Übungsaufgaben zu realen Spannungsquellen: Innenwiderstand, Belastungsfälle und Leistungsanpassung

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Erstelle neue Übungsaufgaben zum Thema „Reale Spannungsquellen:
Innenwiderstand, Belastungsfälle und Leistungsanpassung“.

Bauplan: Halte Dich an Aufbau, Kompetenzstufen, Operatoren,
Anforderungsbereiche, Punkte und Zeitschätzung, die im Artikel
https://oer-informatik.de/aufgaben-aufbau beschrieben sind.

Fachliche Grundlage:
- https://oer-informatik.de/spannungsquelle-innenwiderstand
- https://oer-informatik.de/leistung-energie-wirkungsgrad
- Stilbeispiel: https://oer-informatik.de/spannungsquelle-innenwiderstand-uebungsaufgaben

Die Aufgaben sollen Inhalte zu diesen Schlagwörtern abdecken:
- Spannungsquelle
- Innenwiderstand
- Klemmenspannung
- Belastungskennlinie
- Leerlauf
- Kurzschluss
- Leistungsanpassung
- Fehlanpassung
- Solarmodul
- MPP

Kompetenzstufe: Basiskompetenz (alternativ: Kernkompetenz, Profilkompetenz, Expertise)
Anzahl: 1 Aufgabe mit Teilaufgaben
Bearbeitungszeit in Minuten ca.: <5 bis 30 min>
Szenario: eines der Szenarien aus dem Bauplan

Vorgehen:
1. Lies zuerst die verlinkten Artikel. Kannst Du keine Webseiten
   abrufen, sag mir das, statt zu raten.
2. Steht bei einer Angabe noch ein Platzhalter in <…>, frag mich
   zuerst danach. Richte Punkte und Zahl der Teilaufgaben nach der
   Bearbeitungszeit (ca. 0,9 min je Punkt).
3. Gib je Aufgabe Titel mit Kompetenzstufe, Ausgangssituation und
   Teilaufgaben mit Operator und Punktzahl aus, dazu die geschätzte
   Bearbeitungszeit.
4. Gib die Beispiellösungen mit Punkteverteilung erst aus, wenn ich
   danach frage.

Geg.: Belastungskennlinie (Bild); Mindesteingangsspannung des Reglers U_\mathrm{K,min} = 11{,}2\ \mathrm{V}; Laststrom bei der Messung I = 3{,}0\ \mathrm{A}; Hydrofon U_0 = 20\ \mathrm{mV}, R_\mathrm{i} = 10\ \mathrm{k\Omega}; Verstärker A R_\mathrm{e} = 4{,}7\ \mathrm{k\Omega}, B R_\mathrm{e} = 1\ \mathrm{M\Omega}

Ges.: U_0, R_\mathrm{i}, I_\mathrm{K}

\begin{aligned} &\text{(I)} && U_\mathrm{K} = U_0 - I \cdot R_\mathrm{i} \\ &\text{(II)} && I_\mathrm{K} = \frac{U_0}{R_\mathrm{i}} \end{aligned}

Leerlaufspannung am Schnittpunkt mit der Spannungsachse (1 Punkt): U_0 = \underline{\underline{12{,}4\ \mathrm{V}}}

Zweiter Punkt der Kennlinie, z. B. I = 2{,}5\ \mathrm{A}, U_\mathrm{K} = 11{,}6\ \mathrm{V}. I nach R_\mathrm{i} umstellen (2 Punkte):

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U_\mathrm{K} & = & U_0 - I \cdot R_\mathrm{i} & \color{gray}{+I \cdot R_\mathrm{i},\ -U_\mathrm{K}} \\ I \cdot R_\mathrm{i} & = & U_0 - U_\mathrm{K} & \color{gray}{:I} \\ R_\mathrm{i} & = & \dfrac{U_0 - U_\mathrm{K}}{I} = \dfrac{12{,}4\ \mathrm{V} - 11{,}6\ \mathrm{V}}{2{,}5\ \mathrm{A}} = \underline{\underline{0{,}320\ \Omega}} & \end{array}

II (1 Punkt):

I_\mathrm{K} = \frac{12{,}4\ \mathrm{V}}{0{,}320\ \Omega} \approx \underline{\underline{38{,}8\ \mathrm{A}}}

Der Kurzschlussstrom wird nur berechnet, nie gemessen: Ein echter Kurzschluss würde das Akkupack überlasten. Jedes andere Punktepaar der Geraden führt zum selben Innenwiderstand.

Ges.: Ersatzschaltbild mit Zählpfeilen

Ideale Quelle U_0 in Reihe mit R_\mathrm{i} (1 Punkt), an den Klemmen der Lastwiderstand R_\mathrm{L} (Messstation) mit Klemmenspannung U_\mathrm{K} und Strom I im Verbraucherzählpfeilsystem (1 Punkt):

Ges.: I_\mathrm{max}, R_\mathrm{L,min}

\begin{aligned} &\text{(I)} && U_\mathrm{K} = U_0 - I \cdot R_\mathrm{i} \\ &\text{(II)} && U = R \cdot I \end{aligned}

I mit U_\mathrm{K} = U_\mathrm{K,min} nach I umstellen (2 Punkte):

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U_\mathrm{K,min} & = & U_0 - I_\mathrm{max} \cdot R_\mathrm{i} & \color{gray}{+I_\mathrm{max} \cdot R_\mathrm{i},\ -U_\mathrm{K,min}} \\ I_\mathrm{max} \cdot R_\mathrm{i} & = & U_0 - U_\mathrm{K,min} & \color{gray}{:R_\mathrm{i}} \\ I_\mathrm{max} & = & \dfrac{12{,}4\ \mathrm{V} - 11{,}2\ \mathrm{V}}{0{,}320\ \Omega} = \underline{\underline{3{,}75\ \mathrm{A}}} & \end{array}

II nach R umstellen (1 Punkt):

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U_\mathrm{K,min} & = & R_\mathrm{L,min} \cdot I_\mathrm{max} & \color{gray}{:I_\mathrm{max}} \\ R_\mathrm{L,min} & = & \dfrac{11{,}2\ \mathrm{V}}{3{,}75\ \mathrm{A}} \approx \underline{\underline{2{,}99\ \Omega}} & \end{array}

Grafisch: Die Waagerechte bei 11{,}2\ \mathrm{V} schneidet die Kennlinie bei 3{,}75\ \mathrm{A}. Größere Ströme bzw. kleinere Lastwiderstände sind nicht zulässig.

Ges.: U_\mathrm{K}, P_\mathrm{i}, P_\mathrm{L} bei 3{,}0\ \mathrm{A}

\begin{aligned} &\text{(I)} && U_\mathrm{K} = U_0 - I \cdot R_\mathrm{i} \\ &\text{(II)} && P_\mathrm{i} = I^2 \cdot R_\mathrm{i} \\ &\text{(III)} && P_\mathrm{L} = U_\mathrm{K} \cdot I \end{aligned}

(je 1 Punkt)

U_\mathrm{K} = 12{,}4\ \mathrm{V} - 3{,}0\ \mathrm{A} \cdot 0{,}320\ \Omega = \underline{\underline{11{,}4\ \mathrm{V}}}\ (11{,}44\ \mathrm{V})

P_\mathrm{i} = (3{,}0\ \mathrm{A})^2 \cdot 0{,}320\ \Omega = \underline{\underline{2{,}88\ \mathrm{W}}}

P_\mathrm{L} = 11{,}44\ \mathrm{V} \cdot 3{,}0\ \mathrm{A} \approx \underline{\underline{34{,}3\ \mathrm{W}}}

Kontrolle: P_0 = U_0 \cdot I = 37{,}2\ \mathrm{W} = P_\mathrm{i} + P_\mathrm{L}. Die Klemmenspannung liegt über 11{,}2\ \mathrm{V}, der Betrieb ist zulässig.

Ges.: Werte der Belastungsfälle; Fall mit größtem Strom bzw. größter Leistung

\begin{aligned} &\text{(I)} && I_\mathrm{K} = \frac{U_0}{R_\mathrm{i}} \\ &\text{(II)} && P_\mathrm{max} = \frac{U_0^2}{4 \cdot R_\mathrm{i}} \end{aligned}

Je Zeile 1 Punkt:

(1 Punkt) Den größten Strom gibt das Akkupack im Kurzschluss ab, die größte Leistung bei Leistungsanpassung: P_\mathrm{max} = \frac{(12{,}4\ \mathrm{V})^2}{4 \cdot 0{,}320\ \Omega} \approx \underline{\underline{120\ \mathrm{W}}}. Beide Fälle sind für ein Akkupack nur theoretisch: Sie würden es überlasten.

Ges.: U_\mathrm{e} für A und B, Auswahl mit Begründung

\begin{aligned} &\text{(I)} && I = \frac{U_0}{R_\mathrm{i} + R_\mathrm{e}} \\ &\text{(II)} && U_\mathrm{e} = R_\mathrm{e} \cdot I \end{aligned}

I in II einsetzen (1 Punkt):

U_\mathrm{e} = U_0 \cdot \frac{R_\mathrm{e}}{R_\mathrm{i} + R_\mathrm{e}}

(je 1 Punkt)

U_\mathrm{e,A} = 20\ \mathrm{mV} \cdot \frac{4{,}7\ \mathrm{k\Omega}}{10\ \mathrm{k\Omega} + 4{,}7\ \mathrm{k\Omega}} \approx \underline{\underline{6{,}39\ \mathrm{mV}}} \qquad U_\mathrm{e,B} = 20\ \mathrm{mV} \cdot \frac{1000\ \mathrm{k\Omega}}{1010\ \mathrm{k\Omega}} \approx \underline{\underline{19{,}8\ \mathrm{mV}}}

Auswahl (1 Punkt): Schaltung B. Ihr Eingangswiderstand ist 100-mal so groß wie der Innenwiderstand des Hydrofons (Spannungsanpassung); am Eingang kommen 99 % des Signals an. Bei Schaltung A ist der Eingangswiderstand kleiner als der Innenwiderstand, es bleiben nur 32 % des Signals übrig, und der Rest muss nachverstärkt werden – mitsamt dem Rauschen.

Geg.: Modulkennlinie (Bild); Heizung R_\mathrm{H} = 10\ \Omega; Sendeendstufe U_0 = 4{,}0\ \mathrm{V}, R_\mathrm{i} = 75\ \Omega, Antenne R_\mathrm{L} = 50\ \Omega; Pufferakku U_0 = 13{,}1\ \mathrm{V}, U_\mathrm{K} = 12{,}5\ \mathrm{V} bei I = 8{,}0\ \mathrm{A}

Ges.: I_\mathrm{K}, U_\mathrm{L}, Leistungen, MPP, R_\mathrm{opt}

\begin{aligned} &\text{(I)} && P = U \cdot I \\ &\text{(II)} && U = R \cdot I \end{aligned}

Aus der Kennlinie (1 Punkt): I_\mathrm{K} \approx \underline{\underline{1{,}20\ \mathrm{A}}}, U_\mathrm{L} \approx \underline{\underline{21{,}6\ \mathrm{V}}}

Abgelesene Ströme und Leistungen mit I (3 Punkte):

Die größte Leistung liegt bei etwa 18\ \mathrm{V} (1 Punkt): P_\mathrm{MPP} \approx \underline{\underline{20{,}5\ \mathrm{W}}} bei U_\mathrm{MPP} \approx 18\ \mathrm{V} und I_\mathrm{MPP} \approx 1{,}14\ \mathrm{A}. II nach R umstellen (1 Punkt):

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U_\mathrm{MPP} & = & R_\mathrm{opt} \cdot I_\mathrm{MPP} & \color{gray}{:I_\mathrm{MPP}} \\ R_\mathrm{opt} & = & \dfrac{18\ \mathrm{V}}{1{,}14\ \mathrm{A}} \approx \underline{\underline{15{,}8\ \Omega}} & \end{array}

Mit feinerer Ablesung liegt der MPP bei etwa 18{,}3\ \mathrm{V} und 1{,}13\ \mathrm{A}, also R_\mathrm{opt} \approx 16{,}2\ \Omega; Werte zwischen 15 und 17\ \Omega sind richtig.

Ges.: Arbeitspunkt mit 10\ \Omega, P_\mathrm{H}, Anteil an P_\mathrm{MPP}

\begin{aligned} &\text{(I)} && I = \frac{U}{R} \\ &\text{(II)} && P = U \cdot I \end{aligned}

Widerstandsgerade nach I einzeichnen, z. B. durch (0\ \mathrm{V};\ 0\ \mathrm{A}) und (12\ \mathrm{V};\ 1{,}2\ \mathrm{A}) (1 Punkt). Sie schneidet die Kennlinie bei U \approx 12{,}0\ \mathrm{V} und I \approx 1{,}20\ \mathrm{A} (1 Punkt):

II (je 1 Punkt):

P_\mathrm{H} = 12{,}0\ \mathrm{V} \cdot 1{,}20\ \mathrm{A} = \underline{\underline{14{,}4\ \mathrm{W}}} \qquad \frac{P_\mathrm{H}}{P_\mathrm{MPP}} = \frac{14{,}4\ \mathrm{W}}{20{,}5\ \mathrm{W}} \approx \underline{\underline{70{,}2\ \%}}

Der Widerstand ist kleiner als R_\mathrm{opt}: Der Arbeitspunkt liegt im fast waagerechten Teil der Kennlinie, das Modul gibt fast den vollen Strom, aber nur gut die Hälfte der möglichen Spannung ab.

Ges.: Erläuterung MPP-Tracker

Die Akkuspannung (etwa 12 bis 14\ \mathrm{V}) liegt deutlich unter U_\mathrm{MPP} \approx 18\ \mathrm{V}; direkt angeschlossen würde das Modul wie in b) weit unterhalb des MPP arbeiten (1 Punkt). Der MPP-Tracker ist ein DC/DC-Wandler, der das Modul im MPP belastet und die Leistung mit der passenden Spannung an den Akku weitergibt. Weil sich der MPP mit Bestrahlung und Temperatur verschiebt, stellt er den Arbeitspunkt laufend nach (1 Punkt).

Ges.: P_\mathrm{L}, P_\mathrm{max}, Anteil

\begin{aligned} &\text{(I)} && I = \frac{U_0}{R_\mathrm{i} + R_\mathrm{L}} \\ &\text{(II)} && P_\mathrm{L} = I^2 \cdot R_\mathrm{L} \\ &\text{(III)} && P_\mathrm{max} = \frac{U_0^2}{4 \cdot R_\mathrm{i}} \end{aligned}

I (1 Punkt), II (1 Punkt):

I = \frac{4{,}0\ \mathrm{V}}{75\ \Omega + 50\ \Omega} = 32{,}0\ \mathrm{mA} \qquad P_\mathrm{L} = (32{,}0\ \mathrm{mA})^2 \cdot 50\ \Omega = \underline{\underline{51{,}2\ \mathrm{mW}}}

III (1 Punkt), Anteil (1 Punkt):

P_\mathrm{max} = \frac{(4{,}0\ \mathrm{V})^2}{4 \cdot 75\ \Omega} \approx \underline{\underline{53{,}3\ \mathrm{mW}}} \qquad \frac{P_\mathrm{L}}{P_\mathrm{max}} = \frac{51{,}2\ \mathrm{mW}}{53{,}3\ \mathrm{mW}} = \underline{\underline{96{,}0\ \%}}

Kontrolle mit a = \frac{50\ \Omega}{75\ \Omega} = \frac{2}{3}: \frac{4a}{(1+a)^2} = \frac{8/3}{25/9} = 0{,}96. Die Fehlanpassung kostet nur 4 % der Leistung; in der Hochfrequenztechnik verursacht sie zusätzlich Reflexionen auf der Leitung.

Ges.: R_\mathrm{i}, P_\mathrm{i}, \eta; Begründung

\begin{aligned} &\text{(I)} && U_\mathrm{K} = U_0 - I \cdot R_\mathrm{i} \\ &\text{(II)} && P_\mathrm{i} = I^2 \cdot R_\mathrm{i} \\ &\text{(III)} && \eta = \frac{U_\mathrm{K}}{U_0} \end{aligned}

I nach R_\mathrm{i} umstellen (1 Punkt):

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U_\mathrm{K} & = & U_0 - I \cdot R_\mathrm{i} & \color{gray}{+I \cdot R_\mathrm{i},\ -U_\mathrm{K}} \\ I \cdot R_\mathrm{i} & = & U_0 - U_\mathrm{K} & \color{gray}{:I} \\ R_\mathrm{i} & = & \dfrac{13{,}1\ \mathrm{V} - 12{,}5\ \mathrm{V}}{8{,}0\ \mathrm{A}} = \underline{\underline{0{,}0750\ \Omega}} & \end{array}

II und III (je 1 Punkt):

P_\mathrm{i} = (8{,}0\ \mathrm{A})^2 \cdot 0{,}0750\ \Omega = \underline{\underline{4{,}80\ \mathrm{W}}} \qquad \eta = \frac{12{,}5\ \mathrm{V}}{13{,}1\ \mathrm{V}} \approx \underline{\underline{95{,}4\ \%}}

Begründung (2 Punkte): Bei Leistungsanpassung (R_\mathrm{L} = 0{,}075\ \Omega) flössen \frac{13{,}1\ \mathrm{V}}{2 \cdot 0{,}075\ \Omega} \approx 87\ \mathrm{A}, und im Akku würden rund 570\ \mathrm{W} verheizt – genauso viel wie beim Verbraucher. Der Wirkungsgrad läge bei nur 50 %, der Akku würde überhitzen und könnte zerstört werden oder brennen. Energiequellen werden deshalb mit Spannungsanpassung (R_\mathrm{L} \gg R_\mathrm{i}) betrieben.