ \text{k}\Omega} \approx \underline{\underline{3{,}27\ \text{V}}}

b) Ges.: R_6 für Abgleich bei 40 °C

Abgleich: Beide Zweige teilen im gleichen Verhältnis.

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} \dfrac{R_{B1}}{R_3} & = & \dfrac{R_4}{R_5 + R_6} & \color{gray}{\cdot (R_5 + R_6) \cdot R_3 : R_{B1}} \\ R_5 + R_6 & = & \dfrac{R_4 \cdot R_3}{R_{B1}} & \color{gray}{-R_5} \\ R_6 & = & \dfrac{4{,}7\ \text{k}\Omega \cdot 10\ \text{k}\Omega}{5{,}30\ \text{k}\Omega} - 4{,}7\ \text{k}\Omega = 8{,}87\ \text{k}\Omega - 4{,}7\ \text{k}\Omega \approx \underline{\underline{4{,}17\ \text{k}\Omega}} & \end{array}

Mit gerundeten Zwischenergebnissen ergibt sich: 8{,}87\ \text{k}\Omega: R_6 = 4{,}17\ \text{k}\Omega
Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: 8{,}868\ \text{k}\Omega: R_6 \approx 4{,}17\ \text{k}\Omega

Kontrolle: U_\mathrm{B} = 5\ \text{V} \cdot 8{,}87\ \text{k}\Omega : 13{,}57\ \text{k}\Omega \approx 3{,}27\ \text{V} = U_\mathrm{A}.

c) Ges.: Bereich von U_\mathrm{B}; Bereich der Einschalttemperatur

U_\mathrm{B,min} = 5\ \text{V} \cdot \frac{4{,}7\ \text{k}\Omega}{9{,}4\ \text{k}\Omega} = \underline{\underline{2{,}50\ \text{V}}} \quad (R_6 = 0) \qquad U_\mathrm{B,max} = 5\ \text{V} \cdot \frac{14{,}7\ \text{k}\Omega}{19{,}4\ \text{k}\Omega} \approx \underline{\underline{3{,}79\ \text{V}}} \quad (R_6 = 10\ \text{k}\Omega)

Der Komparator schaltet, wenn U_\mathrm{A} = U_\mathrm{B} ist, also bei R_{B1} = \dfrac{R_3 \cdot R_4}{R_5 + R_6}:

R_{B1} = \frac{10\ \text{k}\Omega \cdot 4{,}7\ \text{k}\Omega}{4{,}7\ \text{k}\Omega} = 10{,}0\ \text{k}\Omega \qquad R_{B1} = \frac{10\ \text{k}\Omega \cdot 4{,}7\ \text{k}\Omega}{14{,}7\ \text{k}\Omega} \approx 3{,}20\ \text{k}\Omega

10,0 kΩ entsprechen 25 °C; 3,20 kΩ liegen zwischen 50 °C (3,59 kΩ) und 60 °C (2,49 kΩ). Die Einschalttemperatur ist von \underline{\underline{\text{25 °C bis etwa 53 °C}}} einstellbar (Interpolation zwischen 50 °C und 60 °C: linear 53,6 °C, logarithmisch 53,2 °C; Ablesewerte von 53 … 54 °C sind richtig).

d) Ges.: Schaltrichtung; Folge der Unterbrechung

Steigt die Temperatur, sinkt R_{B1}, und U_\mathrm{A} steigt. Überschreitet U_\mathrm{A} die Vergleichsspannung U_\mathrm{B}, wird der Ausgang von -K_2 High: Der Lüfter \underline{\underline{\text{schaltet bei steigender Temperatur ein}}}.

Ist die Leitung zu -B_1 unterbrochen, zieht -R_3 den Punkt A auf 0 V. U_\mathrm{A} ist immer kleiner als U_\mathrm{B}, der \underline{\underline{\text{Lüfter bleibt auch bei Übertemperatur aus}}}. Der Fehler fällt nicht auf, denn ein unterbrochener NTC wirkt wie ein sehr kalter Fühler. Abhilfe: U_\mathrm{A} zusätzlich vom Mikrocontroller auf Plausibilität überwachen (z. B. U_\mathrm{A} < 0{,}5\ \text{V} → Meldung „Fühlerbruch“) oder einen Kaltleiter (PTC) an der Stelle von -R_3 einsetzen und oben einen Festwiderstand: Dann steigt U_\mathrm{A} weiterhin mit der Temperatur, und ein Drahtbruch zieht A auf 5 V, sodass der Lüfter einschaltet.