Übungsaufgaben zu Brückenschaltungen: Wheatstone-Brücke, Pt100-Messbrücke, Brückenverstärker und Wechselstrom-Messbrücken

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Brücke, Pt100-Messbrücke, Brückenverstärker und Wechselstrom-
Messbrücken“.

Bauplan: Halte Dich an Aufbau, Kompetenzstufen, Operatoren,
Anforderungsbereiche, Punkte und Zeitschätzung, die im Artikel
https://oer-informatik.de/aufgaben-aufbau beschrieben sind.

Fachliche Grundlage:
- https://oer-informatik.de/brueckenschaltung
- https://oer-informatik.de/spannungsteiler
- Stilbeispiel: https://oer-informatik.de/brueckenschaltung-uebungsaufgaben

Die Aufgaben sollen Inhalte zu diesen Schlagwörtern abdecken:
- Brückenschaltung
- Wheatstone-Brücke
- Brückenspannung
- Abgleichbedingung
- NTC
- Pt100
- Brückenverstärker
- Differenzverstärker
- Konstantstromspeisung
- Maxwell-Wien-Brücke

Kompetenzstufe: Kernkompetenz (alternativ: Basiskompetenz, Profilkompetenz, Expertise)
Anzahl: 1 Aufgabe mit Teilaufgaben
Bearbeitungszeit in Minuten ca.: <5 bis 30 min>
Szenario: eines der Szenarien aus dem Bauplan

Vorgehen:
1. Lies zuerst die verlinkten Artikel. Kannst Du keine Webseiten
   abrufen, sag mir das, statt zu raten.
2. Steht bei einer Angabe noch ein Platzhalter in <…>, frag mich
   zuerst danach. Richte Punkte und Zahl der Teilaufgaben nach der
   Bearbeitungszeit (ca. 0,9 min je Punkt).
3. Gib je Aufgabe Titel mit Kompetenzstufe, Ausgangssituation und
   Teilaufgaben mit Operator und Punktzahl aus, dazu die geschätzte
   Bearbeitungszeit.
4. Gib die Beispiellösungen mit Punkteverteilung erst aus, wenn ich
   danach frage.

Geg.: U_0 = 9\ \mathrm{V}; R_1 = 6{,}8\ \mathrm{k\Omega} (oben links), NTC (unten links); R_3 = R_4 = 10\ \mathrm{k\Omega}; R_\mathrm{NTC}: 12{,}0\ \mathrm{k\Omega} (30\ ^\circ\mathrm{C}), 6{,}8\ \mathrm{k\Omega} (45\ ^\circ\mathrm{C}), 3{,}9\ \mathrm{k\Omega} (60\ ^\circ\mathrm{C})

Ges.: Skizze der Wheatstone-Brücke

Bewertung: zwei Spannungsteiler an derselben Spannungsquelle mit richtiger Lage von R_1 und NTC (NTC-Symbol mit gegenläufigen Pfeilen) (1 Punkt), Spannungsmesser zwischen den Abgriffen A und B (1 Punkt), Zählpfeile für Speisespannung und U_\mathrm{AB} mit Beschriftung (1 Punkt). Eine Darstellung als Raute ist gleichwertig.

Ges.: U_\mathrm{A}, U_\mathrm{B}, U_\mathrm{AB} bei 30\ ^\circ\mathrm{C}

\begin{aligned} &\text{(I)} && \frac{U_\mathrm{A}}{U_0} = \frac{R_\mathrm{NTC}}{R_1 + R_\mathrm{NTC}} \\ &\text{(II)} && \frac{U_\mathrm{B}}{U_0} = \frac{R_4}{R_3 + R_4} \\ &\text{(III)} && U_\mathrm{AB} = U_\mathrm{A} - U_\mathrm{B} \end{aligned}

I und II nach den Abgriffspannungen umstellen (je 1,5 Punkte):

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} \dfrac{U_\mathrm{A}}{U_0} & = & \dfrac{R_\mathrm{NTC}}{R_1 + R_\mathrm{NTC}} & \color{gray}{\cdot U_0} \\ U_\mathrm{A} & = & 9\ \mathrm{V} \cdot \dfrac{12{,}0\ \mathrm{k\Omega}}{6{,}8\ \mathrm{k\Omega} + 12{,}0\ \mathrm{k\Omega}} \approx \underline{\underline{5{,}74\ \mathrm{V}}} & \\ U_\mathrm{B} & = & 9\ \mathrm{V} \cdot \dfrac{10\ \mathrm{k\Omega}}{10\ \mathrm{k\Omega} + 10\ \mathrm{k\Omega}} = \underline{\underline{4{,}50\ \mathrm{V}}} & \end{array}

Brückenspannung mit III (1 Punkt):

U_\mathrm{AB} = U_\mathrm{A} - U_\mathrm{B} = 5{,}74\ \mathrm{V} - 4{,}50\ \mathrm{V} = \underline{\underline{1{,}24\ \mathrm{V}}}

A liegt um 1{,}24\ \mathrm{V} positiver als B.

Ges.: Abgleichtemperatur mit Begründung

\begin{aligned} &\text{(I)} && \frac{R_1}{R_\mathrm{NTC}} = \frac{R_3}{R_4} \end{aligned}

Abgeglichen ist die Brücke, wenn beide Spannungsteiler dasselbe Teilerverhältnis haben. Wegen R_3 = R_4 ist das rechte Verhältnis 1, also muss auch R_\mathrm{NTC} = R_1 = 6{,}8\ \mathrm{k\Omega} sein (1 Punkt). Diesen Wert hat der NTC bei \underline{\underline{45\ ^\circ\mathrm{C}}}; dann ist U_\mathrm{A} = U_\mathrm{B} = 4{,}50\ \mathrm{V} und U_\mathrm{AB} = 0\ \mathrm{V} (1 Punkt).

Ges.: U_\mathrm{AB} bei 60\ ^\circ\mathrm{C}, Verhalten zwischen 30\ ^\circ\mathrm{C} und 60\ ^\circ\mathrm{C}

Wie in b), I und III (1 Punkt):

U_\mathrm{A} = U_0 \cdot \frac{R_\mathrm{NTC}}{R_1 + R_\mathrm{NTC}} = 9\ \mathrm{V} \cdot \frac{3{,}9\ \mathrm{k\Omega}}{6{,}8\ \mathrm{k\Omega} + 3{,}9\ \mathrm{k\Omega}} \approx 3{,}28\ \mathrm{V}

U_\mathrm{AB} = U_\mathrm{A} - U_\mathrm{B} = 3{,}28\ \mathrm{V} - 4{,}50\ \mathrm{V} = \underline{\underline{-1{,}22\ \mathrm{V}}}

Verhalten (2 Punkte): Mit steigender Temperatur sinkt der Widerstand des NTC. Weil er unten im linken Spannungsteiler liegt, sinkt die Spannung an A, während B konstant bleibt. Die Brückenspannung sinkt deshalb von +1{,}24\ \mathrm{V} über 0\ \mathrm{V} (bei 45\ ^\circ\mathrm{C}, Abgleich) auf -1{,}22\ \mathrm{V}; beim Abgleichpunkt wechselt sie ihr Vorzeichen.

Ges.: zutreffende Aussage

Richtig ist \underline{\underline{\text{B}}} (2 Punkte): Der NTC wird bei steigender Temperatur niederohmiger, die Spannung an A sinkt, U_\mathrm{AB} wird kleiner. Weil A am nichtinvertierenden Eingang liegt, sinkt die Ausgangsspannung.

• A ist falsch: Der Widerstand eines NTC sinkt mit steigender Temperatur.

• C ist falsch: B ist zwar konstant, aber der Verstärker verstärkt die Differenz, und die Spannung an A ändert sich.

• D ist falsch: B wird im Vergleich zu A zwar positiver, das senkt aber die Ausgangsspannung, weil B am invertierenden Eingang liegt.

Ges.: Verhalten mit PTC

Der Widerstand des PTC steigt mit der Temperatur, damit steigt die Spannung an A. Die Brückenspannung steigt: unterhalb von 45\ ^\circ\mathrm{C} negativ, bei 45\ ^\circ\mathrm{C} null, darüber positiv (1 Punkt). Weil A am nichtinvertierenden Eingang liegt, steigt auch die Ausgangsspannung des Verstärkers mit der Temperatur – das Verhalten kehrt sich gegenüber dem NTC um (1 Punkt).

Geg.: U_0 = 10\ \mathrm{V}; R_1 = 1{,}0\ \mathrm{k\Omega}, Pt100 mit R_0 = 100\ \Omega und \alpha = 0{,}00385\ \tfrac{1}{\mathrm{K}} (unten links), R_3 = 2{,}2\ \mathrm{k\Omega}, Trimmer R_4; R_5 = R_7 = 100\ \mathrm{k\Omega}, R_6 = R_8 = 470\ \mathrm{k\Omega}; Versorgung des OPV 0 \dots 12\ \mathrm{V}

Geg.: R_4 = 242\ \Omega (abgeglichen)

Ges.: R_\vartheta, \vartheta

\begin{aligned} &\text{(I)} && R_1 \cdot R_4 = R_\vartheta \cdot R_3 \\ &\text{(II)} && R_\vartheta = R_0 \cdot (1 + \alpha \cdot \vartheta) \end{aligned}

I nach R_\vartheta umstellen (2 Punkte):

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} R_1 \cdot R_4 & = & R_\vartheta \cdot R_3 & \color{gray}{:R_3} \\ R_\vartheta & = & \dfrac{R_1 \cdot R_4}{R_3} = \dfrac{1000\ \Omega \cdot 242\ \Omega}{2200\ \Omega} = \underline{\underline{110\ \Omega}} & \end{array}

II nach \vartheta umstellen (2 Punkte):

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} R_\vartheta & = & R_0 \cdot (1 + \alpha \cdot \vartheta) & \color{gray}{:R_0} \\ \dfrac{R_\vartheta}{R_0} & = & 1 + \alpha \cdot \vartheta & \color{gray}{-1} \\ \dfrac{R_\vartheta}{R_0} - 1 & = & \alpha \cdot \vartheta & \color{gray}{:\alpha} \\ \vartheta & = & \dfrac{\dfrac{R_\vartheta}{R_0} - 1}{\alpha} = \dfrac{\dfrac{110\ \Omega}{100\ \Omega} - 1}{0{,}00385\ \mathrm{\tfrac{1}{K}}} \approx \underline{\underline{26{,}0\ ^\circ\mathrm{C}}} & \end{array}

Ges.: R_4 für Abgleich bei 0\ ^\circ\mathrm{C}

Bei 0\ ^\circ\mathrm{C} ist R_\vartheta = R_0 = 100\ \Omega (1 Punkt). Abgleichbedingung aus a) nach R_4 umstellen (1 Punkt):

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} R_1 \cdot R_4 & = & R_\vartheta \cdot R_3 & \color{gray}{:R_1} \\ R_4 & = & \dfrac{R_\vartheta \cdot R_3}{R_1} = \dfrac{100\ \Omega \cdot 2200\ \Omega}{1000\ \Omega} = \underline{\underline{220\ \Omega}} & \end{array}

Ges.: U_\mathrm{AB} bei 70\ ^\circ\mathrm{C}

\begin{aligned} &\text{(I)} && R_\vartheta = R_0 \cdot (1 + \alpha \cdot \vartheta) \\ &\text{(II)} && \frac{U_\mathrm{A}}{U_0} = \frac{R_\vartheta}{R_1 + R_\vartheta} \\ &\text{(III)} && \frac{U_\mathrm{B}}{U_0} = \frac{R_4}{R_3 + R_4} \\ &\text{(IV)} && U_\mathrm{AB} = U_\mathrm{A} - U_\mathrm{B} \end{aligned}

Nacheinander (I: 1 Punkt, II und III: je 1 Punkt, IV: 1 Punkt):

R_\vartheta = 100\ \Omega \cdot (1 + 0{,}00385\ \mathrm{\tfrac{1}{K}} \cdot 70\ \mathrm{K}) = 126{,}95\ \Omega

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} \dfrac{U_\mathrm{A}}{U_0} & = & \dfrac{R_\vartheta}{R_1 + R_\vartheta} & \color{gray}{\cdot U_0} \\ U_\mathrm{A} & = & 10\ \mathrm{V} \cdot \dfrac{126{,}95\ \Omega}{1000\ \Omega + 126{,}95\ \Omega} \approx 1{,}13\ \mathrm{V} & \\ U_\mathrm{B} & = & 10\ \mathrm{V} \cdot \dfrac{220\ \Omega}{2200\ \Omega + 220\ \Omega} \approx 0{,}909\ \mathrm{V} & \end{array}

Weil hier zwei fast gleich große Spannungen voneinander abgezogen werden, rechnest Du die Differenz mit den ungerundeten Werten (U_\mathrm{A} = 1{,}1265\ \mathrm{V}, U_\mathrm{B} = 0{,}9091\ \mathrm{V}):

U_\mathrm{AB} = U_\mathrm{A} - U_\mathrm{B} = 1{,}1265\ \mathrm{V} - 0{,}9091\ \mathrm{V} \approx \underline{\underline{0{,}217\ \mathrm{V}}}

Mit gerundeten Zwischenergebnissen ergibt sich: U_\mathrm{AB} = 1{,}13\ \mathrm{V} - 0{,}909\ \mathrm{V} \approx 0{,}221\ \mathrm{V} (fast 2 % zu viel)
Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: U_\mathrm{AB} \approx 0{,}217\ \mathrm{V}

Ges.: U_\mathrm{A} des Differenzverstärkers bei 70\ ^\circ\mathrm{C}

\begin{aligned} &\text{(I)} && U_\mathrm{A} = \frac{R_6}{R_5} \cdot (U_+ - U_-) \end{aligned}

A liegt am nichtinvertierenden, B am invertierenden Eingang, also ist U_+ - U_- = U_\mathrm{AB}; wegen R_5 = R_7 und R_6 = R_8 gilt I (1 Punkt):

U_\mathrm{A} = \frac{470\ \mathrm{k\Omega}}{100\ \mathrm{k\Omega}} \cdot 0{,}217\ \mathrm{V} = 4{,}7 \cdot 0{,}217\ \mathrm{V} \approx \underline{\underline{1{,}02\ \mathrm{V}}}

(1 Punkt)

Ges.: R_6 = R_8 (E12), U_\mathrm{A} bei 150\ ^\circ\mathrm{C}

\begin{aligned} &\text{(I)} && U_\mathrm{A} = v \cdot U_\mathrm{AB} \\ &\text{(II)} && v = \frac{R_6}{R_5} \end{aligned}

Brückenspannung bei 150\ ^\circ\mathrm{C} wie in c) mit R_\vartheta = 100\ \Omega \cdot (1 + 0{,}00385\ \tfrac{1}{\mathrm{K}} \cdot 150\ \mathrm{K}) = 157{,}75\ \Omega, ohne Rundung der Zwischenergebnisse (1 Punkt):

U_\mathrm{AB} = 10\ \mathrm{V} \cdot \left( \frac{157{,}75\ \Omega}{1157{,}75\ \Omega} - \frac{220\ \Omega}{2420\ \Omega} \right) \approx 0{,}453\ \mathrm{V}

I nach v umstellen, dann II nach R_6 (2 Punkte):

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U_\mathrm{A} & = & v \cdot U_\mathrm{AB} & \color{gray}{:U_\mathrm{AB}} \\ v & = & \dfrac{U_\mathrm{A}}{U_\mathrm{AB}} = \dfrac{5{,}0\ \mathrm{V}}{0{,}453\ \mathrm{V}} \approx 11{,}0 & \\ v & = & \dfrac{R_6}{R_5} & \color{gray}{\cdot R_5} \\ R_6 & = & v \cdot R_5 = 11{,}0 \cdot 100\ \mathrm{k\Omega} \approx \underline{\underline{1{,}10\ \mathrm{M\Omega}}} & \end{array}

Gewählt wird der nächstkleinere E12-Wert \underline{\underline{R_6 = R_8 = 1{,}0\ \mathrm{M\Omega}}}, damit die Ausgangsspannung bei 150\ ^\circ\mathrm{C} die 5{,}0\ \mathrm{V} nicht überschreitet; mit 1{,}2\ \mathrm{M\Omega} wären es schon 5{,}44\ \mathrm{V} (1 Punkt). Kontrolle mit I (1 Punkt):

U_\mathrm{A} = \frac{1{,}0\ \mathrm{M\Omega}}{100\ \mathrm{k\Omega}} \cdot 0{,}453\ \mathrm{V} = 10 \cdot 0{,}453\ \mathrm{V} \approx \underline{\underline{4{,}53\ \mathrm{V}}}

Ges.: U_\mathrm{A} bei -20\ ^\circ\mathrm{C} mit Beurteilung

Wie in c) (1 Punkt):

R_\vartheta = 100\ \Omega \cdot (1 + 0{,}00385\ \mathrm{\tfrac{1}{K}} \cdot (-20\ \mathrm{K})) = 92{,}3\ \Omega

U_\mathrm{AB} = 10\ \mathrm{V} \cdot \left( \frac{92{,}3\ \Omega}{1092{,}3\ \Omega} - \frac{220\ \Omega}{2420\ \Omega} \right) \approx -0{,}0641\ \mathrm{V}

Rechnerisch ergäbe sich U_\mathrm{A} = 4{,}7 \cdot (-0{,}0641\ \mathrm{V}) \approx -0{,}301\ \mathrm{V} (1 Punkt). Der Operationsverstärker wird aber nur aus 0 \dots 12\ \mathrm{V} versorgt und kann keine negative Spannung ausgeben. Der Ausgang bleibt bei \underline{\underline{U_\mathrm{A} \approx 0\ \mathrm{V}}} stehen; die Auswertung kann -20\ ^\circ\mathrm{C} nicht von 0\ ^\circ\mathrm{C} unterscheiden (1 Punkt). Abhilfe wäre ein Abgleich am unteren Ende des gewünschten Messbereichs oder eine symmetrische Versorgung.

Das Diagramm zeigt die Ausgangsspannung über der Badtemperatur: Unterhalb der Abgleichtemperatur von 0\ ^\circ\mathrm{C} bleibt der Ausgang bei 0\ \mathrm{V} stehen, oberhalb steigt er nahezu linear.

Ges.: Begründung der geringen Belastung, Einsatz von Impedanzwandlern

Die Eingangswiderstände des Differenzverstärkers liegen in der Größenordnung von R_5 = 100\ \mathrm{k\Omega} bzw. R_7 + R_8 (über 0{,}5\ \mathrm{M\Omega}), die Abgriffe der Brücke sind dagegen sehr niederohmig (je Abgriff die Parallelschaltung aus oberem und unterem Brückenwiderstand, hier nur etwa 0{,}1 \dots 0{,}2\ \mathrm{k\Omega}). Es fließt nur ein sehr kleiner Strom aus der Brücke, der Fehler liegt im Promillebereich (1 Punkt). Impedanzwandler (Spannungsfolger) vor beiden Eingängen sind nötig, wenn die Brücke hochohmig ist (z. B. mit Pt1000 oder NTC im \mathrm{k\Omega}-Bereich) oder wenn der Differenzverstärker kleine Eingangswiderstände hat; dann würde er die Brückenspannung verfälschen (1 Punkt).

Geg.: R_x oben links, Dekade R_2 = 3\,270\ \Omega (abgeglichen), R_3 = 1\ \mathrm{k\Omega}, R_4 = 10\ \mathrm{k\Omega}

Ges.: R_x

\begin{aligned} &\text{(I)} && R_x \cdot R_4 = R_2 \cdot R_3 \end{aligned}

I nach R_x umstellen (2 Punkte):

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} R_x \cdot R_4 & = & R_2 \cdot R_3 & \color{gray}{:R_4} \\ R_x & = & \dfrac{R_2 \cdot R_3}{R_4} = \dfrac{3270\ \Omega \cdot 1000\ \Omega}{10\,000\ \Omega} = \underline{\underline{327\ \Omega}} & \end{array}

Ges.: Beschreibung des Abgleichverfahrens, Begründung

Abgleichverfahren (2 Punkte): Das Vergleichsverhältnis R_3 : R_4 wird so gewählt, dass der erwartete Wert im Einstellbereich der Dekade liegt (hier 1 : 10). Dann wird der Dekadenwiderstand – erst grob, dann im empfindlichsten Bereich des Nullindikators fein – verstellt, bis der Nullindikator null anzeigt. Aus dem eingestellten Wert und der Abgleichbedingung wird R_x berechnet.

Begründung (2 Punkte): In der Abgleichbedingung R_x \cdot R_4 = R_2 \cdot R_3 kommt die Speisespannung nicht vor; im Abgleich sind beide Teilerverhältnisse gleich, egal wie groß U_0 ist. Der Nullindikator muss keinen Wert genau anzeigen, sondern nur erkennen, wann die Brückenspannung null ist. Die Genauigkeit hängt deshalb nur von den Vergleichswiderständen ab.

Geg.: Pt1000: R_0 = 1000\ \Omega, \alpha = 0{,}00385\ \tfrac{1}{\mathrm{K}}, \vartheta = 60\ ^\circ\mathrm{C}; I_\mathrm{M} = 0{,}25\ \mathrm{mA}; R_\mathrm{L} = 0{,}8\ \Omega je Ader

Ges.: U_\vartheta, U_\mathrm{Klemme}, \Delta\vartheta, P

\begin{aligned} &\text{(I)} && R_\vartheta = R_0 \cdot (1 + \alpha \cdot \vartheta) \\ &\text{(II)} && U = R \cdot I \\ &\text{(III)} && P = I^2 \cdot R \end{aligned}

Sensorwiderstand und Spannung am Sensor aus I und II (2 Punkte):

R_\vartheta = 1000\ \Omega \cdot (1 + 0{,}00385\ \mathrm{\tfrac{1}{K}} \cdot 60\ \mathrm{K}) = 1231\ \Omega

U_\vartheta = R_\vartheta \cdot I_\mathrm{M} = 1231\ \Omega \cdot 0{,}25\ \mathrm{mA} \approx \underline{\underline{308\ \mathrm{mV}}}

An den Klemmen werden Sensor und beide Adern gemessen (1 Punkt):

U_\mathrm{Klemme} = (R_\vartheta + 2 \cdot R_\mathrm{L}) \cdot I_\mathrm{M} = 1232{,}6\ \Omega \cdot 0{,}25\ \mathrm{mA} \approx \underline{\underline{308\ \mathrm{mV}}}

Die beiden Werte unterscheiden sich nur um 2 \cdot R_\mathrm{L} \cdot I_\mathrm{M} = 0{,}4\ \mathrm{mV}. Der zusätzliche Widerstand 1{,}6\ \Omega entspricht einem Temperaturfehler von (1 Punkt)

\Delta\vartheta = \frac{2 \cdot R_\mathrm{L}}{\alpha \cdot R_0} = \frac{1{,}6\ \Omega}{0{,}00385\ \mathrm{\tfrac{1}{K}} \cdot 1000\ \Omega} \approx \underline{\underline{0{,}416\ \mathrm{K}}}

Leistung im Sensor mit III (1 Punkt):

P = I_\mathrm{M}^2 \cdot R_\vartheta = (0{,}25 \cdot 10^{-3}\ \mathrm{A})^2 \cdot 1231\ \Omega \approx \underline{\underline{76{,}9\ \mu\mathrm{W}}}

Ges.: ausgefüllte Vergleichstabelle

Je richtig ausgefüllter Zeile 1 Punkt. Zur Erläuterung: Die Brückenspannung ist wegen des Sensorwiderstands im Nenner leicht nichtlinear, liefert aber ab dem Abgleichpunkt ein Signal ab null. Bei Konstantstromspeisung muss die Grundspannung R_0 \cdot I_\mathrm{M} abgezogen werden.

Ges.: begründete Sensorauswahl

Gewählt wird der \underline{\underline{\text{Pt1000}}} (1 Punkt): Derselbe Leitungswiderstand der 2 \times 25\ \mathrm{m} Zuleitung macht beim Pt1000 nur ein Zehntel des Temperaturfehlers aus, weil sich sein Widerstand um 3{,}85\ \Omega je Kelvin ändert statt um 0{,}385\ \Omega. Außerdem liefert er schon bei kleinem Messstrom eine gut auswertbare Spannung, die Eigenerwärmung bleibt gering (1 Punkt). Ein Pt100 käme nur mit Drei- oder Vierleiterschaltung in Frage.

Geg.: C_\mathrm{N} = 47\ \mathrm{nF}, R_3 = 1{,}5\ \mathrm{k\Omega}, R_4 = 3{,}3\ \mathrm{k\Omega} (abgeglichen)

Ges.: C_x

\begin{aligned} &\text{(I)} && \frac{X_{Cx}}{X_{CN}} = \frac{R_3}{R_4} \\ &\text{(II)} && X_C = \frac{1}{\omega \cdot C} \end{aligned}

II in I einsetzen, \omega kürzt sich heraus (1 Punkt), dann nach C_x umstellen (2 Punkte):

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} \dfrac{\dfrac{1}{\omega \cdot C_x}}{\dfrac{1}{\omega \cdot C_\mathrm{N}}} & = & \dfrac{R_3}{R_4} & \color{gray}{\text{vereinfachen}} \\ \dfrac{C_\mathrm{N}}{C_x} & = & \dfrac{R_3}{R_4} & \color{gray}{\cdot C_x \cdot \dfrac{R_4}{R_3}} \\ C_x & = & C_\mathrm{N} \cdot \dfrac{R_4}{R_3} = 47\ \mathrm{nF} \cdot \dfrac{3{,}3\ \mathrm{k\Omega}}{1{,}5\ \mathrm{k\Omega}} \approx \underline{\underline{103\ \mathrm{nF}}} & \end{array}

Geg.: R_2 = 680\ \Omega, R_3 = 470\ \Omega, C_4 = 330\ \mathrm{nF}, R_4 = 2{,}7\ \mathrm{k\Omega} (abgeglichen)

Ges.: L_x, R_x

\begin{aligned} &\text{(I)} && L_x = R_2 \cdot R_3 \cdot C_4 \\ &\text{(II)} && R_x = \frac{R_2 \cdot R_3}{R_4} \end{aligned}

Einsetzen (je 2 Punkte):

L_x = 680\ \Omega \cdot 470\ \Omega \cdot 330 \cdot 10^{-9}\ \mathrm{F} \approx 0{,}105\ \mathrm{H} = \underline{\underline{105\ \mathrm{mH}}}

R_x = \frac{680\ \Omega \cdot 470\ \Omega}{2700\ \Omega} \approx \underline{\underline{118\ \Omega}}

Einheitenkontrolle: \Omega \cdot \Omega \cdot \mathrm{F} = \Omega \cdot \mathrm{s} = \mathrm{H}.