Übungsaufgaben zu Operationsverstärker: Eigenschaften, Gegenkopplung, invertierender und nichtinvertierender Verstärker, Impedanzwandler

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Erstelle neue Übungsaufgaben zum Thema „Operationsverstärker:
Eigenschaften, Gegenkopplung, invertierender und nichtinvertierender
Verstärker, Impedanzwandler“.

Bauplan: Halte Dich an Aufbau, Kompetenzstufen, Operatoren,
Anforderungsbereiche, Punkte und Zeitschätzung, die im Artikel
https://oer-informatik.de/aufgaben-aufbau beschrieben sind.

Fachliche Grundlage:
- https://oer-informatik.de/opv-grundschaltungen
- https://oer-informatik.de/spannungsteiler
- https://oer-informatik.de/z-dioden
- Stilbeispiel: https://oer-informatik.de/opv-grundschaltungen-uebungsaufgaben

Die Aufgaben sollen Inhalte zu diesen Schlagwörtern abdecken:
- Operationsverstärker
- Gegenkopplung
- invertierender Verstärker
- nichtinvertierender Verstärker
- Impedanzwandler
- Einstellbereich
- Offsetabgleich
- Datenblatt
- Bandbreite
- NF-Leistungsverstärker

Kompetenzstufe: Basiskompetenz (alternativ: Kernkompetenz, Profilkompetenz, Expertise)
Anzahl: 1 Aufgabe mit Teilaufgaben
Bearbeitungszeit in Minuten ca.: <5 bis 30 min>
Szenario: eines der Szenarien aus dem Bauplan

Vorgehen:
1. Lies zuerst die verlinkten Artikel. Kannst Du keine Webseiten
   abrufen, sag mir das, statt zu raten.
2. Steht bei einer Angabe noch ein Platzhalter in <…>, frag mich
   zuerst danach. Richte Punkte und Zahl der Teilaufgaben nach der
   Bearbeitungszeit (ca. 0,9 min je Punkt).
3. Gib je Aufgabe Titel mit Kompetenzstufe, Ausgangssituation und
   Teilaufgaben mit Operator und Punktzahl aus, dazu die geschätzte
   Bearbeitungszeit.
4. Gib die Beispiellösungen mit Punkteverteilung erst aus, wenn ich
   danach frage.

Geg.: Schaltungen A bis F; \pm 12\ \mathrm{V}, U_\mathrm{sat} = \pm 10{,}5\ \mathrm{V}; in A: R_1 = 10\ \mathrm{k\Omega}, R_2 = 22\ \mathrm{k\Omega}

Ges.: Namen der Schaltungen

Je richtiger Zeile 1 Punkt:

Ges.: Art der Rückkopplung

• Gegenkopplung (Rückführung an −): \underline{\underline{\text{A, C, D, F}}} (1 Punkt)

• Mitkopplung (Rückführung an +): \underline{\underline{\text{E}}} (1 Punkt)

• ohne Rückkopplung: \underline{\underline{\text{B}}} (1 Punkt)

Ges.: drei Eigenschaften des idealen OPV mit realen Werten

Je Eigenschaft mit realem Wert 1 Punkt, z. B.:

• Die Leerlaufverstärkung ist unendlich groß; ein realer OPV erreicht 10^5 \dots 10^6.

• Der Eingangswiderstand ist unendlich groß, es fließt kein Eingangsstrom; real etwa 1\ \mathrm{M\Omega} bis 10^{12}\ \Omega mit Eingangsruheströmen im nA- bis pA-Bereich.

• Der Ausgangswiderstand ist null; real einige zehn Ohm.

Ebenfalls richtig: unendliche Bandbreite (real begrenzt durch f_\mathrm{T}), keine Offsetspannung (real einige mV), Aussteuerung bis zur Betriebsspannung (real \pm U_\mathrm{sat}).

Ges.: U_\mathrm{A} bei U_\mathrm{E} = 0{,}2\ \mathrm{V}

\begin{aligned} &\text{(I)} && V = 1 + \frac{R_2}{R_1} \\ &\text{(II)} && V = \frac{U_\mathrm{A}}{U_\mathrm{E}} \end{aligned}

I in II einsetzen und nach U_\mathrm{A} umstellen (2 Punkte):

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} \dfrac{U_\mathrm{A}}{U_\mathrm{E}} & = & 1 + \dfrac{R_2}{R_1} & \color{gray}{\cdot U_\mathrm{E}} \\ U_\mathrm{A} & = & \left(1 + \dfrac{R_2}{R_1}\right) \cdot U_\mathrm{E} = \left(1 + \dfrac{22\ \mathrm{k\Omega}}{10\ \mathrm{k\Omega}}\right) \cdot 0{,}2\ \mathrm{V} = 3{,}2 \cdot 0{,}2\ \mathrm{V} = \underline{\underline{0{,}640\ \mathrm{V}}} & \end{array}

Ges.: U_\mathrm{A} bei unterbrochenem R_2

Ohne R_2 ist die Gegenkopplung aufgehoben; R_1 zieht den −-Eingang auf 0 V. Der OPV verstärkt die Differenzspannung U_\mathrm{D} = 0{,}2\ \mathrm{V} - 0\ \mathrm{V} mit seiner Leerlaufverstärkung (1 Punkt). Schon wenige Mikrovolt reichen für die Sättigung, deshalb gilt (1 Punkt):

U_\mathrm{A} = \underline{\underline{+10{,}5\ \mathrm{V}}}

Die Schaltung arbeitet jetzt wie ein Komparator.

Geg.: Datenblattauszug des Doppel-OPV; Versorgung +5\ \mathrm{V}

Ges.: Übersetzungen

Je Begriff 1 Punkt:

• slew rate: Anstiegsgeschwindigkeit der Ausgangsspannung (größte Spannungsänderung je Zeit)

• input offset voltage: Eingangs-Offsetspannung, die Differenzspannung am Eingang, bei der die Ausgangsspannung null wird

• gain bandwidth product: Verstärkungs-Bandbreite-Produkt; Produkt aus Verstärkung und Grenzfrequenz, entspricht der Transitfrequenz

• Satz: „Für den Betrieb an einer einzigen (unipolaren) Versorgungsspannung ausgelegt; der Gleichtakt-Eingangsspannungsbereich schließt 0 V (Masse) ein.“

Ges.: Unterschied der Datenblattabschnitte

Absolute Maximum Ratings sind Grenzwerte, die auch kurzzeitig nicht überschritten werden dürfen, weil der Baustein sonst geschädigt werden kann; ein Betrieb an diesen Werten ist nicht vorgesehen (1 Punkt). Recommended Operating Conditions geben den Bereich an, in dem der OPV bestimmungsgemäß arbeitet und die angegebenen Kennwerte erreicht; danach wird eine Schaltung ausgelegt (1 Punkt).

Ges.: Betrieb an 5\ \mathrm{V} und an \pm 18\ \mathrm{V}

• 5\ \mathrm{V} liegen im empfohlenen Single-Supply-Bereich von 3\ \mathrm{V} bis 32\ \mathrm{V}; der Eingangsbereich reicht bis 0 V. Der Betrieb ist \underline{\underline{\text{zulässig}}} (2 Punkte).

• \pm 18\ \mathrm{V} ist genau der Grenzwert aus den Absolute Maximum Ratings und liegt über dem empfohlenen Bereich von höchstens \pm 16\ \mathrm{V}. Ein Dauerbetrieb ist \underline{\underline{\text{nicht zulässig}}} (1 Punkt).

Ges.: Bereich der Ausgangsspannung bei V_\mathrm{CC} = 5\ \mathrm{V}, R_\mathrm{L} = 10\ \mathrm{k\Omega}

Aus dem output voltage swing (je 1 Punkt):

U_\mathrm{A,min} = \underline{\underline{5\ \mathrm{mV}}} \qquad U_\mathrm{A,max} = V_\mathrm{CC} - 1{,}5\ \mathrm{V} = 5\ \mathrm{V} - 1{,}5\ \mathrm{V} = \underline{\underline{3{,}50\ \mathrm{V}}}

Der OPV ist also kein Rail-to-Rail-Typ: Nach oben fehlen 1,5 V.

Ges.: Bandbreite f_\mathrm{g} bei V = 20

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} V \cdot f_\mathrm{g} & = & f_\mathrm{T} & \color{gray}{:V} \\ f_\mathrm{g} & = & \dfrac{f_\mathrm{T}}{V} = \dfrac{1{,}2\ \mathrm{MHz}}{20} = \underline{\underline{60{,}0\ \mathrm{kHz}}} & \end{array}

Formel 1 Punkt, Ergebnis 1 Punkt.

Ges.: Zweck des Trimmers; Begründung für den Doppel-OPV

Der Trimmer dient dem Offsetabgleich (Nullabgleich): Mit ihm wird die Ausgangsspannung bei kurzgeschlossenem Eingang auf 0 V gestellt (1 Punkt). Beim Doppel-OPV sind die Anschlüsse 1 und 5 mit Ausgang A bzw. +-Eingang B belegt; Offset-Anschlüsse gibt es nicht. Ein Abgleich müsste über einen Spannungsteiler am Eingang erfolgen (1 Punkt).

Geg.: R_1 = 2{,}2\ \mathrm{k\Omega}; R_2 = 22\ \mathrm{k\Omega}; R_\mathrm{T} = 0 \dots 47\ \mathrm{k\Omega}; Mikrofon 25\ \mathrm{mV}; NF-Leistungsverstärker laut Datenblatt

Ges.: Zusammenhang von Ein- und Ausgangsspannung; virtuelle Masse

Die Ausgangsspannung ist der Eingangsspannung proportional, um den Verstärkungsfaktor größer und gegenphasig (um 180° verschoben) (1 Punkt). Der +-Eingang liegt auf 0 V. Wegen der Gegenkopplung stellt der OPV seinen Ausgang so ein, dass die Differenzspannung null ist; deshalb liegt auch der −-Eingang auf 0 V (virtuelle Masse) (1 Punkt).

Ges.: V_\mathrm{min}, V_\mathrm{max}

\begin{aligned} &\text{(I)} && V = -\frac{R_2 + R_\mathrm{T}}{R_1} \end{aligned}

Endstellungen einsetzen (je 1,5 Punkte):

V_{R_\mathrm{T} = 0} = -\frac{22\ \mathrm{k\Omega}}{2{,}2\ \mathrm{k\Omega}} = \underline{\underline{-10{,}0}}

V_{R_\mathrm{T} = 47\,\mathrm{k\Omega}} = -\frac{22\ \mathrm{k\Omega} + 47\ \mathrm{k\Omega}}{2{,}2\ \mathrm{k\Omega}} = -\frac{69\ \mathrm{k\Omega}}{2{,}2\ \mathrm{k\Omega}} \approx \underline{\underline{-31{,}4}}

Der Betrag der Verstärkung lässt sich zwischen 10 und 31,4 einstellen.

Ges.: U_\mathrm{A} in beiden Endstellungen

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} V & = & \dfrac{U_\mathrm{A}}{U_\mathrm{E}} & \color{gray}{\cdot U_\mathrm{E}} \\ U_\mathrm{A} & = & V \cdot U_\mathrm{E} & \end{array}

Je Endstellung 1 Punkt (Effektivwerte, das Minuszeichen kennzeichnet die Gegenphase):

U_\mathrm{A} = -10{,}0 \cdot 25\ \mathrm{mV} = \underline{\underline{-250\ \mathrm{mV}}} \qquad U_\mathrm{A} = -31{,}4 \cdot 25\ \mathrm{mV} \approx \underline{\underline{-785\ \mathrm{mV}}}

Mit gerundeten Zwischenergebnissen ergibt sich: U_\mathrm{A} \approx -785\ \mathrm{mV}
Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: U_\mathrm{A} = -\tfrac{69}{2{,}2} \cdot 25\ \mathrm{mV} \approx -784\ \mathrm{mV}

Geg.: V = -47; R_1 = 2{,}2\ \mathrm{k\Omega}

Ges.: R_2, E12-Wert, erreichte Verstärkung

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} V & = & -\dfrac{R_2}{R_1} & \color{gray}{\cdot (-R_1)} \\ R_2 & = & -V \cdot R_1 = 47 \cdot 2{,}2\ \mathrm{k\Omega} = \underline{\underline{103\ \mathrm{k\Omega}}} & \end{array}

(1 Punkt) Der nächstliegende E12-Wert ist \underline{\underline{R_2 = 100\ \mathrm{k\Omega}}} (1 Punkt). Damit (1 Punkt):

V = -\frac{100\ \mathrm{k\Omega}}{2{,}2\ \mathrm{k\Omega}} \approx \underline{\underline{-45{,}5}}

Ges.: V_\mathrm{ges} als Faktor und in dB

\begin{aligned} &\text{(I)} && V_\mathrm{ges} = V_1 \cdot V_2 \\ &\text{(II)} && V_\mathrm{dB} = 20 \cdot \lg \lvert V \rvert \end{aligned}

I (1 Punkt):

V_\mathrm{ges} = -10{,}0 \cdot 40 = \underline{\underline{-400}}

II (1 Punkt), alternativ 20\ \mathrm{dB} + 32\ \mathrm{dB}:

V_\mathrm{dB} = 20 \cdot \lg 400 \approx \underline{\underline{52{,}0\ \mathrm{dB}}}

Verstärkung auf 10 verringern: den Anschluss GAIN über einen Widerstand von 10\ \mathrm{k\Omega} mit 0 V verbinden (1 Punkt).

Ges.: Ausgangsbeschaltung; Betrieb an 13,8 V

• Laut typical application: Lautsprecher über einen Koppelelko von 470 µF in Reihe an den Ausgang (trennt die Gleichspannung des Ausgangs ab), dazu ein RC-Glied aus 2,7 Ω und 100 nF vom Ausgang nach 0 V (Boucherot-Glied gegen Schwingneigung) (2 Punkte).

• 13{,}8\ \mathrm{V} und beim Laden 14{,}4\ \mathrm{V} liegen im empfohlenen Bereich von 6\ \mathrm{V} bis 18\ \mathrm{V} und weit unter dem Grenzwert von 22\ \mathrm{V}. Der Betrieb ist \underline{\underline{\text{zulässig}}} (1 Punkt).

Ges.: Begründung für das logarithmische Potenziometer

Das Gehör empfindet Lautstärke etwa logarithmisch: Gleiche Lautstärkeschritte entsprechen gleichen Verhältnissen der Spannung, nicht gleichen Differenzen (1 Punkt). Beim logarithmischen Potenziometer ändert sich das Teilerverhältnis am Anfang des Drehwegs langsam und am Ende schnell, sodass die Lautstärke über den ganzen Drehweg gleichmäßig zunimmt. Mit einem linearen Potenziometer fände fast die ganze Lautstärkeänderung im ersten Teil des Drehwegs statt (1 Punkt).

Geg.: U_0 = 0 \dots 4{,}5\ \mathrm{V}; R_\mathrm{i} = 47\ \mathrm{k\Omega}; R_3 = 10\ \mathrm{k\Omega}; R_4 = 22\ \mathrm{k\Omega}; ADU bis 3{,}3\ \mathrm{V}; OPV-Ausgang bis 4{,}8\ \mathrm{V}

Ges.: Aufgabe des OPV

Der OPV arbeitet als Impedanzwandler mit der Verstärkung 1 (1 Punkt). Sein sehr großer Eingangswiderstand belastet den hochohmigen Sensor nicht, sodass am Ausgang die volle Sensorspannung anliegt; sein kleiner Ausgangswiderstand treibt den Spannungsteiler und den ADU-Eingang, ohne dass die Spannung einbricht. Er entkoppelt Sensor und Folgeschaltung (1 Punkt).

Ges.: U_\mathrm{ADU} bei U_0 = 4{,}5\ \mathrm{V}

Der Impedanzwandler gibt U_0 unverändert aus; der Spannungsteiler wird wie ein unbelasteter Teiler berechnet (je 1 Punkt):

U_\mathrm{ADU} = U_0 \cdot \frac{R_4}{R_3 + R_4} = 4{,}5\ \mathrm{V} \cdot \frac{22\ \mathrm{k\Omega}}{10\ \mathrm{k\Omega} + 22\ \mathrm{k\Omega}} \approx \underline{\underline{3{,}09\ \mathrm{V}}}

Das liegt unter 3{,}3\ \mathrm{V}.

Ges.: U_\mathrm{ADU} ohne OPV

Ohne OPV liegen R_\mathrm{i}, R_3 und R_4 in Reihe an U_0 (1 Punkt):

U_\mathrm{ADU} = U_0 \cdot \frac{R_4}{R_\mathrm{i} + R_3 + R_4} = 4{,}5\ \mathrm{V} \cdot \frac{22\ \mathrm{k\Omega}}{47\ \mathrm{k\Omega} + 10\ \mathrm{k\Omega} + 22\ \mathrm{k\Omega}} \approx \underline{\underline{1{,}25\ \mathrm{V}}}

(2 Punkte) Statt 3{,}09\ \mathrm{V} kämen nur 1{,}25\ \mathrm{V} an; der Messwert wäre stark verfälscht.

Geg.: U_\mathrm{E,max} = 0{,}6\ \mathrm{V}; U_\mathrm{A} \approx 3{,}0\ \mathrm{V}; R_1 = 10\ \mathrm{k\Omega}

Ges.: R_2, E12-Wert, U_\mathrm{A}

\begin{aligned} &\text{(I)} && V = \frac{U_\mathrm{A}}{U_\mathrm{E}} \\ &\text{(II)} && V = 1 + \frac{R_2}{R_1} \end{aligned}

I: V = 3{,}0\ \mathrm{V} : 0{,}6\ \mathrm{V} = 5{,}00. II nach R_2 umstellen (1 Punkt):

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} V & = & 1 + \dfrac{R_2}{R_1} & \color{gray}{-1} \\ V - 1 & = & \dfrac{R_2}{R_1} & \color{gray}{\cdot R_1} \\ R_2 & = & (V - 1) \cdot R_1 = 4{,}00 \cdot 10\ \mathrm{k\Omega} = \underline{\underline{40{,}0\ \mathrm{k\Omega}}} & \end{array}

E12-Wert \underline{\underline{R_2 = 39\ \mathrm{k\Omega}}} (1 Punkt), damit V = 1 + 39 : 10 = 4{,}90 und (1 Punkt):

U_\mathrm{A} = 4{,}90 \cdot 0{,}6\ \mathrm{V} = \underline{\underline{2{,}94\ \mathrm{V}}}

Ges.: Kennlinie U_\mathrm{A} = f(U_\mathrm{E}) für 0 \dots 1{,}2\ \mathrm{V}

Die Ausgangsspannung steigt mit V = 4{,}90, bis sie 4{,}8\ \mathrm{V} erreicht; das ist bei U_\mathrm{E} = 4{,}8\ \mathrm{V} : 4{,}90 \approx 0{,}980\ \mathrm{V} der Fall (Wertetabelle 2 Punkte):

Verlauf (1 Punkt): eine Gerade durch den Ursprung mit der Steigung 4,9, die ab etwa 0{,}98\ \mathrm{V} waagerecht bei 4{,}8\ \mathrm{V} verläuft (Sättigung, Übersteuerung).

Ges.: Fehlerursache

U_\mathrm{A} = U_\mathrm{E} bedeutet V = 1: Die Schaltung arbeitet als Impedanzwandler (1 Punkt). Mögliche Ursache: R_1 ist unterbrochen (oder seine Verbindung nach 0 V fehlt), dann wird V = 1 + R_2 : \infty = 1; ebenso möglich ist ein Kurzschluss über R_2 (1 Punkt).

Geg.: Stufe mit R_1 = 1{,}0\ \mathrm{k\Omega}, R_2 = 100\ \mathrm{k\Omega}; Volllast 25\ \mathrm{mV}; Versorgung \pm 12\ \mathrm{V}; Kennwerte Typ A und Typ B

Ges.: Begründung für die Impedanzwandler

Die Brückenzweige sind Spannungsteiler, deren Ausgangsspannungen von der Belastung abhängen (1 Punkt). Ein Differenzverstärker hat endliche Eingangswiderstände, die zudem an beiden Eingängen verschieden sein können; er würde die Brücke belasten und die Diagonalspannung verfälschen (1 Punkt). Die Impedanzwandler nehmen praktisch keinen Strom auf, sodass die Brückenspannungen unverfälscht und belastbar am Differenzverstärker anliegen; die Widerstände des Differenzverstärkers können frei gewählt werden (1 Punkt).

Ges.: U_\mathrm{A,off}; Vergleich mit U_\mathrm{A} bei Volllast

\begin{aligned} &\text{(I)} && U_\mathrm{A,off} = U_\mathrm{IO} \cdot \left(1 + \frac{R_2}{R_1}\right) \\ &\text{(II)} && U_\mathrm{A} = U_\mathrm{E} \cdot \left(1 + \frac{R_2}{R_1}\right) \end{aligned}

Mit 1 + R_2 : R_1 = 1 + 100 : 1{,}0 = 101 (je 1 Punkt):

U_\mathrm{A,off} = 3\ \mathrm{mV} \cdot 101 = \underline{\underline{303\ \mathrm{mV}}} \qquad U_\mathrm{A} = 25\ \mathrm{mV} \cdot 101 = \underline{\underline{2{,}53\ \mathrm{V}}}

Der Offset kann einen Fehler von 303\ \mathrm{mV} : 2{,}53\ \mathrm{V} \approx 12\ \% des Messbereichs erzeugen – ohne Abgleich ist die Waage unbrauchbar (1 Punkt).

Ges.: Skizze und Vorgehen beim Offsetabgleich

Skizze (2 Punkte): Trimmer (z. B. 10\ \mathrm{k\Omega}) mit seinen Enden an den Offset-Anschlüssen 1 und 5 des OPV, Schleifer an -U_\mathrm{B} (Anschluss und Wert laut Datenblatt).

Die Skizze zeigt das Prinzip an einem invertierenden Verstärker; beim nichtinvertierenden Verstärker der Waage wird der Trimmer genauso angeschlossen.

Vorgehen (2 Punkte):

1. Eingang der Stufe auf 0 V legen (kurzschließen), Betriebsspannung einschalten und einige Minuten warmlaufen lassen.

2. Ausgangsspannung mit einem Multimeter im kleinen Messbereich (mV) messen.

3. Trimmer verstellen, bis die Ausgangsspannung 0 V ist; Kurzschluss entfernen und mit bekannter Last (Prüfgewicht) kontrollieren.

Ges.: Austauschbarkeit; notwendige Änderungen

Vergleich (3 Punkte):

• Versorgung: Typ B ist nur für 2{,}7 \dots 5{,}5\ \mathrm{V} an einfacher Versorgung zugelassen. Die Platine liefert \pm 12\ \mathrm{V}, also 24\ \mathrm{V} zwischen den Versorgungsanschlüssen – das würde Typ B zerstören.

• Gehäuse und Pinbelegung: Typ B ist ein Doppel-OPV mit anderer Belegung, Offset-Anschlüsse fehlen. Er passt zwar mechanisch in den DIP-8-Sockel, ist aber nicht pinkompatibel.

• Kennwerte: Die Offsetspannung ist mit 0{,}05\ \mathrm{mV} viel kleiner (0{,}05\ \mathrm{mV} \cdot 101 \approx 5\ \mathrm{mV} am Ausgang); das GBW von 0{,}35\ \mathrm{MHz} reicht bei V = 101 noch für 3{,}5\ \mathrm{kHz} – für eine Waage genug.

Ergebnis: Typ B ist \underline{\underline{\text{nicht direkt austauschbar}}}. Notwendige Änderungen (2 Punkte): eigene Versorgung von z. B. 5\ \mathrm{V} für den OPV, bei Single-Supply Bezugspotenzial bzw. Mittenspannung für das Signal vorsehen, Adapter oder neues Platinenlayout für die Doppel-OPV-Belegung (zweiten OPV beschalten bzw. stilllegen), Offset-Trimmer entfällt; Ausgangsspannung bis 2{,}53\ \mathrm{V} passt in den Rail-to-Rail-Bereich. Alternativ einen Ersatztyp mit gleicher Pinbelegung und gleichem Versorgungsbereich wie Typ A suchen.

Geg.: R_2 = 100\ \mathrm{k\Omega}; R_{1,0} = 100\ \mathrm{k\Omega}, R_{1,1} = 11\ \mathrm{k\Omega}, R_{1,2} = 1\ \mathrm{k\Omega}, R_{1,3} = 330\ \Omega; R_\mathrm{on} = 100\ \Omega; f_\mathrm{T} = 3\ \mathrm{MHz}; \mathrm{SR} = 1\ \mathrm{V/\mu s}

Ges.: V je Kanal mit und ohne R_\mathrm{on}

\begin{aligned} &\text{(I)} && V = 1 + \frac{R_2}{R_1 + R_\mathrm{on}} \end{aligned}

Im Fußpunkt liegt jeweils der geschlossene Kanal in Reihe zum gewählten Widerstand (Formel 2 Punkte, Tabelle 4 Punkte):

Beispiel K2: V = 1 + \dfrac{100\ \mathrm{k\Omega}}{1\ \mathrm{k\Omega} + 0{,}1\ \mathrm{k\Omega}} \approx \underline{\underline{91{,}9}}

Ges.: Begründung; Abhilfe

R_\mathrm{on} liegt in Reihe zu R_1. Bei 100\ \mathrm{k\Omega} und 11\ \mathrm{k\Omega} sind 100\ \Omega vernachlässigbar, bei 1\ \mathrm{k\Omega} und 330\ \Omega aber 10 % bzw. 30 % des Widerstands (1 Punkt). Abhilfe (1 Punkt): größere Widerstände wählen (z. B. R_2 = 1\ \mathrm{M\Omega} und R_1 zehnmal größer), R_\mathrm{on} beim Dimensionieren abziehen oder die Schalter so anordnen, dass sie nur hochohmige Zweige schalten.

Ges.: Parallelwiderstand R_\mathrm{p}, E12-Wert, erreichte Verstärkung

\begin{aligned} &\text{(I)} && V = 1 + \frac{R_2}{R_{1,\mathrm{wirk}} + R_\mathrm{on}} \\ &\text{(II)} && \frac{1}{R_{1,\mathrm{wirk}}} = \frac{1}{R_{1,2}} + \frac{1}{R_\mathrm{p}} \end{aligned}

I nach R_{1,\mathrm{wirk}} umstellen (1 Punkt):

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} V - 1 & = & \dfrac{R_2}{R_{1,\mathrm{wirk}} + R_\mathrm{on}} & \color{gray}{\cdot (R_{1,\mathrm{wirk}} + R_\mathrm{on}) : (V - 1)} \\ R_{1,\mathrm{wirk}} + R_\mathrm{on} & = & \dfrac{R_2}{V - 1} & \color{gray}{-R_\mathrm{on}} \\ R_{1,\mathrm{wirk}} & = & \dfrac{100\ \mathrm{k\Omega}}{99} - 100\ \Omega \approx 910\ \Omega & \end{array}

II nach R_\mathrm{p} umstellen (1 Punkt):

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} \dfrac{1}{R_\mathrm{p}} & = & \dfrac{1}{R_{1,\mathrm{wirk}}} - \dfrac{1}{R_{1,2}} = \dfrac{1}{910\ \Omega} - \dfrac{1}{1000\ \Omega} & \\ R_\mathrm{p} & \approx & \underline{\underline{10{,}1\ \mathrm{k\Omega}}} & \end{array}

E12-Wert \underline{\underline{R_\mathrm{p} = 10\ \mathrm{k\Omega}}} (1 Punkt). Damit R_{1,\mathrm{wirk}} = 1\ \mathrm{k\Omega} \parallel 10\ \mathrm{k\Omega} \approx 909\ \Omega und (1 Punkt):

V = 1 + \frac{100\ \mathrm{k\Omega}}{909\ \Omega + 100\ \Omega} \approx \underline{\underline{100}}

Mit gerundeten Zwischenergebnissen ergibt sich: R_{1,\mathrm{wirk}} \approx 910\ \Omega, R_\mathrm{p} \approx 10{,}1\ \mathrm{k\Omega}
Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: R_{1,\mathrm{wirk}} = 910{,}1\ \Omega, R_\mathrm{p} \approx 10{,}12\ \mathrm{k\Omega}; mit 10\ \mathrm{k\Omega} ergibt sich V \approx 100{,}1

Ges.: Bandbreite in K3

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} f_\mathrm{g} & = & \dfrac{f_\mathrm{T}}{V} = \dfrac{3\ \mathrm{MHz}}{234} \approx \underline{\underline{12{,}8\ \mathrm{kHz}}} & \end{array}

(1 Punkt) Die Grenzfrequenz liegt unter 20\ \mathrm{kHz}: Anteile oberhalb von etwa 12{,}8\ \mathrm{kHz} werden in K3 \underline{\underline{\text{nicht mehr voll verstärkt}}} (1 Punkt).

Ges.: benötigte Anstiegsgeschwindigkeit

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} \mathrm{SR}_\mathrm{nötig} & = & 2\pi \cdot f \cdot \hat{u}_\mathrm{A} = 2\pi \cdot 20\ \mathrm{kHz} \cdot 4\ \mathrm{V} \approx 503\,000\ \mathrm{V/s} = \underline{\underline{0{,}503\ \mathrm{V/\mu s}}} & \end{array}

(1 Punkt) 0{,}503\ \mathrm{V/\mu s} < 1\ \mathrm{V/\mu s}: Die Slew-Rate \underline{\underline{\text{reicht aus}}} (1 Punkt).

Geg.: Kennlinie des Fotoelements (Tabelle); R_1 = 10\ \mathrm{k\Omega}; R_2 = 56\ \mathrm{k\Omega}; Versorgung 5\ \mathrm{V}; Eingangsbereich bis 3{,}3\ \mathrm{V}

Ges.: U_\mathrm{A} bei 1000\ \mathrm{lx} und 10\,000\ \mathrm{lx}

\begin{aligned} &\text{(I)} && V = 1 + \frac{R_2}{R_1} \\ &\text{(II)} && U_\mathrm{A} = V \cdot U_0 \end{aligned}

I (1 Punkt): V = 1 + 56 : 10 = 6{,}60. Aus der Tabelle U_0 = 0{,}41\ \mathrm{V} bzw. 0{,}49\ \mathrm{V}; II (je 1 Punkt):

U_\mathrm{A,1000\,lx} = 6{,}60 \cdot 0{,}41\ \mathrm{V} \approx \underline{\underline{2{,}71\ \mathrm{V}}} \qquad U_\mathrm{A,10\,000\,lx} = 6{,}60 \cdot 0{,}49\ \mathrm{V} \approx \underline{\underline{3{,}23\ \mathrm{V}}}

Ges.: Begründung der Schaltungswahl

Das Fotoelement soll im Leerlauf arbeiten, denn nur dafür gilt die Kennlinie der Leerlaufspannung; schon eine Belastung mit wenigen Kiloohm senkt die Spannung (1 Punkt). Der nichtinvertierende Verstärker hat einen sehr großen Eingangswiderstand und belastet es praktisch nicht; ein invertierender Verstärker würde es mit R_1 belasten, die Spannung bräche ein und die Kennlinie gälte nicht mehr. Außerdem bleibt das Signal positiv, wie es die einfache 5-V-Versorgung verlangt (1 Punkt).

Ges.: neues R_2 (E12), U_\mathrm{A} bei 10\,000\ \mathrm{lx}

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} V & = & \dfrac{U_\mathrm{A}}{U_0} = \dfrac{3{,}3\ \mathrm{V}}{0{,}49\ \mathrm{V}} \approx 6{,}73 & \\ R_2 & = & (V - 1) \cdot R_1 = 5{,}73 \cdot 10\ \mathrm{k\Omega} = \underline{\underline{57{,}3\ \mathrm{k\Omega}}} & \end{array}

(1 Punkt) 68\ \mathrm{k\Omega} würde 3{,}3\ \mathrm{V} überschreiten; deshalb der kleinere E12-Wert \underline{\underline{R_2 = 56\ \mathrm{k\Omega}}} (1 Punkt) – das ist die vorhandene Bestückung mit U_\mathrm{A} \approx \underline{\underline{3{,}23\ \mathrm{V}}} (1 Punkt). Mit E24 wäre z. B. 56\ \mathrm{k\Omega} ebenfalls der beste Wert unterhalb von 57{,}3\ \mathrm{k\Omega}.

Mit gerundeten Zwischenergebnissen ergibt sich: V \approx 6{,}73, R_2 \approx 57{,}3\ \mathrm{k\Omega}
Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: V = 6{,}7347, R_2 \approx 57{,}35\ \mathrm{k\Omega}

Geg.: C_\mathrm{K} = 100\ \mathrm{nF}; Teiler 2 \times 100\ \mathrm{k\Omega}; R_2 = 100\ \mathrm{k\Omega}; C_2 = 220\ \mathrm{pF}; Nutzband 1 \dots 5\ \mathrm{kHz}

Ges.: f_\mathrm{u}, f_\mathrm{o}; Beurteilung

\begin{aligned} &\text{(I)} && f_\mathrm{g} = \frac{1}{2\pi \cdot R \cdot C} \end{aligned}

Für den Hochpass am Eingang wirkt die Parallelschaltung der Teilerwiderstände, 100\ \mathrm{k\Omega} \parallel 100\ \mathrm{k\Omega} = 50\ \mathrm{k\Omega} (1 Punkt):

f_\mathrm{u} = \frac{1}{2\pi \cdot 50\ \mathrm{k\Omega} \cdot 100\ \mathrm{nF}} \approx \underline{\underline{31{,}8\ \mathrm{Hz}}}

Für den Tiefpass im Gegenkopplungszweig (1 Punkt):

f_\mathrm{o} = \frac{1}{2\pi \cdot 100\ \mathrm{k\Omega} \cdot 220\ \mathrm{pF}} \approx \underline{\underline{7{,}23\ \mathrm{kHz}}}

Beurteilung (2 Punkte): Das Nutzband 1 \dots 5\ \mathrm{kHz} liegt zwischen 31{,}8\ \mathrm{Hz} und 7{,}23\ \mathrm{kHz} und wird übertragen. Bei 5\ \mathrm{kHz} ist die Verstärkung wegen der Nähe zu f_\mathrm{o} schon etwas gesunken (etwa 18 %); tieffrequente Störungen unter 31{,}8\ \mathrm{Hz} und hochfrequentes Rauschen werden gedämpft.

Ges.: Zweck des Elkos in Reihe zu R_1

Für Gleichspannung sperrt der Kondensator; der Zweig R_1 ist dann unterbrochen und die Gleichspannungsverstärkung ist 1 (Impedanzwandler) (1 Punkt). So wird die Mittenspannung am Eingang (halbe Betriebsspannung) und die Offsetspannung nicht mitverstärkt; der Ausgang bleibt auf halber Betriebsspannung. Für das Wechselsignal ist der Kondensator fast ein Kurzschluss, es wird mit 1 + R_2 : R_1 verstärkt (1 Punkt).

Geg.: U_\mathrm{B} = 24\ \mathrm{V}; R_\mathrm{V} = 2{,}2\ \mathrm{k\Omega}; U_\mathrm{Z} = 6{,}2\ \mathrm{V}; R_2 = 10\ \mathrm{k\Omega}; R_1 = 3{,}3\ \mathrm{k\Omega}; R_\mathrm{P} = 0 \dots 10\ \mathrm{k\Omega}; U_\mathrm{A,max} = 22{,}5\ \mathrm{V}

Ges.: I_\mathrm{Z}

In den +-Eingang fließt kein Strom, deshalb ist I_\mathrm{Z} gleich dem Strom durch R_\mathrm{V} (1 Punkt):

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U_\mathrm{B} - U_\mathrm{Z} & = & R_\mathrm{V} \cdot I_\mathrm{Z} & \color{gray}{:R_\mathrm{V}} \\ I_\mathrm{Z} & = & \dfrac{U_\mathrm{B} - U_\mathrm{Z}}{R_\mathrm{V}} = \dfrac{24\ \mathrm{V} - 6{,}2\ \mathrm{V}}{2{,}2\ \mathrm{k\Omega}} \approx \underline{\underline{8{,}09\ \mathrm{mA}}} & \end{array}

(1 Punkt)

Ges.: Einstellbereich von U_\mathrm{ref}

\begin{aligned} &\text{(I)} && V = 1 + \frac{R_2}{R_1 + R_\mathrm{P}} \\ &\text{(II)} && U_\mathrm{ref} = V \cdot U_\mathrm{Z} \end{aligned}

Der Trimmer liegt im Fußpunkt: Die kleinste Spannung ergibt sich bei R_\mathrm{P} = 10\ \mathrm{k\Omega}, die größte bei R_\mathrm{P} = 0 (1 Punkt).

V_\mathrm{min} = 1 + \frac{10\ \mathrm{k\Omega}}{13{,}3\ \mathrm{k\Omega}} \approx 1{,}75 \qquad U_\mathrm{ref,min} = 1{,}75 \cdot 6{,}2\ \mathrm{V} \approx \underline{\underline{10{,}9\ \mathrm{V}}}

V_\mathrm{max} = 1 + \frac{10\ \mathrm{k\Omega}}{3{,}3\ \mathrm{k\Omega}} \approx 4{,}03 \qquad U_\mathrm{ref,max} = 4{,}03 \cdot 6{,}2\ \mathrm{V} \approx \underline{\underline{25{,}0\ \mathrm{V}}}

(je 1,5 Punkte)

Mit gerundeten Zwischenergebnissen ergibt sich: U_\mathrm{ref,min} \approx 10{,}9\ \mathrm{V}, U_\mathrm{ref,max} \approx 25{,}0\ \mathrm{V}
Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: U_\mathrm{ref,min} \approx 10{,}86\ \mathrm{V}, U_\mathrm{ref,max} \approx 24{,}99\ \mathrm{V}

Ges.: Beurteilung; neues R_1 (E12); neuer Einstellbereich

Der OPV erreicht höchstens 22{,}5\ \mathrm{V}, das entspricht V = 22{,}5 : 6{,}2 \approx 3{,}63 bzw. R_1 + R_\mathrm{P} \approx 3{,}80\ \mathrm{k\Omega}. Für R_\mathrm{P} < 0{,}5\ \mathrm{k\Omega} geht er in die Sättigung; der Bereich bis 25{,}0\ \mathrm{V} wird \underline{\underline{\text{nicht erreicht}}}, und die Referenz wäre dort nicht mehr stabil (1 Punkt).

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} V_\mathrm{max} & = & \dfrac{U_\mathrm{ref,max}}{U_\mathrm{Z}} = \dfrac{20\ \mathrm{V}}{6{,}2\ \mathrm{V}} \approx 3{,}23 & \\ V_\mathrm{max} - 1 & = & \dfrac{R_2}{R_1} & \color{gray}{\cdot R_1 : (V_\mathrm{max} - 1)} \\ R_1 & = & \dfrac{R_2}{V_\mathrm{max} - 1} = \dfrac{10\ \mathrm{k\Omega}}{2{,}23} \approx 4{,}48\ \mathrm{k\Omega} & \end{array}

(1 Punkt) Damit 20\ \mathrm{V} nicht überschritten werden, den nächstgrößeren E12-Wert wählen: \underline{\underline{R_1 = 4{,}7\ \mathrm{k\Omega}}} (1 Punkt). Neuer Bereich (1 Punkt):

U_\mathrm{ref,max} = \left(1 + \frac{10\ \mathrm{k\Omega}}{4{,}7\ \mathrm{k\Omega}}\right) \cdot 6{,}2\ \mathrm{V} \approx \underline{\underline{19{,}4\ \mathrm{V}}} \qquad U_\mathrm{ref,min} = \left(1 + \frac{10\ \mathrm{k\Omega}}{14{,}7\ \mathrm{k\Omega}}\right) \cdot 6{,}2\ \mathrm{V} \approx \underline{\underline{10{,}4\ \mathrm{V}}}

Mit gerundeten Zwischenergebnissen ergibt sich: V_\mathrm{max} \approx 3{,}23, R_1 \approx 4{,}48\ \mathrm{k\Omega}
Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: V_\mathrm{max} = 3{,}2258, R_1 \approx 4{,}49\ \mathrm{k\Omega}

Ges.: Fehlerursachen für die Prüfstände 1 bis 3

Sollwert bei R_\mathrm{P} = 5\ \mathrm{k\Omega}: V = 1 + 10 : 8{,}3 \approx 2{,}20, also U_\mathrm{ref} \approx 2{,}20 \cdot 6{,}2\ \mathrm{V} \approx 13{,}7\ \mathrm{V}. Je Prüfstand 2 Punkte:

• Prüfstand 1: Referenz an X1 richtig, aber V = 1: Die Schaltung arbeitet als Impedanzwandler. Ursache: R_1 oder der Trimmer ist unterbrochen (Fußpunkt offen) oder R_2 ist kurzgeschlossen.

• Prüfstand 2: Referenz richtig, Ausgang in der positiven Sättigung: Die Gegenkopplung fehlt. Ursache: R_2 bzw. seine Verbindung zum −-Eingang ist unterbrochen; der OPV verstärkt mit seiner Leerlaufverstärkung.

• Prüfstand 3: An X1 liegen nur 0{,}7\ \mathrm{V}: Die Z-Diode ist verpolt eingebaut und arbeitet in Durchlassrichtung. Der Verstärker arbeitet richtig: 2{,}20 \cdot 0{,}7\ \mathrm{V} \approx 1{,}5\ \mathrm{V}.

Ges.: Linearität; Ursache der Abweichung

\begin{aligned} &\text{(I)} && I = \frac{U_\mathrm{E}}{R_\mathrm{S}} \end{aligned}

Sollwerte (1 Punkt): I = U_\mathrm{E} : 500\ \Omega, also 2, 4, 8, 12, 16 und 20\ \mathrm{mA}. Bis 6{,}0\ \mathrm{V} stimmen Mess- und Sollwerte überein, die Kennlinie ist eine Gerade durch den Ursprung mit 2\ \mathrm{mA/V}: Der Wandler ist in diesem Bereich \underline{\underline{\text{linear}}} (1 Punkt). Ab 8{,}0\ \mathrm{V} bleibt der Strom bei etwa 15\ \mathrm{mA} stehen (1 Punkt).

Ursache (1 Punkt): Der OPV bzw. Treibertransistor kann den Strom nur so lange einstellen, wie die verfügbare Spannung für Messwiderstand und Sensor (Bürde) reicht. Bei etwa 15\ \mathrm{mA} ist die Grenze der Ausgangsspannung erreicht; der Wandler geht in die Begrenzung (Sättigung). Abhilfe: größere Versorgungsspannung oder kleinere Bürde.