Übungsaufgaben zu D/A-Umsetzern: Auflösung, gewichtetes Widerstandsnetzwerk, R-2R-Netzwerk und I²C-Baustein

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gewichtetes Widerstandsnetzwerk, R-2R-Netzwerk und I²C-Baustein“.

Bauplan: Halte Dich an Aufbau, Kompetenzstufen, Operatoren,
Anforderungsbereiche, Punkte und Zeitschätzung, die im Artikel
https://oer-informatik.de/aufgaben-aufbau beschrieben sind.

Fachliche Grundlage:
- https://oer-informatik.de/da-umsetzer
- https://oer-informatik.de/opv-rechen-messverstaerker
- https://oer-informatik.de/zahlensysteme-codes
- Stilbeispiel: https://oer-informatik.de/da-umsetzer-uebungsaufgaben

Die Aufgaben sollen Inhalte zu diesen Schlagwörtern abdecken:
- D/A-Umsetzer
- Auflösung
- LSB
- Bitmuster
- gewichtetes Widerstandsnetzwerk
- R-2R-Netzwerk
- Summierverstärker
- Fehlersuche
- I²C
- Digitalpotenziometer

Kompetenzstufe: Kernkompetenz (alternativ: Basiskompetenz, Profilkompetenz, Expertise)
Anzahl: 1 Aufgabe mit Teilaufgaben
Bearbeitungszeit in Minuten ca.: <5 bis 30 min>
Szenario: eines der Szenarien aus dem Bauplan

Vorgehen:
1. Lies zuerst die verlinkten Artikel. Kannst Du keine Webseiten
   abrufen, sag mir das, statt zu raten.
2. Steht bei einer Angabe noch ein Platzhalter in <…>, frag mich
   zuerst danach. Richte Punkte und Zahl der Teilaufgaben nach der
   Bearbeitungszeit (ca. 0,9 min je Punkt).
3. Gib je Aufgabe Titel mit Kompetenzstufe, Ausgangssituation und
   Teilaufgaben mit Operator und Punktzahl aus, dazu die geschätzte
   Bearbeitungszeit.
4. Gib die Beispiellösungen mit Punkteverteilung erst aus, wenn ich
   danach frage.

Geg.: D/A-Umsetzer VD1040 (10 Bit, I²C, V_\mathrm{REF} = 2{,}048\ \mathrm{V}) zwischen Board und LED-Treiber; Dimmeingang 0 \ldots 2{,}0\ \mathrm{V}; Pull-ups -R1, -R2 je 4{,}7\ \mathrm{k\Omega}

Ges.: Aufgabe von -K2, Eingangs- und Ausgangsgröße

Aufgabe 1 Punkt, Größen 1 Punkt:

-K2 setzt den Helligkeitssollwert, den das Programm als Zahl berechnet, in eine analoge Spannung für den Dimmeingang um. Er bekommt vom Board ein 10-Bit-Datenwort D über den I²C-Bus (SDA, SCL) und gibt an VOUT eine Gleichspannung 0 \ldots knapp 2{,}048\ \mathrm{V} an -X1{:}1 aus.

Ges.: Bitzahl n, Stufenzahl Z, Referenzspannung U_\mathrm{ref}, Spannung je LSB U_\mathrm{LSB}

Je Größe 0,75 Punkte:

• Auflösung: n = \underline{\underline{10\ \text{Bit}}} (resolution)
• Referenzspannung: interne Referenz U_\mathrm{ref} = \underline{\underline{2{,}048\ \mathrm{V}}} (internal reference)

Z = 2^n = 2^{10} = \underline{\underline{1\,024}}

U_\mathrm{LSB} = \frac{U_\mathrm{ref}}{2^n} = \frac{2{,}048\ \mathrm{V}}{1\,024} = \underline{\underline{2{,}00\ \mathrm{mV}}}

Ges.: Ausgangsspannung U_\mathrm{A} für D = \mathrm{2EE}_\mathrm{h}

Umrechnen in eine Dezimalzahl (1 Punkt): \mathrm{2EE}_\mathrm{h} = 2 \cdot 256 + 14 \cdot 16 + 14 = 750

Ausgangsspannung (1 Punkt):

U_\mathrm{A} = D \cdot U_\mathrm{LSB} = 750 \cdot 2{,}00\ \mathrm{mV} = \underline{\underline{1{,}50\ \mathrm{V}}}

Geg.: U_\mathrm{A}(0) = 3\ \mathrm{mV}, U_\mathrm{A}(1\,000) = 1{,}994\ \mathrm{V}; Datenblatt: Offset \pm 5\ \mathrm{mV}, Verstärkungsfehler \pm 0{,}5\ \% des Bereichs

Ges.: Abweichungen in mV und LSB, Beurteilung

Offset (1 Punkt): Soll bei D = 0 sind 0\ \mathrm{V}, gemessen 3\ \mathrm{mV}. Das sind 3\ \mathrm{mV} : 2{,}00\ \mathrm{mV} = \underline{\underline{1{,}5\ \mathrm{LSB}}}; erlaubt sind \pm 5\ \mathrm{mV}.

Sollwert und Abweichung bei D = 1\,000 (1 Punkt):

U_\mathrm{soll} = D \cdot U_\mathrm{LSB} = 1\,000 \cdot 2{,}00\ \mathrm{mV} = 2{,}000\ \mathrm{V}

\Delta U = U_\mathrm{ist} - U_\mathrm{soll} = 1{,}994\ \mathrm{V} - 2{,}000\ \mathrm{V} = \underline{\underline{-6\ \mathrm{mV}}} \quad \widehat{=} \quad \underline{\underline{-3\ \mathrm{LSB}}}

Verstärkungsfehler nach Abzug des Offsets (1 Punkt): 1{,}994\ \mathrm{V} - 0{,}003\ \mathrm{V} - 2{,}000\ \mathrm{V} = -9\ \mathrm{mV}, bezogen auf den Bereich 2{,}048\ \mathrm{V} also

\frac{-9\ \mathrm{mV}}{2\,048\ \mathrm{mV}} \cdot 100\ \% \approx \underline{\underline{-0{,}439\ \%}}

Beurteilung (1 Punkt): Offset (3\ \mathrm{mV} < 5\ \mathrm{mV}) und Verstärkungsfehler (0{,}439\ \% < 0{,}5\ \%) liegen innerhalb der Datenblattgrenzen; der Baustein ist in Ordnung. Für den Dimmer ist die Abweichung ohne Bedeutung; bei Bedarf lässt sie sich in der Software mit Offsetabzug und Korrekturfaktor abgleichen.

Ges.: Begründung, warum -R1 und -R2 nötig sind

Je Aussage 1 Punkt:

• -R1 und -R2 sind Pull-up-Widerstände: Sie ziehen SDA und SCL im Ruhezustand auf High (3{,}3\ \mathrm{V}).
• Alle Teilnehmer haben Open-Drain-Ausgänge: Sie können eine Leitung nur auf Low ziehen, aber nicht aktiv auf High treiben. Ohne Pull-ups wäre der High-Pegel nicht definiert, Start, Bits und Bestätigung (ACK) würden nicht erkannt.
• Weil niemand aktiv High treibt, können mehrere Teilnehmer an denselben Leitungen hängen, ohne dass ein Kurzschluss entsteht, wenn einer Low ausgibt (Wired-AND).

Ges.: nötige Änderungen an Hardware und Software beim Ersatz durch den VD1240

Je Punkt 1 Punkt, z. B.:

• Hardware: keine Änderung nötig (Punkt für Punkt geprüft), weil Gehäuse, Anschlüsse, Versorgung und Referenz gleich sind. A0 bleibt an GND.
• Adresse: Die Adresse ändert sich von 0101\,100_2 = \mathrm{2C}_\mathrm{h} auf 0101\,110_2 = \mathrm{2E}_\mathrm{h}; das Programm muss die neue Adresse verwenden.
• Skalierung und Wertebereich: D reicht jetzt bis 4\,095 statt 1\,023. Die Umrechnung lautet D = U \cdot 4\,096 : V_\mathrm{REF}; eine Variable mit 8 Bit reicht weiter nicht. Für denselben Wert ist D viermal so groß (750 \to 3\,000 für 1{,}50\ \mathrm{V}).
• Datenformat: Im Datenblatt des VD1240 nachsehen, wo die 12 Datenbits in den Bytes stehen, und die Bytefolge anpassen. Danach Offset und Endwert erneut messen. Vorteil: Die Schrittweite sinkt auf 2{,}048\ \mathrm{V} : 4\,096 = 0{,}5\ \mathrm{mV}.

Geg.: 5 Bit, U_\mathrm{ref} = 2{,}5\ \mathrm{V}, R_\mathrm{f} = 9{,}6\ \mathrm{k\Omega}, R_4 = 15\ \mathrm{k\Omega} (MSB), idealer OPV

Ges.: Gewichtung der Eingänge, R_3 \ldots R_0

Gewichtung 1 Punkt, Widerstände 2 Punkte:

R_i = R_4 \cdot \frac{2^4}{2^i}

Je kleiner der Widerstand, desto größer der Strom und damit die Wertigkeit; jede Stufe nach unten verdoppelt den Widerstand.

Ges.: Stufenzahl Z, U_\mathrm{LSB}, |U_\mathrm{A,max}|

Stufenzahl (1 Punkt):

Z = 2^n = 2^5 = \underline{\underline{32}}

Spannung je LSB (1 Punkt) – Beitrag des LSB-Zweigs allein:

\begin{aligned} &\text{(I)} && I_0 = \dfrac{U_\mathrm{ref}}{R_0} \\ &\text{(II)} && U_\mathrm{LSB} = R_\mathrm{f} \cdot I_0 \end{aligned}

I in II:

U_\mathrm{LSB} = \frac{R_\mathrm{f} \cdot U_\mathrm{ref}}{R_0} = \frac{9{,}6\ \mathrm{k\Omega} \cdot 2{,}5\ \mathrm{V}}{240\ \mathrm{k\Omega}} = \underline{\underline{0{,}100\ \mathrm{V}}}

Größte Ausgangsspannung bei 11111_2 = 31 (1 Punkt):

|U_\mathrm{A,max}| = (2^n - 1) \cdot U_\mathrm{LSB} = 31 \cdot 0{,}100\ \mathrm{V} = \underline{\underline{3{,}10\ \mathrm{V}}} \qquad (U_\mathrm{A} = -3{,}10\ \mathrm{V})

Ges.: Teilströme I_4, I_2, I_1, Summenstrom I_\mathrm{f}, U_\mathrm{A} für 10110_2

Geschlossen sind S_4, S_2 und S_1. Teilströme (3 Punkte):

I_4 = \frac{U_\mathrm{ref}}{R_4} = \frac{2{,}5\ \mathrm{V}}{15\ \mathrm{k\Omega}} \approx \underline{\underline{167\ \mu\mathrm{A}}}

I_2 = \frac{U_\mathrm{ref}}{R_2} = \frac{2{,}5\ \mathrm{V}}{60\ \mathrm{k\Omega}} \approx \underline{\underline{41{,}7\ \mu\mathrm{A}}} \qquad I_1 = \frac{U_\mathrm{ref}}{R_1} = \frac{2{,}5\ \mathrm{V}}{120\ \mathrm{k\Omega}} \approx \underline{\underline{20{,}8\ \mu\mathrm{A}}}

I_3 = I_0 = 0 (Schalter offen).

Strom durch R_\mathrm{f} (1 Punkt), mit den ungerundeten Teilströmen:

I_\mathrm{f} = I_4 + I_2 + I_1 = 166{,}7\ \mu\mathrm{A} + 41{,}67\ \mu\mathrm{A} + 20{,}83\ \mu\mathrm{A} \approx \underline{\underline{229\ \mu\mathrm{A}}}

Ausgangsspannung (1 Punkt):

U_\mathrm{A} = -R_\mathrm{f} \cdot I_\mathrm{f} = -9{,}6\ \mathrm{k\Omega} \cdot 229\ \mu\mathrm{A} \approx \underline{\underline{-2{,}20\ \mathrm{V}}}

Mit gerundeten Zwischenergebnissen ergibt sich: I_\mathrm{f} = 167\ \mu\mathrm{A} + 41{,}7\ \mu\mathrm{A} + 20{,}8\ \mu\mathrm{A} \approx 230\ \mu\mathrm{A} und U_\mathrm{A} \approx -2{,}21\ \mathrm{V}.

Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: I_\mathrm{f} = 229{,}17\ \mu\mathrm{A}, U_\mathrm{A} = -2{,}200\ \mathrm{V}. Kontrolle: 10110_2 = 22, -22 \cdot 0{,}100\ \mathrm{V} = -2{,}20\ \mathrm{V}.

Ges.: Begründung Unabhängigkeit der Teilströme und Vorzeichen; Änderung für positive Ausgangsspannung

Je Aussage 1 Punkt:

• Der Operationsverstärker regelt seinen Ausgang so, dass die Spannung zwischen den Eingängen null ist. Der invertierende Eingang liegt deshalb wie der nichtinvertierende auf 0\ \mathrm{V} (virtueller Nullpunkt). An jedem geschlossenen Zweig liegt immer die volle Spannung U_\mathrm{ref}, der Strom U_\mathrm{ref} : R_i hängt also nicht von den anderen Zweigen ab.
• Der Summenstrom fließt in den Knoten am invertierenden Eingang hinein und über R_\mathrm{f} zum Ausgang weiter. Weil der Knoten auf 0\ \mathrm{V} liegt, muss der Ausgang negativ sein; der Summierverstärker invertiert.
• Positive Ausgangsspannung: negative Referenzspannung (-2{,}5\ \mathrm{V}) verwenden oder einen invertierenden Verstärker mit V = -1 nachschalten.

Geg.: Messwerte der Einzelbits und von 11111_2; Soll -0{,}100\ \mathrm{V} je LSB

Ges.: fehlerhaftes Bauteil und sein Wert

Vergleich mit den Sollwerten (2 Punkte):

Nur der Zweig b_3 liefert die Hälfte seines Sollbeitrags; die übrigen Bits und damit U_\mathrm{ref}, R_\mathrm{f} und der OPV sind in Ordnung. Auch 11111_2 passt dazu: 1{,}60 + 0{,}40 + 0{,}40 + 0{,}20 + 0{,}10 = 2{,}70\ \mathrm{V}. Fehlerhaft ist \underline{\underline{R_3}} (1 Punkt).

Tatsächlicher Wert (1 Punkt):

|U_\mathrm{A}| = \frac{R_\mathrm{f} \cdot U_\mathrm{ref}}{R_3} \quad \Rightarrow \quad R_3 = \frac{R_\mathrm{f} \cdot U_\mathrm{ref}}{|U_\mathrm{A}|} = \frac{9{,}6\ \mathrm{k\Omega} \cdot 2{,}5\ \mathrm{V}}{0{,}40\ \mathrm{V}} = \underline{\underline{60\ \mathrm{k\Omega}}}

Statt 30\ \mathrm{k\Omega} ist ein 60\ \mathrm{k\Omega}-Widerstand eingebaut (verwechselt mit R_2). Ein unterbrochener Zweig scheidet aus, denn dann wäre der Beitrag null.

Ges.: LSB-Widerstand bei 10 Bit; Begründung

LSB-Widerstand (1 Punkt):

R_0 = R_\mathrm{MSB} \cdot 2^{n-1} = 15\ \mathrm{k\Omega} \cdot 2^9 = 15\ \mathrm{k\Omega} \cdot 512 = \underline{\underline{7{,}68\ \mathrm{M\Omega}}}

Begründung (1 Punkt): Die Widerstände müssten über einen Bereich von 1 : 512 alle so genau sein, dass der MSB-Zweig um weniger als ein halbes LSB, also etwa 1 : 1\,024 \approx 0{,}1\ \%, abweicht; sonst ist der Umsetzer nicht mehr sicher monoton. Solche Werte gibt es kaum, und sehr große Widerstände sind empfindlich für Leckströme. Das R-2R-Netzwerk braucht für jede Bitzahl nur die Werte R und 2R, die sich mit gleicher Toleranz gut paaren lassen.

Geg.: 6-Bit-R-2R-Netzwerk, R = 10\ \mathrm{k\Omega}, 2R = 20\ \mathrm{k\Omega}, U_\mathrm{ref} = 3{,}2\ \mathrm{V}, Abschluss 2R, R_\mathrm{f} = 20\ \mathrm{k\Omega}

Ges.: Begründung der Stromhalbierung, zwei Eigenschaften

Begründung 2 Punkte, je Eigenschaft 1 Punkt:

Am LSB-Knoten liegen Querzweig 2R und Abschluss 2R parallel: 2R \parallel 2R = R. Zusammen mit dem Längswiderstand R davor ergibt sich vom vorherigen Knoten aus wieder 2R. So geht es bis zum MSB-Knoten weiter: Von jedem Knoten aus führen zwei Wege mit je 2R weg (Querzweig und Rest des Netzwerks). Beide 2R-Wege enden auf 0\ \mathrm{V} (der Querzweig unabhängig von der Schalterstellung an Masse oder am virtuellen Nullpunkt), deshalb teilt sich der Strom in zwei gleiche Hälften.

Eigenschaften, z. B.:

• nur zwei Widerstandswerte, die sich auf einem Chip sehr genau paaren lassen (gleicher Temperaturgang),
• die Referenzquelle wird immer mit R gleich belastet, unabhängig vom Bitmuster,
• beliebig um weitere Bits erweiterbar (je Bit ein Glied R/2R).

Ges.: I_\mathrm{ref}, Querzweigströme I_5 \ldots I_0

Strom der Referenzquelle (1 Punkt) – das Netzwerk wirkt am MSB-Knoten wie R:

I_\mathrm{ref} = \frac{U_\mathrm{ref}}{R} = \frac{3{,}2\ \mathrm{V}}{10\ \mathrm{k\Omega}} = \underline{\underline{320\ \mu\mathrm{A}}}

Querzweigströme (2 Punkte), an jedem Knoten halbiert:

I_5 = \frac{I_\mathrm{ref}}{2} = \underline{\underline{160\ \mu\mathrm{A}}} \quad I_4 = \underline{\underline{80{,}0\ \mu\mathrm{A}}} \quad I_3 = \underline{\underline{40{,}0\ \mu\mathrm{A}}}

I_2 = \underline{\underline{20{,}0\ \mu\mathrm{A}}} \quad I_1 = \underline{\underline{10{,}0\ \mu\mathrm{A}}} \quad I_0 = \underline{\underline{5{,}00\ \mu\mathrm{A}}}

Die restlichen 5{,}00\ \mu\mathrm{A} fließen über den Abschluss 2R nach Masse (160 + 80 + 40 + 20 + 10 + 5 + 5 = 320).

Ges.: U_\mathrm{LSB}, U_\mathrm{A} für \mathrm{2D}_\mathrm{h}

Spannung je LSB (1 Punkt):

U_\mathrm{LSB} = R_\mathrm{f} \cdot I_0 = 20\ \mathrm{k\Omega} \cdot 5{,}00\ \mu\mathrm{A} = \underline{\underline{0{,}100\ \mathrm{V}}}

Datenwort (1 Punkt): \mathrm{2D}_\mathrm{h} = 10\,1101_2 = 32 + 8 + 4 + 1 = 45; auf den Summierpunkt geschaltet sind I_5, I_3, I_2, I_0.

Ausgangsspannung (1 Punkt):

I_\mathrm{A} = 160\ \mu\mathrm{A} + 40{,}0\ \mu\mathrm{A} + 20{,}0\ \mu\mathrm{A} + 5{,}00\ \mu\mathrm{A} = 225\ \mu\mathrm{A}

U_\mathrm{A} = -R_\mathrm{f} \cdot I_\mathrm{A} = -20\ \mathrm{k\Omega} \cdot 225\ \mu\mathrm{A} = \underline{\underline{-4{,}50\ \mathrm{V}}} \qquad (= -45 \cdot 0{,}100\ \mathrm{V})

Ges.: zwei Unterscheidungsmerkmale

Je Merkmal 1 Punkt, z. B.:

• R-2R: nur zwei Widerstandswerte (R, 2R); gewichtet: für jedes Bit ein anderer, verdoppelter Wert.
• R-2R: Kettenleiter mit Längswiderständen zwischen den Knoten und Abschlusswiderstand 2R; gewichtet: alle Zweige parallel direkt am Summierpunkt.
• R-2R: Umschalter zwischen Summierpunkt und Masse; gewichtet: einfache Ein/Aus-Schalter.

Geg.: Aktualisierung alle t_\mathrm{upd} = 156{,}25\ \mu\mathrm{s}, Zählfolge 0 \ldots 63

Ges.: Signalform, Stufenzahl, Stufenhöhe, Bereich, Frequenz f, Grenzfrequenz f_\mathrm{g} des Tiefpasses

Signalform und Kennwerte (je 0,5 Punkte, zusammen 2 Punkte): eine Treppenspannung in Form eines Sägezahns, die in 64 gleichen Stufen von 0\ \mathrm{V} bis -6{,}30\ \mathrm{V} läuft (Stufenhöhe 0{,}100\ \mathrm{V}, 63 \cdot 0{,}100\ \mathrm{V} = 6{,}30\ \mathrm{V}) und dann auf 0\ \mathrm{V} zurückspringt. Wegen der Invertierung läuft die Treppe nach unten.

Frequenz (1 Punkt):

\begin{aligned} &\text{(I)} && T = k \cdot t_\mathrm{upd} \\ &\text{(II)} && f = \dfrac{1}{T} \end{aligned}

I in II:

f = \frac{1}{k \cdot t_\mathrm{upd}} = \frac{1}{64 \cdot 156{,}25\ \mu\mathrm{s}} = \frac{1}{10{,}0\ \mathrm{ms}} = \underline{\underline{100\ \mathrm{Hz}}}

Tiefpass (1 Punkt): Die Stufen wiederholen sich mit f_\mathrm{upd} = 1 : 156{,}25\ \mu\mathrm{s} = 6{,}40\ \mathrm{kHz}. Die Grenzfrequenz muss deutlich unter 6{,}40\ \mathrm{kHz} liegen, damit die Stufen verschwinden, aber deutlich über 100\ \mathrm{Hz}, damit der Sägezahn mit seinen Oberschwingungen nicht verrundet wird, z. B. f_\mathrm{g} \approx 1\ \mathrm{kHz}.

Ges.: Fehlerursache, Begründung

Fehlerursache (1 Punkt): Das MSB trägt nichts bei – bei 100000_2 müsste -3{,}20\ \mathrm{V} anliegen, gemessen werden 0\ \mathrm{V}, und die zweite Hälfte der Treppe wiederholt die erste. Der 2R-Querzweig des MSB ist unterbrochen (Widerstand hochohmig, Lötstelle gebrochen) oder sein Umschalter verbindet nicht mit dem Summierpunkt.

Begründung (2 Punkte): Der MSB-Knoten liegt direkt an U_\mathrm{ref}. Fällt sein Querzweig aus, ändert sich die Spannung am Knoten nicht, und der Rest des Netzwerks (ab dem Längswiderstand R) führt weiterhin 160\ \mu\mathrm{A} und teilt ihn wie vorher auf. Die Bits D_4 \ldots D_0 liefern deshalb richtige Beiträge (Maximum 31 \cdot 0{,}100\ \mathrm{V} = 3{,}10\ \mathrm{V}). Läge der Fehler in einem Längswiderstand oder im Abschluss, wären auch die niederwertigen Stufen falsch.

Geg.: QD3412: 12 Bit, Adresse 1011\,A_2A_1A_0, externe Referenz; -K3: 3{,}000\ \mathrm{V}; Mikrocontroller 3{,}3\ \mathrm{V}; Pull-ups vorhanden; Sollwert 0 \ldots 3{,}0\ \mathrm{V}; Platine: A_2 = 1, A_1 = 0, A_0 = 1; Display \mathrm{3C}_\mathrm{h}, Temperatursensor \mathrm{5D}_\mathrm{h}

Ges.: Adresse, Konflikt und Folge, geänderte Beschaltung

Adresse (1 Punkt): 1011\,101_2 = 101\,1101_2 = \underline{\underline{\mathrm{5D}_\mathrm{h}}}

Konflikt (1 Punkt): Der Temperatursensor hat dieselbe Adresse. Das Display (\mathrm{3C}_\mathrm{h} = 011\,1100_2) kann mit dem QD3412 nicht kollidieren, weil seine oberen vier Bits nicht 1011 lauten.

Folge (1 Punkt): Beide Bausteine bestätigen das Adressbyte und werten die folgenden Bytes aus. Beim Schreiben deutet der Sensor die Datenbytes als eigene Befehle oder Registerinhalte, beim Lesen senden beide gleichzeitig, und die Daten auf SDA sind verfälscht. Der Fehler fällt oft erst auf, wenn ein Wert nicht stimmt.

Abhilfe (1 Punkt): A0 an Masse statt an +3{,}3\ \mathrm{V} legen, also A_2 A_1 A_0 = 100: Adresse 101\,1100_2 = \underline{\underline{\mathrm{5C}_\mathrm{h}}}, frei am Bus. (Jede andere Kombination außer 101 ist ebenso richtig.) Die übrigen Anschlüsse bleiben: VDD an +3{,}3\ \mathrm{V} (gleiche Pegel wie der Mikrocontroller, mit Abblockkondensator), SDA und SCL an den Bus, VREF an -K3, VOUT an den Sollwerteingang der Ventilelektronik.

Ges.: erstes Byte beim Schreiben

Je Angabe 1 Punkt: Das erste Byte besteht aus den 7 Adressbits (neue Adresse \mathrm{5C}_\mathrm{h} aus a) und dem R/W-Bit 0 (Schreiben):

1011\,100\;|\;0 = \underline{\underline{1011\,1000_2}} = \underline{\underline{\mathrm{B8}_\mathrm{h}}}

Hast Du in a) eine andere freie Kombination gewählt, ändern sich die Bits 3 … 1 entsprechend.

Ges.: Datenwort D, Datenbytes, tatsächliche Ausgangsspannung für U_\mathrm{soll} = 1{,}25\ \mathrm{V}

Datenwort (2 Punkte):

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U_\mathrm{OUT} & = & \dfrac{V_\mathrm{REF} \cdot D}{4\,096} & \color{gray}{\cdot 4\,096 : V_\mathrm{REF}} \\ D & = & \dfrac{U_\mathrm{OUT} \cdot 4\,096}{V_\mathrm{REF}} = \dfrac{1{,}25\ \mathrm{V} \cdot 4\,096}{3{,}000\ \mathrm{V}} & \\ D & \approx & 1\,706{,}7 \;\Rightarrow\; D = \underline{\underline{1\,706}} & \color{gray}{\text{abrunden}} \end{array}

Datenbytes (2 Punkte): 1\,706 = 0110\,1010\,1010_2 = \mathrm{6AA}_\mathrm{h}. Byte 1 = Befehl 0011 und D_{11} \ldots D_8 = 0110: 0011\,0110_2 = \underline{\underline{\mathrm{36}_\mathrm{h}}}; Byte 2 = D_7 \ldots D_0 = 1010\,1010_2 = \underline{\underline{\mathrm{AA}_\mathrm{h}}}.

Tatsächliche Ausgangsspannung (1 Punkt):

U_\mathrm{OUT} = \frac{V_\mathrm{REF} \cdot D}{4\,096} = \frac{3{,}000\ \mathrm{V} \cdot 1\,706}{4\,096} \approx \underline{\underline{1{,}25\ \mathrm{V}}} \qquad (1{,}2495\ \mathrm{V})

Die Abweichung von 0{,}49\ \mathrm{mV} ist kleiner als ein LSB (3{,}000\ \mathrm{V} : 4\,096 \approx 0{,}732\ \mathrm{mV}). Mit Runden statt Abrunden ergäbe sich D = 1\,707 und 1{,}2502\ \mathrm{V}.

Ges.: Beschreibung des Umsetzverfahrens, Begründung der Monotonie

Beschreibung 2 Punkte, Begründung 1 Punkt:

Resistor string bedeutet Widerstandskette: 4\,096 gleiche Widerstände liegen in Reihe zwischen VREF und Masse und teilen die Referenz in 4\,096 gleiche Stufen. Ein Schalternetz (Decoder) verbindet den Knoten, der zum Datenwort D gehört, mit dem Eingang des Ausgangspuffers. Der rail-to-rail output buffer ist ein Impedanzwandler, der die Spannung belastbar und bis nahe an die Versorgungsgrenzen ausgibt.

Monotonie: Ein größeres Datenwort wählt immer einen Knoten weiter oben in der Kette; dessen Spannung ist um einen weiteren Widerstand höher und kann deshalb nie kleiner sein als die des vorherigen Knotens – auch wenn einzelne Widerstände abweichen.

Ges.: nötige Bitzahl n; Änderungen an Hard- und Software

Bitzahl (1 Punkt):

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} Z & = & \dfrac{U_\mathrm{Bereich}}{\Delta U} = \dfrac{3{,}0\ \mathrm{V}}{0{,}1\ \mathrm{mV}} = 30\,000 & \\ 2^n & \geq & 30\,000 \;\Rightarrow\; n = \underline{\underline{15\ \text{Bit}}} & \color{gray}{2^{14} = 16\,384,\ 2^{15} = 32\,768} \end{array}

Ein 16-Bit-Umsetzer erfüllt das mit 3{,}000\ \mathrm{V} : 65\,536 \approx 45{,}8\ \mu\mathrm{V} je LSB.

Änderungen (je 1 Punkt, z. B.):

• Hardware: Gehäuse und Pinbelegung des neuen Typs prüfen, ggf. Platine oder Adapter ändern; Adresspins so beschalten, dass keine Kollision am Bus entsteht; Referenz -K3 muss rauscharm und genau genug für 46\ \mu\mathrm{V}-Schritte sein.
• Software: neue Adresse, neues Schreibformat (16 Datenbits, meist Befehlsbyte plus zwei Datenbytes), Wertebereich 0 \ldots 65\,535 und Skalierung D = U \cdot 65\,536 : V_\mathrm{REF} (Variable mit mindestens 16 Bit).
• Inbetriebnahme: Offset und Endwert neu messen und abgleichen; nur mehr Bit allein verbessern die Genauigkeit nicht, wenn Offset, Verstärkungsfehler und INL größer sind als die Schrittweite.

Ges.: Schleiferspannung U_\mathrm{W} für \mathrm{80}_\mathrm{h}, Schrittweite, Beurteilung

Schleiferspannung (1 Punkt): \mathrm{80}_\mathrm{h} = 128

U_\mathrm{W} = V_\mathrm{REF} \cdot \frac{D}{256} = 3{,}000\ \mathrm{V} \cdot \frac{128}{256} = \underline{\underline{1{,}50\ \mathrm{V}}}

Schrittweite (1 Punkt):

\Delta U = \frac{V_\mathrm{REF}}{256} = \frac{3{,}000\ \mathrm{V}}{256} \approx \underline{\underline{11{,}7\ \mathrm{mV}}}

Beurteilung (2 Punkte): Das Digitalpotenziometer arbeitet nur mit 8 Bit; die Schritte sind 16-mal größer als beim QD3412 (0{,}732\ \mathrm{mV}) und weit von den geforderten 0{,}1\ \mathrm{mV} entfernt. Außerdem ist der Schleifer nicht belastbar: Gesamtwiderstand und Schleiferwiderstand (75\ \Omega) bilden mit dem Eingangswiderstand der Ventilelektronik einen Spannungsteiler, es wäre ein Impedanzwandler nötig. Der Vorschlag ist deshalb ungeeignet; ein Digitalpotenziometer passt eher zum Einstellen einer Verstärkung oder eines Abgleichs dort, wo vorher ein Trimmer saß.