Übungsaufgaben zu OPV-Rechen- und Messverstärkern: Summierer, Differenz- und Instrumentenverstärker, Integrierer, Differenzierer

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Summierer, Differenz- und Instrumentenverstärker, Integrierer,
Differenzierer“.

Bauplan: Halte Dich an Aufbau, Kompetenzstufen, Operatoren,
Anforderungsbereiche, Punkte und Zeitschätzung, die im Artikel
https://oer-informatik.de/aufgaben-aufbau beschrieben sind.

Fachliche Grundlage:
- https://oer-informatik.de/opv-rechen-messverstaerker
- https://oer-informatik.de/opv-grundschaltungen
- https://oer-informatik.de/komparator-schmitt-trigger
- Stilbeispiel: https://oer-informatik.de/opv-rechen-messverstaerker-uebungsaufgaben

Die Aufgaben sollen Inhalte zu diesen Schlagwörtern abdecken:
- Operationsverstärker
- Summierverstärker
- D/A-Umsetzer
- Differenzverstärker
- Messbrücke
- Instrumentenverstärker
- Integrierer
- Differenzierer
- Funktionsgenerator
- PI-Regler

Kompetenzstufe: Kernkompetenz (alternativ: Basiskompetenz, Profilkompetenz, Expertise)
Anzahl: 1 Aufgabe mit Teilaufgaben
Bearbeitungszeit in Minuten ca.: <5 bis 30 min>
Szenario: eines der Szenarien aus dem Bauplan

Vorgehen:
1. Lies zuerst die verlinkten Artikel. Kannst Du keine Webseiten
   abrufen, sag mir das, statt zu raten.
2. Steht bei einer Angabe noch ein Platzhalter in <…>, frag mich
   zuerst danach. Richte Punkte und Zahl der Teilaufgaben nach der
   Bearbeitungszeit (ca. 0,9 min je Punkt).
3. Gib je Aufgabe Titel mit Kompetenzstufe, Ausgangssituation und
   Teilaufgaben mit Operator und Punktzahl aus, dazu die geschätzte
   Bearbeitungszeit.
4. Gib die Beispiellösungen mit Punkteverteilung erst aus, wenn ich
   danach frage.

Geg.: R_1 = 20\ \mathrm{k\Omega}, R_\mathrm{F} = 15\ \mathrm{k\Omega}, U_\mathrm{ref} = 5\ \mathrm{V}, R_4 = R_5 = 10\ \mathrm{k\Omega}; U_\mathrm{S} = -2 \dots +2\ \mathrm{V}; Ziel 0 \dots 3{,}3\ \mathrm{V}, bei U_\mathrm{S} = 0: 1{,}65\ \mathrm{V}; Versorgung \pm 12\ \mathrm{V}

Ges.: Namen der Stufen; Aufgabe von N2

• N1 ist ein invertierender Summierverstärker (Summierer): zwei Eingangswiderstände am −-Eingang, R_\mathrm{F} in der Rückführung, + an 0 V (1 Punkt).

• N2 ist ein invertierender Verstärker mit V = -1 (Umkehrverstärker), weil R_5 = R_4 ist (1 Punkt).

Der Summierer kehrt das Vorzeichen um: Bei U_\mathrm{S} = 0 läge an U_\mathrm{A1} eine negative Spannung, die der A/D-Eingang nicht verarbeiten kann. N2 hebt das Minuszeichen auf, sodass Sensoranteil und Offset positiv am A/D-Eingang ankommen (1 Punkt).

Ges.: Ausgangsgleichung U_\mathrm{A} = f(U_\mathrm{S}, U_\mathrm{ref})

\begin{aligned} &\text{(I)} && U_\mathrm{A1} = -\left(\frac{R_\mathrm{F}}{R_1} \cdot U_\mathrm{S} + \frac{R_\mathrm{F}}{R_2} \cdot U_\mathrm{ref}\right) \\ &\text{(II)} && U_\mathrm{A} = -\frac{R_5}{R_4} \cdot U_\mathrm{A1} \end{aligned}

Summierer (I) 1 Punkt, Umkehrverstärker (II) 1 Punkt. I in II einsetzen (1 Punkt):

U_\mathrm{A} = \underline{\underline{\frac{R_5}{R_4} \cdot \left(\frac{R_\mathrm{F}}{R_1} \cdot U_\mathrm{S} + \frac{R_\mathrm{F}}{R_2} \cdot U_\mathrm{ref}\right)}}

Mit R_5 = R_4 wird daraus U_\mathrm{A} = \frac{R_\mathrm{F}}{R_1} \cdot U_\mathrm{S} + \frac{R_\mathrm{F}}{R_2} \cdot U_\mathrm{ref} = 0{,}75 \cdot U_\mathrm{S} + \frac{R_\mathrm{F}}{R_2} \cdot U_\mathrm{ref}.

Ges.: R_2 für U_\mathrm{A} = 1{,}65\ \mathrm{V} bei U_\mathrm{S} = 0; E24-Wert

Bei U_\mathrm{S} = 0 bleibt nur der Referenzanteil (1 Punkt):

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U_\mathrm{A} & = & \dfrac{R_\mathrm{F}}{R_2} \cdot U_\mathrm{ref} & \color{gray}{\cdot R_2 : U_\mathrm{A}} \\ R_2 & = & \dfrac{R_\mathrm{F} \cdot U_\mathrm{ref}}{U_\mathrm{A}} = \dfrac{15\ \mathrm{k\Omega} \cdot 5\ \mathrm{V}}{1{,}65\ \mathrm{V}} \approx \underline{\underline{45{,}5\ \mathrm{k\Omega}}} & \end{array}

(1 Punkt) Nächstliegende E24-Werte sind 43\ \mathrm{k\Omega} und 47\ \mathrm{k\Omega}; 47\ \mathrm{k\Omega} liegt näher: \underline{\underline{R_2 = 47\ \mathrm{k\Omega}}} (1 Punkt).

Ges.: U_\mathrm{A} bei U_\mathrm{S} = \pm 2\ \mathrm{V}; Beurteilung

Offset mit dem E24-Wert (1 Punkt):

\frac{R_\mathrm{F}}{R_2} \cdot U_\mathrm{ref} = \frac{15\ \mathrm{k\Omega}}{47\ \mathrm{k\Omega}} \cdot 5\ \mathrm{V} \approx 1{,}60\ \mathrm{V}

Je Spannung 0,5 Punkte:

U_\mathrm{A}(-2\ \mathrm{V}) = 0{,}75 \cdot (-2\ \mathrm{V}) + 1{,}60\ \mathrm{V} \approx \underline{\underline{0{,}0957\ \mathrm{V}}} \qquad U_\mathrm{A}(+2\ \mathrm{V}) = 0{,}75 \cdot 2\ \mathrm{V} + 1{,}60\ \mathrm{V} \approx \underline{\underline{3{,}10\ \mathrm{V}}}

Mit gerundeten Zwischenergebnissen ergibt sich: U_\mathrm{A}(-2\ \mathrm{V}) \approx 0{,}100\ \mathrm{V} (mit 1{,}60\ \mathrm{V} gerechnet)
Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: U_\mathrm{A}(-2\ \mathrm{V}) \approx 0{,}0957\ \mathrm{V}, U_\mathrm{A}(+2\ \mathrm{V}) \approx 3{,}10\ \mathrm{V}

Beurteilung (1 Punkt): Beide Werte liegen innerhalb von 0 \dots 3{,}3\ \mathrm{V}; der A/D-Bereich wird eingehalten. Die Zwischenspannung U_\mathrm{A1} reicht von etwa -0{,}1\ \mathrm{V} bis -3{,}1\ \mathrm{V} und bleibt weit unter \pm 12\ \mathrm{V}, keine Stufe geht in die Sättigung.

Geg.: R_\mathrm{F} = 6\ \mathrm{k\Omega}; R_3 = 15\ \mathrm{k\Omega}, R_2 = 30\ \mathrm{k\Omega}, R_1 = 60\ \mathrm{k\Omega}, R_0 = 120\ \mathrm{k\Omega} (Index = Bit); U_\mathrm{H} = 5\ \mathrm{V}

Ges.: Gewichtung der Eingänge; U_\mathrm{A} für 1101; kleinste Stufe

\begin{aligned} &\text{(I)} && U_\mathrm{A} = -R_\mathrm{F} \cdot \sum \frac{U_n}{R_n} \end{aligned}

Beitrag eines Eingangs bei High: -U_\mathrm{H} \cdot R_\mathrm{F} : R_n (2 Punkte für die Tabelle):

Für 1101 sind Bit 3, Bit 2 und Bit 0 High (1 Punkt):

U_\mathrm{A} = -(2\ \mathrm{V} + 1\ \mathrm{V} + 0{,}25\ \mathrm{V}) = \underline{\underline{-3{,}25\ \mathrm{V}}}

Die kleinste Stufe entspricht dem LSB (1 Punkt): \Delta U = \underline{\underline{0{,}250\ \mathrm{V}}}.

Geg.: Pt1000: R_0 = 1000\ \Omega, \alpha = 3{,}85 \cdot 10^{-3}\ \mathrm{K}^{-1}; U_\mathrm{B} = 5\ \mathrm{V}; R_\mathrm{a} = R_\mathrm{c} = 4{,}7\ \mathrm{k\Omega}, R_\mathrm{d} = 1\ \mathrm{k\Omega}; R_1 = R_3 = 10\ \mathrm{k\Omega}, R_2 = R_4; U_\mathrm{A} \le 2{,}5\ \mathrm{V} bei 100\ \mathrm{°C}

Ges.: R_\vartheta bei 100\ \mathrm{°C}; U_2 - U_1 bei 0\ \mathrm{°C} und 100\ \mathrm{°C}

\begin{aligned} &\text{(I)} && R_\vartheta = R_0 \cdot (1 + \alpha \cdot \Delta\vartheta) \\ &\text{(II)} && U_\mathrm{Zweig} = U_\mathrm{B} \cdot \frac{R_\mathrm{unten}}{R_\mathrm{oben} + R_\mathrm{unten}} \end{aligned}

Widerstand (1 Punkt):

R_\vartheta = 1000\ \Omega \cdot (1 + 3{,}85 \cdot 10^{-3}\ \mathrm{K}^{-1} \cdot 100\ \mathrm{K}) = \underline{\underline{1385\ \Omega}}

Vergleichszweig (1 Punkt): U_1 = 5\ \mathrm{V} \cdot \dfrac{1\ \mathrm{k\Omega}}{5{,}7\ \mathrm{k\Omega}} \approx 0{,}877\ \mathrm{V}

Bei 0\ \mathrm{°C} ist R_\vartheta = 1000\ \Omega = R_\mathrm{d}, also U_2 = U_1 und (1 Punkt) U_2 - U_1 = \underline{\underline{0\ \mathrm{V}}} (die Brücke ist abgeglichen).

Bei 100\ \mathrm{°C} (1 Punkt): U_2 = 5\ \mathrm{V} \cdot \dfrac{1385\ \Omega}{6085\ \Omega} \approx 1{,}14\ \mathrm{V}, also

U_2 - U_1 = 1{,}14\ \mathrm{V} - 0{,}877\ \mathrm{V} \approx \underline{\underline{261\ \mathrm{mV}}}

Mit gerundeten Zwischenergebnissen ergibt sich: 1{,}14\ \mathrm{V} - 0{,}877\ \mathrm{V} = 263\ \mathrm{mV}
Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: U_2 - U_1 = 1{,}1380\ \mathrm{V} - 0{,}8772\ \mathrm{V} \approx 261\ \mathrm{mV}

Ges.: R_2 = R_4 (E24) für U_\mathrm{A} \le 2{,}5\ \mathrm{V}

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U_\mathrm{A} & = & \dfrac{R_2}{R_1} \cdot (U_2 - U_1) & \color{gray}{\cdot R_1 : (U_2 - U_1)} \\ R_2 & = & \dfrac{U_\mathrm{A} \cdot R_1}{U_2 - U_1} = \dfrac{2{,}5\ \mathrm{V} \cdot 10\ \mathrm{k\Omega}}{0{,}261\ \mathrm{V}} \approx \underline{\underline{95{,}8\ \mathrm{k\Omega}}} & \end{array}

Formel und Umstellung 1 Punkt, Ergebnis 1 Punkt. Damit 2{,}5\ \mathrm{V} nicht überschritten werden, den nächstkleineren E24-Wert wählen (1 Punkt): \underline{\underline{R_2 = R_4 = 91\ \mathrm{k\Omega}}}. (100\ \mathrm{k\Omega} ergäbe 2{,}61\ \mathrm{V}.)

Ges.: U_\mathrm{A} bei 100\ \mathrm{°C}; Teilspannung U_\mathrm{P}

Ausgangsspannung (1,5 Punkte):

U_\mathrm{A} = \frac{91\ \mathrm{k\Omega}}{10\ \mathrm{k\Omega}} \cdot 0{,}261\ \mathrm{V} \approx \underline{\underline{2{,}37\ \mathrm{V}}}

Teilspannung am +-Eingang aus dem Spannungsteiler R_3/R_4 (1,5 Punkte):

U_\mathrm{P} = U_2 \cdot \frac{R_4}{R_3 + R_4} = 1{,}14\ \mathrm{V} \cdot \frac{91\ \mathrm{k\Omega}}{101\ \mathrm{k\Omega}} \approx \underline{\underline{1{,}03\ \mathrm{V}}}

Dieselbe Spannung liegt wegen des virtuellen Kurzschlusses am −-Eingang.

Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: U_\mathrm{A} \approx 2{,}37\ \mathrm{V}, U_\mathrm{P} = 1{,}1380\ \mathrm{V} \cdot \tfrac{91}{101} \approx 1{,}03\ \mathrm{V}

Ges.: Ursache der Verfälschung; zwei Abhilfen

Die Brückenzweige sind Spannungsteiler mit eigenem Innenwiderstand (der Vergleichszweig z. B. 4{,}7\ \mathrm{k\Omega} \parallel 1\ \mathrm{k\Omega} \approx 825\ \Omega). Die Eingangswiderstände des Differenzverstärkers (R_1 am einen, R_3 + R_4 am anderen Eingang) belasten die Zweige, sie sind ungleich, und über R_1 fließt zusätzlich ein Strom zur Spannung U_\mathrm{N}. Dadurch ändern sich die Zweigspannungen unterschiedlich stark, und die Brückenspannung wird verfälscht (2 Punkte).

Abhilfen (je 0,5 Punkte), z. B.:

• zwei Impedanzwandler zwischen Brücke und Differenzverstärker,

• ein Instrumentenverstärker mit hochohmigen Eingängen,

• deutlich größere Widerstände im Differenzverstärker (mit dem Nachteil größerer Störempfindlichkeit).

Geg.: G = 1 + 50\ \mathrm{k\Omega} : R_\mathrm{G}; Bandbreitentabelle

Ges.: R_\mathrm{G} (E24); Bandbreite

Erforderliche Verstärkung wie in b) (1 Punkt): G = 2{,}5\ \mathrm{V} : 0{,}261\ \mathrm{V} \approx 9{,}58

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} G & = & 1 + \dfrac{50\ \mathrm{k\Omega}}{R_\mathrm{G}} & \color{gray}{-1} \\ G - 1 & = & \dfrac{50\ \mathrm{k\Omega}}{R_\mathrm{G}} & \color{gray}{\cdot R_\mathrm{G} : (G - 1)} \\ R_\mathrm{G} & = & \dfrac{50\ \mathrm{k\Omega}}{G - 1} = \dfrac{50\ \mathrm{k\Omega}}{8{,}58} \approx \underline{\underline{5{,}83\ \mathrm{k\Omega}}} & \end{array}

(1 Punkt) Ein kleinerer R_\mathrm{G} vergrößert die Verstärkung, deshalb den nächstgrößeren E24-Wert wählen: \underline{\underline{R_\mathrm{G} = 6{,}2\ \mathrm{k\Omega}}}, damit G = 1 + 50 : 6{,}2 \approx 9{,}06 und U_\mathrm{A} \approx 2{,}36\ \mathrm{V} (1 Punkt). (5{,}6\ \mathrm{k\Omega} ergäbe G \approx 9{,}93 und 2{,}59\ \mathrm{V}.)

Mit gerundeten Zwischenergebnissen ergibt sich: R_\mathrm{G} \approx 5{,}83\ \mathrm{k\Omega}
Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: G = 9{,}584, R_\mathrm{G} \approx 5{,}82\ \mathrm{k\Omega}

Bandbreite (1 Punkt): G \approx 9 liegt knapp unter dem Tabellenwert G = 10, die Bandbreite beträgt also etwas mehr als 800\ \mathrm{kHz}, rund \underline{\underline{800\ \mathrm{kHz}}} – für eine Temperaturmessung mehr als genug.

Ges.: zwei Vorteile des Instrumentenverstärkers

Je Vorteil 1 Punkt, z. B.:

• Beide Eingänge sind sehr hochohmig und gleich; die Messbrücke wird nicht belastet.

• Die Verstärkung wird mit einem einzigen Widerstand R_\mathrm{G} eingestellt, ohne die Symmetrie zu stören.

• Hohe Gleichtaktunterdrückung: Die Spannung, die an beiden Eingängen gleich ist (hier etwa 0{,}9\ \mathrm{V}), und Störungen auf beiden Leitungen werden kaum verstärkt.

Geg.: \pm U_\mathrm{sat} = \pm 11\ \mathrm{V}; R_1 = 10\ \mathrm{k\Omega}, R_2 = 22\ \mathrm{k\Omega}, R_3 = 47\ \mathrm{k\Omega}; Z_2: 10\ \mathrm{nF}

Ges.: Bauteil Z_2; Stufen; Signalformen an X1 und X2

• Z_2 ist ein Kondensator (C = 10\ \mathrm{nF}, z. B. Folienkondensator); nur so entsteht aus dem Rechteck eine Rampe (1 Punkt).

• N1 ist ein nichtinvertierender Schmitt-Trigger (Mitkopplung über R_2 an +), N2 ein Integrierer (1 Punkt).

• X1: Rechteck \pm 11\ \mathrm{V}; X2: Dreieck (1 Punkt).

Ges.: Ladestrom I; Anstiegsgeschwindigkeit an X2

\begin{aligned} &\text{(I)} && I = \frac{U_\mathrm{sat}}{R_3} \\ &\text{(II)} && \frac{\Delta U}{\Delta t} = \frac{I}{C} \end{aligned}

Ladestrom (1,5 Punkte):

I = \frac{11\ \mathrm{V}}{47\ \mathrm{k\Omega}} \approx \underline{\underline{234\ \mathrm{\mu A}}}

Anstiegsgeschwindigkeit (1,5 Punkte):

\frac{\Delta U}{\Delta t} = \frac{234\ \mathrm{\mu A}}{10\ \mathrm{nF}} = 23{,}4 \cdot 10^{3}\ \mathrm{V/s} = \underline{\underline{23{,}4\ \mathrm{V/ms}}}

Ges.: Spitzenwerte an X2; Anstiegszeit t_\mathrm{r}; Frequenz f

\begin{aligned} &\text{(I)} && \hat{u}_\mathrm{X2} = U_\mathrm{sat} \cdot \frac{R_1}{R_2} \\ &\text{(II)} && t_\mathrm{r} = \frac{2 \cdot \hat{u}_\mathrm{X2}}{\Delta U : \Delta t} \\ &\text{(III)} && f = \frac{1}{2 \cdot t_\mathrm{r}} \end{aligned}

Das Dreieck pendelt zwischen den Kippspannungen des Schmitt-Triggers (1 Punkt):

\hat{u}_\mathrm{X2} = 11\ \mathrm{V} \cdot \frac{10\ \mathrm{k\Omega}}{22\ \mathrm{k\Omega}} = \underline{\underline{\pm 5{,}00\ \mathrm{V}}}

Anstiegszeit für 10\ \mathrm{V} Hub (1,5 Punkte):

t_\mathrm{r} = \frac{10\ \mathrm{V}}{23{,}4\ \mathrm{V/ms}} \approx \underline{\underline{0{,}427\ \mathrm{ms}}}

Frequenz (1,5 Punkte):

f = \frac{1}{2 \cdot 0{,}427\ \mathrm{ms}} \approx \underline{\underline{1{,}17\ \mathrm{kHz}}}

Kontrolle mit f = \frac{R_2}{4 R_1 R_3 C} = \frac{22\ \mathrm{k\Omega}}{4 \cdot 10\ \mathrm{k\Omega} \cdot 47\ \mathrm{k\Omega} \cdot 10\ \mathrm{nF}} \approx 1{,}17\ \mathrm{kHz}.

Mit gerundeten Zwischenergebnissen ergibt sich: f = 1 : 0{,}854\ \mathrm{ms} \approx 1{,}17\ \mathrm{kHz}
Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: t_\mathrm{r} = 0{,}4273\ \mathrm{ms}, f \approx 1{,}17\ \mathrm{kHz}

Ges.: umzuschaltendes Bauteil; neuer Wert

Umgeschaltet wird der Kondensator Z_2 des Integrierers (1 Punkt). Er bestimmt nur die Steigung der Rampe, nicht die Kippspannungen; die Amplitude an X2 bleibt gleich. (R_1 oder R_2 würden auch die Amplitude ändern.)

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} f & = & \dfrac{R_2}{4 \cdot R_1 \cdot R_3 \cdot C} & \color{gray}{\cdot C : f} \\ C & = & \dfrac{R_2}{4 \cdot R_1 \cdot R_3 \cdot f} = \dfrac{22\ \mathrm{k\Omega}}{4 \cdot 10\ \mathrm{k\Omega} \cdot 47\ \mathrm{k\Omega} \cdot 117\ \mathrm{Hz}} \approx \underline{\underline{100\ \mathrm{nF}}} & \end{array}

Formel 1 Punkt, Ergebnis 1 Punkt. Kurz: Ein zehnmal größerer Kondensator ergibt ein Zehntel der Frequenz.

Ges.: \lvert V \rvert bei 1\ \mathrm{kHz} und 10\ \mathrm{kHz}; Tief- oder Hochpass

\begin{aligned} &\text{(I)} && \lvert V \rvert = \frac{1}{2\pi f \cdot R_3 \cdot C} \end{aligned}

Je Frequenz 1 Punkt:

\lvert V \rvert_{1\,\mathrm{kHz}} = \frac{1}{2\pi \cdot 1\ \mathrm{kHz} \cdot 47\ \mathrm{k\Omega} \cdot 10\ \mathrm{nF}} \approx \underline{\underline{0{,}339}} \qquad \lvert V \rvert_{10\,\mathrm{kHz}} \approx \underline{\underline{0{,}0339}}

Bei zehnfacher Frequenz sinkt die Verstärkung auf ein Zehntel (−20 dB je Dekade): N2 verhält sich wie ein \underline{\underline{\text{Tiefpass}}} (1 Punkt).

Geg.: C_4 = 4{,}7\ \mathrm{nF}, R_4 = 10\ \mathrm{k\Omega}; Dreieck an X2 mit \pm 23{,}4\ \mathrm{V/ms}

Ges.: Signalform und Spitzenwert; Wirkung von C_4 = 10\ \mathrm{nF}

\begin{aligned} &\text{(I)} && u_\mathrm{A} = -R_4 \cdot C_4 \cdot \frac{\Delta u_\mathrm{E}}{\Delta t} \end{aligned}

Die Steigung des Dreiecks ist abwechselnd konstant positiv und konstant negativ, deshalb entsteht ein \underline{\underline{\text{Rechteck}}} (1 Punkt), gegenphasig zur Steigung (1 Punkt):

\lvert u_\mathrm{A} \rvert = 10\ \mathrm{k\Omega} \cdot 4{,}7\ \mathrm{nF} \cdot 23{,}4\ \mathrm{V/ms} = 47\ \mathrm{\mu s} \cdot 23{,}4\ \mathrm{V/ms} \approx \underline{\underline{1{,}10\ \mathrm{V}}}

Während des Anstiegs liegt -1{,}10\ \mathrm{V}, während des Abfalls +1{,}10\ \mathrm{V} an.

Mit C_4 = 10\ \mathrm{nF} ist R_4 \cdot C_4 etwa doppelt so groß (Faktor 2{,}13): Die Rechteckamplitude steigt auf rund \pm 2{,}34\ \mathrm{V}, die Signalform bleibt gleich (1 Punkt).

Geg.: N1 bis N4 laut Tabelle; 10\ \mathrm{mV/K}

Ges.: Grundschaltung und Aufgabe je Stufe; Begründung

Je Stufe 0,75 Punkte:

Begründung (1 Punkt): N2 und N3 kehren das Vorzeichen jeweils einmal um, der Summierer N4 ein zweites Mal. Dadurch ist y = 3{,}3 \cdot e + \frac{1}{R \cdot C} \int e \, \mathrm{d}t wieder positiv; ein weiterer Umkehrverstärker würde das Vorzeichen falsch machen.

Geg.: \Delta e = 0{,}2\ \mathrm{V}; K_\mathrm{P} = 3{,}3; R = 220\ \mathrm{k\Omega}, C = 4{,}7\ \mathrm{\mu F}

Ges.: y(0^+), y(3\ \mathrm{s}), Nachstellzeit T_\mathrm{N}

\begin{aligned} &\text{(I)} && y_\mathrm{P} = K_\mathrm{P} \cdot \Delta e \\ &\text{(II)} && y_\mathrm{I}(t) = \frac{\Delta e \cdot t}{R \cdot C} \\ &\text{(III)} && T_\mathrm{N} = K_\mathrm{P} \cdot R \cdot C \end{aligned}

Sprung (1 Punkt): y(0^+) = 3{,}3 \cdot 0{,}2\ \mathrm{V} = \underline{\underline{0{,}660\ \mathrm{V}}}

Zeitkonstante und Steigung des I-Anteils (1 Punkt): R \cdot C = 220\ \mathrm{k\Omega} \cdot 4{,}7\ \mathrm{\mu F} \approx 1{,}03\ \mathrm{s}, Steigung 0{,}2\ \mathrm{V} : 1{,}03\ \mathrm{s} \approx 0{,}193\ \mathrm{V/s}

Nach 3\ \mathrm{s} (1 Punkt):

y(3\ \mathrm{s}) = 0{,}660\ \mathrm{V} + 0{,}193\ \mathrm{V/s} \cdot 3\ \mathrm{s} \approx \underline{\underline{1{,}24\ \mathrm{V}}}

Nachstellzeit: Zeit, nach der der I-Anteil den Sprung des P-Anteils erreicht (1 Punkt):

T_\mathrm{N} = 3{,}3 \cdot 1{,}03\ \mathrm{s} \approx \underline{\underline{3{,}41\ \mathrm{s}}}

Mit gerundeten Zwischenergebnissen ergibt sich: y(3\ \mathrm{s}) = 0{,}660\ \mathrm{V} + 0{,}579\ \mathrm{V} \approx 1{,}24\ \mathrm{V}, T_\mathrm{N} \approx 3{,}40\ \mathrm{s}
Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: R \cdot C = 1{,}034\ \mathrm{s}, y(3\ \mathrm{s}) \approx 1{,}24\ \mathrm{V}, T_\mathrm{N} \approx 3{,}41\ \mathrm{s}

Ges.: C (E6) für T_\mathrm{N} \approx 5\ \mathrm{s}; erreichte T_\mathrm{N}

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} T_\mathrm{N} & = & K_\mathrm{P} \cdot R \cdot C & \color{gray}{: (K_\mathrm{P} \cdot R)} \\ C & = & \dfrac{T_\mathrm{N}}{K_\mathrm{P} \cdot R} = \dfrac{5\ \mathrm{s}}{3{,}3 \cdot 220\ \mathrm{k\Omega}} \approx \underline{\underline{6{,}89\ \mathrm{\mu F}}} & \end{array}

(1 Punkt) Nächster E6-Wert (1 Punkt): \underline{\underline{C = 6{,}8\ \mathrm{\mu F}}} (Folienkondensator, kein Elektrolytkondensator). Erreichte Nachstellzeit (1 Punkt):

T_\mathrm{N} = 3{,}3 \cdot 220\ \mathrm{k\Omega} \cdot 6{,}8\ \mathrm{\mu F} \approx \underline{\underline{4{,}94\ \mathrm{s}}}

Ges.: Skizze der Übergangsfunktion y(t)

Die Skizze zeigt (je Merkmal 0,5 Punkte):

• bis t = 0: y = 0,

• bei t = 0 ein senkrechter Sprung auf 0{,}66\ \mathrm{V} (P-Anteil),

• danach eine ansteigende Gerade mit etwa 0{,}19\ \mathrm{V/s} (I-Anteil): 1{,}24\ \mathrm{V} bei 3\ \mathrm{s}, rund 1{,}43\ \mathrm{V} bei 4\ \mathrm{s},

• die rückwärts verlängerte Gerade schneidet die Zeitachse bei -T_\mathrm{N} \approx -3{,}4\ \mathrm{s}; bei t = T_\mathrm{N} ist y = 2 \cdot 0{,}66\ \mathrm{V} = 1{,}32\ \mathrm{V}.

Die Rampe steigt weiter, bis die Regelabweichung null ist oder die Stufen in die Sättigung gehen.