Übungsaufgaben zum Umstellen von Formeln

Kopiere den Text in ein KI-Sprachmodell Deiner Wahl und passe Kompetenzstufe, Anzahl, Bearbeitungszeit und Szenario bei Bedarf an. Wie die Aufgaben aufgebaut sind, beschreibt der Artikel Wie sind die Aufgaben aufgebaut?. Prüfe die Ergebnisse mit dem Lehrartikel: KI-Sprachmodelle machen Fehler.

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Bauplan: Halte Dich an Aufbau, Kompetenzstufen, Operatoren,
Anforderungsbereiche, Punkte und Zeitschätzung, die im Artikel
https://oer-informatik.de/aufgaben-aufbau beschrieben sind.

Fachliche Grundlage:
- https://oer-informatik.de/formeln-umstellen
- https://oer-informatik.de/szenario-riepenhusen
- https://oer-informatik.de/szenario-hawest-wasser
- Stilbeispiel: https://oer-informatik.de/formeln-umstellen-uebungsaufgaben

Die Aufgaben sollen Inhalte zu diesen Schlagwörtern abdecken:
- Formeln umstellen
- Äquivalenzumformung
- Ausklammern
- Kehrwert
- Parallelschaltung
- Quadratwurzel
- Satz des Pythagoras
- Winkelfunktionen
- Leistungsfaktor

Kompetenzstufe: Basiskompetenz (alternativ: Kernkompetenz, Profilkompetenz, Expertise)
Anzahl: 1 Aufgabe mit Teilaufgaben
Bearbeitungszeit in Minuten ca.: <5 bis 30 min>
Szenario: eines der Szenarien aus dem Bauplan

Vorgehen:
1. Lies zuerst die verlinkten Artikel. Kannst Du keine Webseiten
   abrufen, sag mir das, statt zu raten.
2. Steht bei einer Angabe noch ein Platzhalter in <…>, frag mich
   zuerst danach. Richte Punkte und Zahl der Teilaufgaben nach der
   Bearbeitungszeit (ca. 0,9 min je Punkt).
3. Gib je Aufgabe Titel mit Kompetenzstufe, Ausgangssituation und
   Teilaufgaben mit Operator und Punktzahl aus, dazu die geschätzte
   Bearbeitungszeit.
4. Gib die Beispiellösungen mit Punkteverteilung erst aus, wenn ich
   danach frage.

Geg.: \rho = 0{,}0178\ \Omega \cdot \text{mm}^2/\text{m}; a) Prüflast A = 0{,}25\ \text{mm}^2, R = 0{,}500\ \Omega; b) Steuerleitung l = 12\ \text{m}, R_\mathrm{max} = 0{,}500\ \Omega

Ges.: l

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} R & = & \dfrac{\rho \cdot l}{A} & \color{gray}{\cdot A} \\ R \cdot A & = & \rho \cdot l & \color{gray}{:\rho} \\ l & = & \dfrac{R \cdot A}{\rho} = \dfrac{0{,}500\ \Omega \cdot 0{,}25\ \text{mm}^2}{0{,}0178\ \tfrac{\Omega \cdot \text{mm}^2}{\text{m}}} \approx \underline{\underline{7{,}02\ \text{m}}} & \end{array}

Bewertung: Ansatz und Umstellung 2 Punkte, Ergebnis 1 Punkt.

Ges.: A_\mathrm{min}; Normquerschnitt

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} R & = & \dfrac{\rho \cdot l}{A} & \color{gray}{\cdot A} \\ R \cdot A & = & \rho \cdot l & \color{gray}{:R} \\ A & = & \dfrac{\rho \cdot l}{R} = \dfrac{0{,}0178\ \tfrac{\Omega \cdot \text{mm}^2}{\text{m}} \cdot 12\ \text{m}}{0{,}500\ \Omega} \approx \underline{\underline{0{,}427\ \text{mm}^2}} & \end{array}

Gewählt wird der nächstgrößere Querschnitt: \underline{\underline{0{,}5\ \text{mm}^2}} (bei 0,25 mm² wäre der Widerstand zu groß).

Bewertung: Umstellung 1 Punkt, Mindestquerschnitt 1 Punkt, Auswahl mit Begründung 1 Punkt.

Geg.: R_{20} = 12{,}0\ \Omega; R_\mathrm{w} = 14{,}4\ \Omega; \alpha = 3{,}93 \cdot 10^{-3}\ \text{1/K}; \vartheta_{20} = 20\ \text{°C}

Ges.: Formel für \Delta\vartheta

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} R_\mathrm{w} & = & R_{20} \cdot (1 + \alpha \cdot \Delta\vartheta) & \color{gray}{:R_{20}} \\ \dfrac{R_\mathrm{w}}{R_{20}} & = & 1 + \alpha \cdot \Delta\vartheta & \color{gray}{-1} \\ \dfrac{R_\mathrm{w}}{R_{20}} - 1 & = & \alpha \cdot \Delta\vartheta & \color{gray}{:\alpha} \\ \Delta\vartheta & = & \underline{\underline{\dfrac{\dfrac{R_\mathrm{w}}{R_{20}} - 1}{\alpha}}} & \end{array}

Gleichwertig: \Delta\vartheta = \dfrac{R_\mathrm{w} - R_{20}}{R_{20} \cdot \alpha} (erst Klammer ausmultiplizieren, dann -R_{20} und :(R_{20} \cdot \alpha)).

Bewertung: je Umformungsschritt 1 Punkt.

Ges.: \Delta\vartheta, \vartheta_\mathrm{w}

\Delta\vartheta = \frac{\dfrac{14{,}4\ \Omega}{12{,}0\ \Omega} - 1}{3{,}93 \cdot 10^{-3}\ \tfrac{1}{\text{K}}} = \frac{0{,}200}{3{,}93 \cdot 10^{-3}\ \tfrac{1}{\text{K}}} \approx \underline{\underline{50{,}9\ \text{K}}}

\vartheta_\mathrm{w} = \vartheta_{20} + \Delta\vartheta = 20\ \text{°C} + 50{,}9\ \text{K} \approx \underline{\underline{70{,}9\ \text{°C}}}

Bewertung: Erwärmung 1 Punkt, Wicklungstemperatur 1 Punkt.

Ges.: Einheit von α

Das Produkt \alpha \cdot \Delta\vartheta wird zu 1 addiert und muss daher einheitenlos sein; \Delta\vartheta ist eine Temperaturdifferenz in K, also hat \alpha die Einheit \underline{\underline{1/\text{K}}}. Eine Temperaturdifferenz von 1 K ist genauso groß wie 1 °C, deshalb darf \Delta\vartheta in K zu einer Temperatur in °C addiert werden.

Bewertung: 1 Punkt.

Geg.: R_1 = 1\ \text{k}\Omega; R_2 = 1{,}5\ \text{k}\Omega; R_3 = 3\ \text{k}\Omega; c) R = 2{,}00\ \text{k}\Omega, R_a = 3{,}30\ \text{k}\Omega

Ges.: R (ohne Taschenrechner)

Mit 1{,}5 = \frac{3}{2} ist \frac{1}{1{,}5} = \frac{2}{3}. Hauptnenner 3:

\frac{1}{R} = \frac{1}{1\ \text{k}\Omega} + \frac{1}{1{,}5\ \text{k}\Omega} + \frac{1}{3\ \text{k}\Omega} = \frac{3}{3\ \text{k}\Omega} + \frac{2}{3\ \text{k}\Omega} + \frac{1}{3\ \text{k}\Omega} = \frac{6}{3\ \text{k}\Omega} = \frac{2}{1\ \text{k}\Omega}

Kehrwert beider Seiten:

R = \frac{1\ \text{k}\Omega}{2} = \underline{\underline{500\ \Omega}}

Der Ersatzwiderstand ist kleiner als der kleinste Einzelwiderstand, das Ergebnis ist plausibel.

Bewertung: Hauptnenner 1 Punkt, Summe 1 Punkt, Kehrwert 1 Punkt.

Ges.: Herleitung R = \dfrac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} \dfrac{1}{R} & = & \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} & \color{gray}{\text{Term: Hauptnenner}} \\ \dfrac{1}{R} & = & \dfrac{R_2}{R_1 \cdot R_2} + \dfrac{R_1}{R_1 \cdot R_2} & \color{gray}{\text{Term: addieren}} \\ \dfrac{1}{R} & = & \dfrac{R_1 + R_2}{R_1 \cdot R_2} & \color{gray}{\text{Kehrwert}} \\ R & = & \underline{\underline{\dfrac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}}} & \end{array}

Die ersten beiden Schritte („Term“) formen nur die rechte Seite um; die eigentliche Umformung der Gleichung ist der Kehrwert. Er darf erst gebildet werden, wenn rechts ein Bruch steht.

Bewertung: Hauptnenner 1 Punkt, Zähler addieren 1 Punkt, Kehrwert der ganzen Seite 1 Punkt.

Ges.: R_b

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} R & = & \dfrac{R_a \cdot R_b}{R_a + R_b} & \color{gray}{\cdot (R_a + R_b)} \\ R \cdot R_a + R \cdot R_b & = & R_a \cdot R_b & \color{gray}{-R \cdot R_b} \\ R \cdot R_a & = & R_a \cdot R_b - R \cdot R_b & \color{gray}{R_b\ \text{ausklammern}} \\ R \cdot R_a & = & R_b \cdot (R_a - R) & \color{gray}{:(R_a - R)} \\ R_b & = & \dfrac{R \cdot R_a}{R_a - R} = \dfrac{2{,}00\ \text{k}\Omega \cdot 3{,}30\ \text{k}\Omega}{3{,}30\ \text{k}\Omega - 2{,}00\ \text{k}\Omega} \approx \underline{\underline{5{,}08\ \text{k}\Omega}} & \end{array}

Bewertung: Umstellung mit Ausklammern 2 Punkte, Ergebnis 1 Punkt.

Ges.: Nachweis des Fehlers

Richtig: \dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{1\ \text{k}\Omega} + \dfrac{1}{1\ \text{k}\Omega} = \dfrac{2}{1\ \text{k}\Omega}, also R = 0{,}5\ \text{k}\Omega. Sam erhält R = 2\ \text{k}\Omega, das Vierfache. Der Kehrwert einer Summe ist \underline{\underline{\text{nicht die Summe der Kehrwerte}}}; man darf nur die ganze Seite umdrehen, nachdem sie zu einem Bruch zusammengefasst wurde.

Bewertung: 1 Punkt.

Geg.: a) R = 47\ \Omega, P_\mathrm{max} = 0{,}25\ \text{W}; c) U = 230\ \text{V}; d) Z = 200\ \Omega, R = 120\ \Omega; e) A = 1{,}5\ \text{mm}^2

Ges.: U_\mathrm{max}

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} P & = & \dfrac{U^2}{R} & \color{gray}{\cdot R} \\ P \cdot R & = & U^2 & \color{gray}{\sqrt{\ }} \\ U & = & \sqrt{P \cdot R} = \sqrt{0{,}25\ \text{W} \cdot 47\ \Omega} = \sqrt{11{,}75\ \text{V}^2} \approx \underline{\underline{3{,}43\ \text{V}}} & \end{array}

Einheit: \text{W} \cdot \Omega = \text{V} \cdot \text{A} \cdot \dfrac{\text{V}}{\text{A}} = \text{V}^2.

Bewertung: Ansatz und Umstellung 2 Punkte, Ergebnis 1 Punkt.

Ges.: Faktor der Leistung

P_2 = \frac{(2 \cdot U)^2}{R} = \frac{4 \cdot U^2}{R} = 4 \cdot P

Die Leistung steigt auf das \underline{\underline{\text{Vierfache}}}, weil die Spannung quadratisch eingeht (2^2 = 4).

Bewertung: Faktor 1 Punkt, Begründung mit der Formel 1 Punkt.

Ges.: \hat{u}

\hat{u} = \sqrt{2} \cdot 230\ \text{V} \approx \underline{\underline{325\ \text{V}}}

Bewertung: 1 Punkt.

Ges.: X_L

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} Z & = & \sqrt{R^2 + X_L^2} & \color{gray}{(\ )^2} \\ Z^2 & = & R^2 + X_L^2 & \color{gray}{-R^2} \\ X_L^2 & = & Z^2 - R^2 & \color{gray}{\sqrt{\ }} \\ X_L & = & \sqrt{Z^2 - R^2} = \sqrt{(200\ \Omega)^2 - (120\ \Omega)^2} = \sqrt{25\,600\ \Omega^2} = \underline{\underline{160\ \Omega}} & \end{array}

Achtung: \sqrt{Z^2 - R^2} \neq Z - R = 80\ \Omega.

Bewertung: Umstellung 1 Punkt, Ergebnis 1 Punkt.

Ges.: d

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} A & = & \dfrac{\pi \cdot d^2}{4} & \color{gray}{\cdot 4} \\ 4 \cdot A & = & \pi \cdot d^2 & \color{gray}{:\pi} \\ d^2 & = & \dfrac{4 \cdot A}{\pi} & \color{gray}{\sqrt{\ }} \\ d & = & \sqrt{\dfrac{4 \cdot A}{\pi}} = \sqrt{\dfrac{4 \cdot 1{,}5\ \text{mm}^2}{\pi}} \approx \underline{\underline{1{,}38\ \text{mm}}} & \end{array}

Bewertung: Umstellung 1 Punkt, Ergebnis 1 Punkt.

Geg.: U = 12{,}0\ \text{V}; U_2 = 3{,}30\ \text{V}; a) R_2 = 10{,}0\ \text{k}\Omega; b) R_1 = 22{,}0\ \text{k}\Omega

Ges.: R_1

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U_2 & = & U \cdot \dfrac{R_2}{R_1 + R_2} & \color{gray}{\cdot (R_1 + R_2)} \\ U_2 \cdot (R_1 + R_2) & = & U \cdot R_2 & \color{gray}{:U_2} \\ R_1 + R_2 & = & \dfrac{U \cdot R_2}{U_2} & \color{gray}{-R_2} \\ R_1 & = & \dfrac{U \cdot R_2}{U_2} - R_2 = \dfrac{12{,}0\ \text{V} \cdot 10{,}0\ \text{k}\Omega}{3{,}30\ \text{V}} - 10{,}0\ \text{k}\Omega \approx \underline{\underline{26{,}4\ \text{k}\Omega}} & \end{array}

36{,}36\ \text{k}\Omega - 10{,}0\ \text{k}\Omega = 26{,}36\ \text{k}\Omega. Gleichwertig: R_1 = R_2 \cdot \left(\dfrac{U}{U_2} - 1\right).

Bewertung: Ansatz und Umstellung 2 Punkte, Ergebnis 1 Punkt.

Ges.: R_2

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U_2 & = & U \cdot \dfrac{R_2}{R_1 + R_2} & \color{gray}{\cdot (R_1 + R_2)} \\ U_2 \cdot R_1 + U_2 \cdot R_2 & = & U \cdot R_2 & \color{gray}{-U_2 \cdot R_2} \\ U_2 \cdot R_1 & = & U \cdot R_2 - U_2 \cdot R_2 & \color{gray}{R_2\ \text{ausklammern}} \\ U_2 \cdot R_1 & = & R_2 \cdot (U - U_2) & \color{gray}{:(U - U_2)} \\ R_2 & = & \dfrac{U_2 \cdot R_1}{U - U_2} = \dfrac{3{,}30\ \text{V} \cdot 22{,}0\ \text{k}\Omega}{12{,}0\ \text{V} - 3{,}30\ \text{V}} \approx \underline{\underline{8{,}34\ \text{k}\Omega}} & \end{array}

Probe: 12{,}0\ \text{V} \cdot \dfrac{8{,}345\ \text{k}\Omega}{30{,}345\ \text{k}\Omega} \approx 3{,}30\ \text{V}.

Bewertung: Umstellung mit Ausklammern 3 Punkte, Ergebnis 1 Punkt.

Ges.: zusätzlicher Umformungsschritt

R_2 steht im Zähler und im Nenner. Nach dem Multiplizieren mit dem Nenner kommt R_2 auf beiden Seiten vor. Man bringt alle Terme mit R_2 auf eine Seite und muss \underline{\underline{R_2 \text{ ausklammern}}}, bevor man durch die Klammer teilen kann.

Bewertung: 1 Punkt.

Geg.: d) Z = 50{,}0\ \Omega, L' = 250\ \text{nH/m}; e) U = 5{,}00\ \text{V}, U_{=} = 4{,}00\ \text{V}

Ges.: C'

Die Wurzel wirkt zuletzt, sie wird zuerst beseitigt:

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} Z & = & \sqrt{\dfrac{L'}{C'}} & \color{gray}{(\ )^2} \\ Z^2 & = & \dfrac{L'}{C'} & \color{gray}{\cdot C'} \\ Z^2 \cdot C' & = & L' & \color{gray}{:Z^2} \\ C' & = & \dfrac{L'}{Z^2} = \dfrac{250 \cdot 10^{-9}\ \tfrac{\text{H}}{\text{m}}}{(50{,}0\ \Omega)^2} = 0{,}1 \cdot 10^{-9}\ \tfrac{\text{F}}{\text{m}} = \underline{\underline{100\ \tfrac{\text{pF}}{\text{m}}}} & \end{array}

Einheit: \dfrac{\text{H}}{\Omega^2} = \dfrac{\Omega \cdot \text{s}}{\Omega^2} = \dfrac{\text{s}}{\Omega} = \text{F}.

Bewertung: Ansatz und Umstellung 2 Punkte, Ergebnis 1 Punkt.

Ges.: U_{\sim}

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U & = & \sqrt{U_{=}^2 + U_{\sim}^2} & \color{gray}{(\ )^2} \\ U^2 & = & U_{=}^2 + U_{\sim}^2 & \color{gray}{-U_{=}^2} \\ U_{\sim}^2 & = & U^2 - U_{=}^2 & \color{gray}{\sqrt{\ }} \\ U_{\sim} & = & \sqrt{U^2 - U_{=}^2} = \sqrt{(5{,}00\ \text{V})^2 - (4{,}00\ \text{V})^2} = \underline{\underline{3{,}00\ \text{V}}} & \end{array}

Bewertung: Umstellung 1 Punkt, Ergebnis 1 Punkt.

Geg.: a) U_0 = 12{,}6\ \text{V}, R_\mathrm{i} = 0{,}050\ \Omega, U_\mathrm{K} = 11{,}8\ \text{V}; b) \eta = 0{,}92, P_\mathrm{V} = 4{,}0\ \text{W}; c) U_\mathrm{B} = 24\ \text{V}, U_\mathrm{F} = 2{,}1\ \text{V}, I_\mathrm{F} = 20\ \text{mA}, R_\mathrm{V} = 360\ \Omega

Ges.: I

Differenz und Produkt: zuerst den Summanden U_0 beseitigen, dann den Faktor -R_\mathrm{i}.

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U_\mathrm{K} & = & U_0 - I \cdot R_\mathrm{i} & \color{gray}{-U_0} \\ U_\mathrm{K} - U_0 & = & -I \cdot R_\mathrm{i} & \color{gray}{:(-R_\mathrm{i})} \\ I & = & \dfrac{U_0 - U_\mathrm{K}}{R_\mathrm{i}} = \dfrac{12{,}6\ \text{V} - 11{,}8\ \text{V}}{0{,}050\ \Omega} = \underline{\underline{16{,}0\ \text{A}}} & \end{array}

Beim Teilen durch -R_\mathrm{i} dreht sich das Vorzeichen des Zählers um: \dfrac{U_\mathrm{K} - U_0}{-R_\mathrm{i}} = \dfrac{U_0 - U_\mathrm{K}}{R_\mathrm{i}}.

Bewertung: Ansatz und Umstellung 2 Punkte, Ergebnis 1 Punkt.

Ges.: P_\mathrm{ab}

Division mit Summe im Nenner, gesuchte Größe zweimal:

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} \eta & = & \dfrac{P_\mathrm{ab}}{P_\mathrm{ab} + P_\mathrm{V}} & \color{gray}{\cdot (P_\mathrm{ab} + P_\mathrm{V})} \\ \eta \cdot P_\mathrm{ab} + \eta \cdot P_\mathrm{V} & = & P_\mathrm{ab} & \color{gray}{-\eta \cdot P_\mathrm{ab}} \\ \eta \cdot P_\mathrm{V} & = & P_\mathrm{ab} - \eta \cdot P_\mathrm{ab} & \color{gray}{\text{ausklammern}} \\ \eta \cdot P_\mathrm{V} & = & P_\mathrm{ab} \cdot (1 - \eta) & \color{gray}{:(1 - \eta)} \\ P_\mathrm{ab} & = & \dfrac{\eta \cdot P_\mathrm{V}}{1 - \eta} = \dfrac{0{,}92 \cdot 4{,}0\ \text{W}}{0{,}08} = \underline{\underline{46{,}0\ \text{W}}} & \end{array}

Probe: 46\ \text{W} : (46\ \text{W} + 4\ \text{W}) = 0{,}92.

Bewertung: Umstellung mit Ausklammern 2 Punkte, Ergebnis 1 Punkt.

Ges.: n

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} R_\mathrm{V} & = & \dfrac{U_\mathrm{B} - n \cdot U_\mathrm{F}}{I_\mathrm{F}} & \color{gray}{\cdot I_\mathrm{F}} \\ R_\mathrm{V} \cdot I_\mathrm{F} & = & U_\mathrm{B} - n \cdot U_\mathrm{F} & \color{gray}{+n \cdot U_\mathrm{F} - R_\mathrm{V} \cdot I_\mathrm{F}} \\ n \cdot U_\mathrm{F} & = & U_\mathrm{B} - R_\mathrm{V} \cdot I_\mathrm{F} & \color{gray}{:U_\mathrm{F}} \\ n & = & \dfrac{U_\mathrm{B} - R_\mathrm{V} \cdot I_\mathrm{F}}{U_\mathrm{F}} = \dfrac{24\ \text{V} - 360\ \Omega \cdot 20\ \text{mA}}{2{,}1\ \text{V}} = \dfrac{16{,}8\ \text{V}}{2{,}1\ \text{V}} = \underline{\underline{8}} & \end{array}

In der Kette sind 8 LEDs in Reihe geschaltet.

Bewertung: Ansatz und Umstellung 2 Punkte, Ergebnis 1 Punkt.

Geg.: f_0 = 10{,}0\ \text{kHz}; C = 22{,}0\ \text{nF}

Ges.: Formel für L

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} f_0 & = & \dfrac{1}{2\pi\sqrt{L \cdot C}} & \color{gray}{\cdot 2\pi\sqrt{L \cdot C}} \\ f_0 \cdot 2\pi\sqrt{L \cdot C} & = & 1 & \color{gray}{:(2\pi f_0)} \\ \sqrt{L \cdot C} & = & \dfrac{1}{2\pi f_0} & \color{gray}{(\ )^2} \\ L \cdot C & = & \dfrac{1}{4\pi^2 f_0^2} & \color{gray}{:C} \\ L & = & \underline{\underline{\dfrac{1}{4\pi^2 \cdot f_0^2 \cdot C}}} & \end{array}

Beim Quadrieren wird jeder Faktor quadriert: (2\pi f_0)^2 = 4\pi^2 f_0^2.

Bewertung: je Umformungsschritt 1 Punkt.

Ges.: L

L = \frac{1}{4\pi^2 \cdot (10{,}0 \cdot 10^{3}\ \tfrac{1}{\text{s}})^2 \cdot 22{,}0 \cdot 10^{-9}\ \tfrac{\text{A} \cdot \text{s}}{\text{V}}} \approx \frac{1}{86{,}85\ \tfrac{\text{A}}{\text{V} \cdot \text{s}}} \approx 0{,}0115\ \tfrac{\text{V} \cdot \text{s}}{\text{A}} = \underline{\underline{11{,}5\ \text{mH}}}

Mit gerundeten Zwischenergebnissen ergibt sich: 1 : 86{,}85 \cdot 1\ \text{V·s/A} = 11{,}51\ \text{mH} \approx 11{,}5\ \text{mH}
Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: 11{,}514\ \text{mH} \approx 11{,}5\ \text{mH}

Zehnerpotenzen: (10^{3})^2 \cdot 10^{-9} = 10^{6} \cdot 10^{-9} = 10^{-3}; Zahlenwert 4\pi^2 \cdot 10{,}0^2 \cdot 22{,}0 \cdot 10^{-3} \approx 86{,}85.

Bewertung: Einsetzen mit Zehnerpotenzen 1 Punkt, Ergebnis mit Vorsatz 1 Punkt.

Geg.: P = 1{,}50\ \text{kW}; \cos\varphi_1 = 0{,}82; c) \cos\varphi_2 = 0{,}95

Ges.: S, \varphi

Im Leistungsdreieck ist P die Ankathete und S die Hypotenuse:

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} \cos\varphi & = & \dfrac{P}{S} & \color{gray}{\cdot S : \cos\varphi} \\ S & = & \dfrac{P}{\cos\varphi} = \dfrac{1{,}50\ \text{kW}}{0{,}82} \approx \underline{\underline{1{,}83\ \text{kVA}}} & \end{array}

\varphi_1 = \arccos 0{,}82 \approx \underline{\underline{34{,}9°}}

Bewertung: Scheinleistung 2 Punkte, Winkel 1 Punkt.

Ges.: Q (Pythagoras und Tangens)

Pythagoras:

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} S^2 & = & P^2 + Q^2 & \color{gray}{-P^2} \\ Q^2 & = & S^2 - P^2 & \color{gray}{\sqrt{\ }} \\ Q & = & \sqrt{S^2 - P^2} = \sqrt{(1{,}83\ \text{kVA})^2 - (1{,}50\ \text{kW})^2} \approx \underline{\underline{1{,}05\ \text{kvar}}} & \end{array}

Mit gerundeten Zwischenergebnissen ergibt sich: \sqrt{3{,}349 - 2{,}250}\ \text{kvar} = 1{,}048\ \text{kvar} \approx 1{,}05\ \text{kvar}
Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: \sqrt{1{,}8293^2 - 1{,}50^2}\ \text{kvar} = 1{,}047\ \text{kvar} \approx 1{,}05\ \text{kvar}

Tangens (Q ist die Gegenkathete, P die Ankathete):

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} \tan\varphi & = & \dfrac{Q}{P} & \color{gray}{\cdot P} \\ Q & = & P \cdot \tan\varphi = 1{,}50\ \text{kW} \cdot \tan 34{,}9° \approx 1{,}50\ \text{kW} \cdot 0{,}698 \approx \underline{\underline{1{,}05\ \text{kvar}}} & \end{array}

Beide Wege führen zum selben Ergebnis.

Bewertung: je Rechenweg 1,5 Punkte.

Ges.: Q_C

\begin{aligned} &\text{(I)} && \varphi_2 = \arccos 0{,}95 \approx 18{,}2° \\ &\text{(II)} && Q_2 = P \cdot \tan\varphi_2 \\ &\text{(III)} && Q_C = Q_1 - Q_2 \end{aligned}

I in II: Q_2 = 1{,}50\ \text{kW} \cdot \tan 18{,}2° \approx 1{,}50\ \text{kW} \cdot 0{,}329 \approx 0{,}493\ \text{kvar}

II in III:

Q_C = 1{,}047\ \text{kvar} - 0{,}493\ \text{kvar} \approx \underline{\underline{554\ \text{var}}}

Mit gerundeten Zwischenergebnissen ergibt sich: 1{,}05\ \text{kvar} - 0{,}493\ \text{kvar} = 0{,}557\ \text{kvar} \approx 557\ \text{var}
Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: 1{,}0470\ \text{kvar} - 0{,}4930\ \text{kvar} = 0{,}5540\ \text{kvar} \approx 554\ \text{var}

Hier liegt die Abweichung durch das gerundete Q_1 bei 0,5 %, weil zwei ähnlich große Werte voneinander abgezogen werden; deshalb wurde oben mit 1,047 kvar gerechnet.

Bewertung: neuer Winkel 1 Punkt, Q2 1 Punkt, Q_C 1 Punkt.

Geg.: R = 1{,}00\ \text{k}\Omega; X_C = 1{,}50\ \text{k}\Omega; U = 10{,}0\ \text{V}; f) \hat{u} = 325\ \text{V}, f = 50\ \text{Hz}, t = 2{,}00\ \text{ms}

Ges.: Z, \varphi in ° und rad

Z = \sqrt{R^2 + X_C^2} = \sqrt{(1{,}00\ \text{k}\Omega)^2 + (1{,}50\ \text{k}\Omega)^2} \approx \underline{\underline{1{,}80\ \text{k}\Omega}}

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} \tan\varphi & = & \dfrac{X_C}{R} & \color{gray}{\arctan} \\ \varphi & = & \arctan\dfrac{1{,}50\ \text{k}\Omega}{1{,}00\ \text{k}\Omega} = \arctan 1{,}5 \approx \underline{\underline{56{,}3°}} & \end{array}

\varphi = 56{,}3° \cdot \frac{2\pi\ \text{rad}}{360°} \approx \underline{\underline{0{,}983\ \text{rad}}}

Bewertung: Z 1 Punkt, Winkel in Grad 1 Punkt, im Bogenmaß 1 Punkt.

Ges.: U_R, U_C; Kontrolle

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} \cos\varphi & = & \dfrac{U_R}{U} & \color{gray}{\cdot U} \\ U_R & = & U \cdot \cos\varphi = 10{,}0\ \text{V} \cdot \cos 56{,}3° \approx \underline{\underline{5{,}55\ \text{V}}} & \end{array}

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} \sin\varphi & = & \dfrac{U_C}{U} & \color{gray}{\cdot U} \\ U_C & = & U \cdot \sin\varphi = 10{,}0\ \text{V} \cdot \sin 56{,}3° \approx \underline{\underline{8{,}32\ \text{V}}} & \end{array}

Mit gerundeten Zwischenergebnissen ergibt sich: \varphi = 56{,}3°: U_R = 5{,}548\ \text{V}, U_C = 8{,}320\ \text{V}
Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: \varphi = 56{,}310°: U_R = 5{,}547\ \text{V}, U_C = 8{,}321\ \text{V}

Kontrolle: \sqrt{(5{,}55\ \text{V})^2 + (8{,}32\ \text{V})^2} \approx 10{,}0\ \text{V} = U. Die Teilspannungen ergeben zusammen nicht 10 V (5{,}55 + 8{,}32 = 13{,}9), sondern nur geometrisch.

Bewertung: je Spannung 1 Punkt, Kontrolle 1 Punkt.

Ges.: u(2{,}00\ \text{ms}); Fehler bei DEG

\omega \cdot t = 2\pi \cdot 50\ \tfrac{1}{\text{s}} \cdot 2{,}00 \cdot 10^{-3}\ \text{s} \approx 0{,}628\ (\text{rad}) \;\hat{=}\; 36°

u = 325\ \text{V} \cdot \sin(0{,}628\ \text{rad}) \approx \underline{\underline{191\ \text{V}}}

Mit gerundeten Zwischenergebnissen ergibt sich: 325\ \text{V} \cdot \sin 0{,}628 = 190{,}9\ \text{V} \approx 191\ \text{V}
Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: 325\ \text{V} \cdot \sin(0{,}2\pi) = 191{,}0\ \text{V}

Steht der Taschenrechner auf DEG, rechnet er \sin(0{,}628°) und liefert u \approx \underline{\underline{3{,}56\ \text{V}}} – ein grob falscher Wert. Bei \sin(\omega t) muss RAD eingestellt sein (oder man rechnet \omega t in Grad um: 36°).

Bewertung: Spannung 1 Punkt, falscher Wert bei DEG 1 Punkt.