Regelungstechnik: Wiederholung und Übungsaufgaben

Als Regelungstechnik-Grundlagen kann ich nach Durcharbeiten des Artikels…

• … die Größen und Glieder eines Regelkreises benennen und an einer Anlage zuordnen.

• … Regeln und Steuern unterscheiden und Störgrößen erkennen.

• … Regelstrecken an ihrer Sprungantwort erkennen (P, PT_1, PT_n, Totzeit, ohne Ausgleich).

• … die Arbeitsweise eines Zweipunktreglers mit Schaltdifferenz beschreiben.

• … P-, I-, PI-, PD- und PID-Regler an ihrer Sprungantwort unterscheiden.

Darüber hinaus kann ich als Regelungstechnik-Expertenwissen…

• … Streckenbeiwert, Zeitkonstante, Verzugs- und Ausgleichszeit bestimmen und die Regelbarkeit beurteilen.

• … die bleibende Regeldifferenz eines P-Regelkreises berechnen.

• … K_\mathrm{P}, T_\mathrm{N} und K_\mathrm{I} aus einer Sprungantwort oder einer OPV-Schaltung bestimmen.

• … Überschwingweite, Anregel- und Ausregelzeit ablesen und einen Regler nach Ziegler-Nichols einstellen.

• … Signale einer SPS-Temperaturregelung skalieren und Fehlerfälle (Drahtbruch, Wind-up) bewerten.

Kopiere den Text in ein KI-Sprachmodell Deiner Wahl und passe Kompetenzstufe, Anzahl, Bearbeitungszeit und Szenario bei Bedarf an. Wie die Aufgaben aufgebaut sind, beschreibt der Artikel Wie sind die Aufgaben aufgebaut?. Prüfe die Ergebnisse mit dem Lehrartikel: KI-Sprachmodelle machen Fehler.

Erstelle neue Übungsaufgaben zum Thema „Regelungstechnik“.

Bauplan: Halte Dich an Aufbau, Kompetenzstufen, Operatoren,
Anforderungsbereiche, Punkte und Zeitschätzung, die im Artikel
https://oer-informatik.de/aufgaben-aufbau beschrieben sind.

Fachliche Grundlage:
- https://oer-informatik.de/regelungstechnik
- Stilbeispiel: https://oer-informatik.de/regelungstechnik-wiederholung

Die Aufgaben sollen Inhalte zu diesen Schlagwörtern abdecken:
- Regelungstechnik
- Regelkreis
- Regelstrecke
- Sprungantwort
- Zweipunktregler
- PID-Regler
- Operationsverstärker
- Ziegler-Nichols
- SPS

Kompetenzstufe: Kernkompetenz (alternativ: Basiskompetenz, Profilkompetenz, Expertise)
Anzahl: 1 Aufgabe mit Teilaufgaben
Bearbeitungszeit in Minuten ca.: <5 bis 30 min>
Szenario: eines der Szenarien aus dem Bauplan

Vorgehen:
1. Lies zuerst die verlinkten Artikel. Kannst Du keine Webseiten
   abrufen, sag mir das, statt zu raten.
2. Steht bei einer Angabe noch ein Platzhalter in <…>, frag mich
   zuerst danach. Richte Punkte und Zahl der Teilaufgaben nach der
   Bearbeitungszeit (ca. 0,9 min je Punkt).
3. Gib je Aufgabe Titel mit Kompetenzstufe, Ausgangssituation und
   Teilaufgaben mit Operator und Punktzahl aus, dazu die geschätzte
   Bearbeitungszeit.
4. Gib die Beispiellösungen mit Punkteverteilung erst aus, wenn ich
   danach frage.

Richtige Antwort: 2

Geg.: Führungsgröße w, Regelgröße x

Ges.: Bildung der Regeldifferenz

Die Vergleichsstelle zieht den Istwert vom Sollwert ab: \underline{\underline{e = w - x}}, Antwort 2. Ist x zu klein, wird e positiv und der Regler erhöht die Stellgröße. Eine Summe (Antwort 1) würde die Rückführung zur Mitkopplung machen. y - x (Antwort 3) vergleicht Stell- und Regelgröße, die verschiedene physikalische Größen sind. Ein Produkt (Antwort 4) ist kein Vergleich. Die Störgröße (Antwort 5) wird nicht gemessen und nicht verglichen.

Richtige Antwort: 4

Geg.: Raumtemperaturregelung

Ges.: Störgröße

Ein offenes Fenster bei kalter Außenluft verändert die Raumtemperatur von außen, ohne dass der Regler es veranlasst: \underline{\underline{\text{Störgröße}}}, Antwort 4. Die eingestellte Temperatur ist die Führungsgröße (Antwort 1), die Raumtemperatur die Regelgröße (Antwort 2), die Ventilöffnung die Stellgröße (Antwort 3) und das Fühlersignal die Rückführgröße (Antwort 5).

Geg.: Füllstandsregelung nach Bild; Entnahme über Pumpe -G_1 und Ventil -Q_2 unabhängig vom Füllstand

a) Ges.: Regel-, Führungs-, Stell- und Störgröße

• Regelgröße: \underline{\underline{\text{Füllstand } h}}

• Führungsgröße: \underline{\underline{\text{Sollwert des Füllstands}}} (am Regler eingestellt)

• Stellgröße: \underline{\underline{\text{Öffnung von } -Q_1}} und damit der Zufluss

• Störgröße: \underline{\underline{\text{Entnahme durch den Verbraucher}}} (Pumpe -G_1, Ventil -Q_2); außerdem z. B. Schwankungen des Vordrucks in der Zulaufleitung

b) Ges.: Zuordnung der Glieder

c) Ges.: Wirkungskette bei höherer Entnahme

Mehr Entnahme → der Füllstand sinkt → -B_1 meldet einen kleineren Istwert → die Regeldifferenz e = w - x wird positiv → -K_1 steuert -M_1 an, -Q_1 öffnet weiter → der Zufluss steigt, bis Zu- und Abfluss wieder gleich sind; h nähert sich wieder dem Sollwert (mit I-Anteil im Regler genau): \underline{\underline{\text{Füllstand wird nachgeführt}}}.

d) Ges.: Begründung Regelung

Der Füllstand wird \underline{\underline{\text{fortlaufend gemessen und mit dem Sollwert verglichen}}}; das Ergebnis wirkt über das Ventil auf den Füllstand zurück (geschlossener Wirkungsablauf). Störungen wie eine veränderte Entnahme werden dadurch selbsttätig ausgeglichen. Eine Steuerung würde das Ventil nur nach einem festen Plan stellen, ohne den Füllstand zurückzumelden.

Richtige Antwort: 5

Geg.: fünf Regelstrecken

Ges.: Strecke ohne Ausgleich

Zieht die Pumpe eine feste Menge ab, steigt oder fällt der Füllstand, solange Zu- und Abfluss verschieden sind; er findet keinen neuen Beharrungswert von selbst: \underline{\underline{\text{I-Strecke ohne Ausgleich}}}, Antwort 5. Raumtemperatur (Antwort 1) und Wasserbad (Antwort 2) erreichen einen neuen Beharrungswert, weil die Wärmeabgabe mit der Temperatur steigt (PT_n bzw. PT_1). Die Motordrehzahl (Antwort 3) stellt sich mit der Last auf einen neuen Wert ein (Strecke mit Ausgleich). Der Spannungsteiler (Antwort 4) ist eine P-Strecke ohne Verzögerung.

Geg.: PT_1-Strecke; T = 6\ \text{min}; \Delta y = 50\ \%; x_0 = 20\ \text{°C}; x_\infty = 70\ \text{°C}

a) Ges.: K_\mathrm{S}

K_\mathrm{S} = \frac{\Delta x}{\Delta y} = \frac{70\ \text{°C} - 20\ \text{°C}}{50\ \%} = \frac{50\ \text{K}}{50\ \%} = \underline{\underline{1{,}00\ \text{K}/\%}}

b) Ges.: x nach 6 min und nach 15 min

x(t) = x_0 + \Delta x_\infty \cdot \left(1 - e^{-t/T}\right)

x(6\ \text{min}) = 20\ \text{°C} + 50\ \text{K} \cdot \left(1 - e^{-1}\right) = 20\ \text{°C} + 50\ \text{K} \cdot 0{,}632 \approx \underline{\underline{51{,}6\ \text{°C}}}

x(15\ \text{min}) = 20\ \text{°C} + 50\ \text{K} \cdot \left(1 - e^{-2{,}5}\right) = 20\ \text{°C} + 50\ \text{K} \cdot 0{,}918 \approx \underline{\underline{65{,}9\ \text{°C}}}

Mit gerundeten Zwischenergebnissen ergibt sich: 51,6 °C und 65,9 °C (mit 0,632 und 0,918)
Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: 51{,}61\ \text{°C} und 65{,}90\ \text{°C}, gerundet ebenfalls 51,6 °C und 65,9 °C

Nach einer Zeitkonstante sind 63,2 % der Änderung erreicht.

c) Ges.: Zeit bis 99 %

t_{99\,\%} \approx 5 \cdot T = 5 \cdot 6\ \text{min} = \underline{\underline{30\ \text{min}}}

Nach der Faustregel 5T sind 99,3 % erreicht. Genau 99 % ergeben sich aus 1 - e^{-t/T} = 0{,}99 mit t = T \cdot \ln 100 \approx 27{,}6\ \text{min}; auch dieser Wert ist richtig.

Geg.: Sprungantwort im Bild; \Delta y = 40\ \%; Wendetangente eingezeichnet

a) Ges.: Art der Strecke

S-förmiger Anstieg mit Wendepunkt und neuem Beharrungswert: \underline{\underline{\text{PT}_n\text{-Strecke mit Ausgleich}}} (höherer Ordnung).

b) Ges.: K_\mathrm{S}

K_\mathrm{S} = \frac{\Delta x}{\Delta y} = \frac{80\ \text{°C} - 20\ \text{°C}}{40\ \%} = \frac{60\ \text{K}}{40\ \%} = \underline{\underline{1{,}50\ \text{K}/\%}}

c) Ges.: T_\mathrm{u}, T_\mathrm{g}

Die Wendetangente schneidet die Anfangslinie (20 °C) bei etwa 2,0 min und die Endlinie (80 °C) bei etwa 11,2 min:

T_\mathrm{u} \approx \underline{\underline{2{,}0\ \text{min}}} \qquad T_\mathrm{g} \approx 11{,}2\ \text{min} - 2{,}0\ \text{min} = \underline{\underline{9{,}2\ \text{min}}}

Ablesewerte zwischen 1,8 und 2,2 min bzw. 8,8 und 9,6 min sind richtig (exakt: 2,01 min und 9,24 min).

d) Ges.: Regelbarkeit

\frac{T_\mathrm{u}}{T_\mathrm{g}} = \frac{2{,}0\ \text{min}}{9{,}2\ \text{min}} \approx \underline{\underline{0{,}217}}

Mit gerundeten Zwischenergebnissen ergibt sich: 2{,}0 : 9{,}2 \approx 0{,}217
Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: 2{,}014 : 9{,}236 \approx 0{,}218

Der Wert liegt zwischen 0,1 und 0,3: Die Strecke ist \underline{\underline{\text{noch regelbar}}} (mit T_\mathrm{g}/T_\mathrm{u} \approx 4{,}6 gleichbedeutend). Geeignet ist ein PI- oder PID-Regler.

Geg.: R_1 = 1{,}00\ \text{k}\Omega; R_2 = 1{,}00\ \text{M}\Omega; U_\mathrm{a} = \pm 13{,}0\ \text{V}; Sensor 10\ \text{mV/K}

a) Ges.: Ursache der zwei Schaltgrenzen

R_2 koppelt einen Teil der Ausgangsspannung auf den nichtinvertierenden Eingang zurück (Mitkopplung). Die Vergleichsspannung dort hängt deshalb davon ab, ob der Ausgang gerade bei +13{,}0\ \text{V} oder -13{,}0\ \text{V} steht: Bei eingeschalteter Heizung liegt sie etwas höher (obere Schaltgrenze), bei ausgeschalteter etwas tiefer (untere Schaltgrenze). Ohne R_2 gäbe es nur eine Schaltschwelle; schon kleine Schwankungen des Sensorsignals um den Sollwert ließen den Ausgang ständig hin und her schalten.

b) Ges.: \Delta U, x_\mathrm{sd}

Am nichtinvertierenden Eingang überlagern sich Referenz- und Ausgangsspannung (Spannungsteiler R_1, R_2). Die beiden Schaltgrenzen unterscheiden sich nur durch den Anteil der Ausgangsspannung:

\Delta U = \left(U_\mathrm{a,max} - U_\mathrm{a,min}\right) \cdot \frac{R_1}{R_1 + R_2} = 26{,}0\ \text{V} \cdot \frac{1{,}00\ \text{k}\Omega}{1001\ \text{k}\Omega} \approx \underline{\underline{26{,}0\ \text{mV}}}

x_\mathrm{sd} = \frac{\Delta U}{10\ \text{mV/K}} = \frac{26{,}0\ \text{mV}}{10\ \text{mV/K}} \approx \underline{\underline{2{,}60\ \text{K}}}

c) Ges.: Bewertung von R_2 = 1{,}50\ \text{M}\Omega

\Delta U = 26{,}0\ \text{V} \cdot \frac{1{,}00\ \text{k}\Omega}{1501\ \text{k}\Omega} \approx 17{,}3\ \text{mV} \quad\Rightarrow\quad x_\mathrm{sd} \approx \underline{\underline{1{,}73\ \text{K}}}

Der Vorschlag ist falsch: Ein größeres R_2 verkleinert die Mitkopplung und damit die Schaltdifferenz, die Heizung schaltet noch häufiger. Für seltenere Schaltspiele muss R_2 kleiner werden (z. B. 680\ \text{k}\Omega: x_\mathrm{sd} \approx 3{,}82\ \text{K}) oder R_1 größer.

Richtige Antwort: 1

Geg.: kleinere Schaltdifferenz

Ges.: Folge

Die Schaltgrenzen liegen enger zusammen: Die Regelgröße \underline{\underline{\text{schwankt weniger, der Regler schaltet häufiger}}}, Antwort 1. Seltener schaltet er nur bei größerer Schaltdifferenz (Antwort 2). Eine bleibende Regeldifferenz (Antwort 3) ist ein Merkmal des P-Reglers; der Mittelwert der Temperatur bleibt beim Zweipunktregler etwa am Sollwert. Die mittlere Heizleistung (Antwort 4) wird von den Wärmeverlusten bei Solltemperatur bestimmt, nicht von der Schaltdifferenz. Der Regler bleibt unstetig (Antwort 5), er kennt weiterhin nur „ein“ und „aus“.

Geg.: P = 800\ \text{W}; w = 60\ \text{°C}; Diagramm

a) Ges.: \vartheta_\mathrm{ein}, \vartheta_\mathrm{aus}, x_\mathrm{sd}

Die Heizung schaltet bei \underline{\underline{\vartheta_\mathrm{ein} = 59\ \text{°C}}} ein und bei \underline{\underline{\vartheta_\mathrm{aus} = 61\ \text{°C}}} aus.

x_\mathrm{sd} = 61\ \text{°C} - 59\ \text{°C} = \underline{\underline{2\ \text{K}}}

b) Ges.: t_\mathrm{ein}, T_\mathrm{P}, Schalthäufigkeit

Abgelesen: \underline{\underline{t_\mathrm{ein} = 3\ \text{min}}}, t_\mathrm{aus} = 5\ \text{min}, also \underline{\underline{T_\mathrm{P} = 8\ \text{min}}}.

f = \frac{1}{T_\mathrm{P}} = \frac{1}{8\ \text{min}} = \frac{60\ \text{min/h}}{8\ \text{min}} = \underline{\underline{7{,}50\ \text{Schaltspiele/h}}}

c) Ges.: P_\mathrm{m}

P_\mathrm{m} = P \cdot \frac{t_\mathrm{ein}}{T_\mathrm{P}} = 800\ \text{W} \cdot \frac{3\ \text{min}}{8\ \text{min}} = \underline{\underline{300\ \text{W}}}

d) Ges.: Auswirkung von 1 K Schaltdifferenz

Die Temperatur schwankt nur noch um etwa \underline{\underline{\pm 0{,}5\ \text{K}}} (59,5 … 60,5 °C). Weil die Temperatur hier nahezu linear steigt und fällt, halbieren sich Ein- und Ausschaltdauer: Die Periodendauer sinkt auf etwa 4 min, die Schalthäufigkeit \underline{\underline{\text{verdoppelt sich auf etwa 15 je Stunde}}}. Folge: Ein Relais oder Schütz verschleißt schneller; geeigneter ist dann ein Halbleiterrelais (verschleißfrei).

e) Ges.: Grund für das Überschreiten

Heizkörper und Fühler haben eine \underline{\underline{\text{Verzögerung (Wärmespeicher, Totzeit)}}}: Nach dem Ausschalten gibt der noch heiße Heizkörper weiter Wärme ab, und der Fühler meldet die Temperatur verspätet. Deshalb steigt die Temperatur über 61 °C (und fällt nach dem Einschalten unter 59 °C).

Richtige Antwort: 4

Geg.: Strecke mit Ausgleich, Sollwertänderung

Ges.: Regler mit bleibender Regeldifferenz

Ein P-Regler gibt nur dann eine Stellgröße aus, wenn eine Regeldifferenz besteht (y = K_\mathrm{P} \cdot e). Die Strecke braucht im Beharrungszustand eine Stellgröße ungleich null, also bleibt e \neq 0: \underline{\underline{\text{P-Regler}}}, Antwort 4. Alle anderen genannten Regler (Antworten 1, 2, 3 und 5) enthalten einen I-Anteil. Er verändert die Stellgröße, solange e \neq 0 ist, und kommt erst bei e = 0 zur Ruhe.

Richtige Antwort: 2

Geg.: Sprung, danach gleichmäßiger Anstieg

Ges.: Reglerart

Der Sprung stammt vom P-Anteil, der gleichmäßige Anstieg vom I-Anteil: \underline{\underline{\text{PI-Regler}}}, Antwort 2. Der P-Regler (Antwort 1) springt nur und bleibt dann konstant. Der I-Regler (Antwort 3) steigt ohne Sprung aus null an. Der PD-Regler (Antwort 4) zeigt eine abklingende Spitze und bleibt dann auf dem P-Wert. Der Zweipunktregler (Antwort 5) springt zwischen zwei festen Werten und steigt nicht an.

Geg.: K_\mathrm{S} = 0{,}8; K_\mathrm{P} = 4 (in b: 19); w = 5\ \text{V}; Beharrungszustand

a) Ges.: x, e, y

\begin{aligned} &\text{(I)} && y = K_\mathrm{P} \cdot e \\ &\text{(II)} && x = K_\mathrm{S} \cdot y \\ &\text{(III)} && e = w - x \end{aligned}

I in II: x = K_\mathrm{S} \cdot K_\mathrm{P} \cdot e. (I in II) in III und nach e umstellen:

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} e & = & w - K_\mathrm{S} \cdot K_\mathrm{P} \cdot e & \color{gray}{+K_\mathrm{S} \cdot K_\mathrm{P} \cdot e} \\ e + K_\mathrm{S} \cdot K_\mathrm{P} \cdot e & = & w & \color{gray}{\text{ausklammern}} \\ e \cdot (1 + K_\mathrm{S} \cdot K_\mathrm{P}) & = & w & \color{gray}{:(1 + K_\mathrm{S} \cdot K_\mathrm{P})} \\ e & = & \dfrac{w}{1 + K_\mathrm{S} \cdot K_\mathrm{P}} = \dfrac{5\ \text{V}}{1 + 0{,}8 \cdot 4} = \dfrac{5\ \text{V}}{4{,}2} \approx \underline{\underline{1{,}19\ \text{V}}} & \end{array}

Aus III: x = w - e = 5\ \text{V} - 1{,}19\ \text{V} \approx \underline{\underline{3{,}81\ \text{V}}}; aus I: y = 4 \cdot 1{,}19\ \text{V} \approx \underline{\underline{4{,}76\ \text{V}}}.

Mit gerundeten Zwischenergebnissen ergibt sich: x = 3{,}81\ \text{V}, y = 4{,}76\ \text{V}
Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: e = 1{,}190\ \text{V}, x = 3{,}810\ \text{V}, y = 4{,}762\ \text{V}, gerundet gleich

Probe mit II: x = 0{,}8 \cdot 4{,}76\ \text{V} \approx 3{,}81\ \text{V}.

b) Ges.: e bei K_\mathrm{P} = 19

e = \frac{w}{1 + K_\mathrm{S} \cdot K_\mathrm{P}} = \frac{5\ \text{V}}{1 + 0{,}8 \cdot 19} = \frac{5\ \text{V}}{16{,}2} \approx \underline{\underline{0{,}309\ \text{V}}}

Die bleibende Regeldifferenz sinkt von 23,8 % auf 6,2 % des Sollwerts, verschwindet aber nicht.

c) Ges.: Nachteil; Maßnahme

Ein großes K_\mathrm{P} macht den Regelkreis \underline{\underline{\text{schwingungsfreudig bis instabil}}} (bei realen Strecken mit Verzögerung) und lässt die Stellgröße stark ausschlagen. Damit die Regeldifferenz ganz verschwindet, wird ein \underline{\underline{\text{I-Anteil ergänzt (PI-Regler)}}}.

Geg.: Sprungantwort im Bild: e springt bei t = 1\ \text{s} auf 0,5 V

a) Ges.: Reglerart

Sprung und anschließende Rampe: \underline{\underline{\text{PI-Regler}}}.

b) Ges.: K_\mathrm{P}

Der Sprung von y beträgt 1 V:

K_\mathrm{P} = \frac{\Delta y_\mathrm{P}}{\Delta e} = \frac{1\ \text{V}}{0{,}5\ \text{V}} = \underline{\underline{2}}

c) Ges.: T_\mathrm{N}, K_\mathrm{I}

Die Rampe steigt von 1 V (t = 1\ \text{s}) auf 3 V (t = 5\ \text{s}), also um 0,5 V je Sekunde. Der I-Anteil erreicht die Höhe des P-Sprungs (1 V) nach 2 s (bei t = 3\ \text{s} ist y = 2\ \text{V}):

T_\mathrm{N} = \frac{\Delta y_\mathrm{P}}{\Delta y / \Delta t} = \frac{1\ \text{V}}{0{,}5\ \text{V/s}} = \underline{\underline{2\ \text{s}}}

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} T_\mathrm{N} & = & \dfrac{K_\mathrm{P}}{K_\mathrm{I}} & \color{gray}{\cdot K_\mathrm{I} : T_\mathrm{N}} \\ K_\mathrm{I} & = & \dfrac{K_\mathrm{P}}{T_\mathrm{N}} = \dfrac{2}{2\ \text{s}} = \underline{\underline{1\ \text{s}^{-1}}} & \end{array}

Probe: Anstieg = K_\mathrm{I} \cdot e = 1\ \text{s}^{-1} \cdot 0{,}5\ \text{V} = 0{,}5\ \text{V/s}.

d) Ges.: y(5\ \text{s}); Vergleich

Abgelesen \underline{\underline{y(5\ \text{s}) = 3\ \text{V}}} (P-Anteil 1 V + I-Anteil 0{,}5\ \text{V/s} \cdot 4\ \text{s} = 2\ \text{V}). Ein reiner P-Regler mit K_\mathrm{P} = 2 bliebe bei \underline{\underline{1\ \text{V}}} stehen. Der PI-Regler erhöht die Stellgröße so lange weiter, bis die Regeldifferenz null ist.

Richtige Antwort: 2

Geg.: Zweig A: 10\ \text{k}\Omega / 33\ \text{k}\Omega; Zweig B: 1\ \text{µF} / 47\ \text{k}\Omega; Zweig C: 100\ \text{k}\Omega / 4{,}7\ \text{µF}; Summierer mit Verstärkung 1; e = 0{,}5\ \text{V}

Ges.: Fehlerursache

Zuerst die Zweige zuordnen: Zweig A (Widerstand/Widerstand) ist das P-Glied, Zweig B (Kondensator im Eingang) der Differenzierer, Zweig C (Kondensator in der Rückkopplung) der Integrierer. Weil Zweig und Summierer jeweils invertieren, erscheinen alle Anteile mit positivem Vorzeichen am Ausgang.

Erwartete Anteile im intakten Regler:

U_\mathrm{P} = \frac{33\ \text{k}\Omega}{10\ \text{k}\Omega} \cdot 0{,}5\ \text{V} = 1{,}65\ \text{V}

\frac{\Delta U_\mathrm{I}}{\Delta t} = \frac{0{,}5\ \text{V}}{100\ \text{k}\Omega \cdot 4{,}7\ \text{µF}} = \frac{0{,}5\ \text{V}}{0{,}47\ \text{s}} \approx 1{,}06\ \text{V/s}

Der D-Anteil liefert beim Sprung eine kurze Spitze (begrenzt durch die Sättigung) und ist danach null.

P- und I-Anteil stimmen also mit der Messung überein, nur der D-Anteil fehlt. Mit offener Lötstelle am Eingangskondensator erhält der Differenzierer kein Signal: \underline{\underline{\text{Zweig B ist unterbrochen}}}, Antwort 2.

• Antwort 1: Ein kurzgeschlossener Rückkopplungskondensator setzt die Verstärkung von Zweig C auf null; der Anstieg würde fehlen, nicht die Spitze.

• Antwort 3: Ohne Rückkopplung arbeitet Zweig A ohne Gegenkopplung und geht schon bei 0,5 V in die Sättigung; der Ausgang würde nicht auf 1,65 V springen.

• Antwort 4: Auch dann fehlt der I-Anteil, also der gleichmäßige Anstieg.

• Antwort 5: Ein größerer Widerstand in der Rückkopplung des Differenzierers vergrößert die Vorhaltzeit und damit die Spitze; sie würde nicht fehlen.

Geg.: R_1 = R_3 = 10\ \text{k}\Omega; R_2 = 47\ \text{k}\Omega; C_1 = 10\ \text{µF}; U_\mathrm{sat} = \pm 13\ \text{V}; U_{11} \mathrel{\widehat{=}} -w, U_{12} \mathrel{\widehat{=}} x

a) Ges.: Begründung -w

Mit R_1 = R_3 arbeitet die Schaltung als invertierender Summierer: Sie verarbeitet die Summe U_{11} + U_{12} und kehrt das Vorzeichen um. Mit U_{11} = -w und U_{12} = x wirkt am Eingang -w + x = -(w - x) = -e; durch die Invertierung entsteht am Ausgang ein Signal, das mit +e wächst. Der \underline{\underline{\text{Soll-Ist-Vergleich } e = w - x \text{ geschieht in der Schaltung selbst}}}, und die Wirkrichtung stimmt: Ist x zu klein, steigt y.

b) Ges.: K_\mathrm{P}, T_\mathrm{N}

K_\mathrm{P} = \frac{R_2}{R_1} = \frac{47\ \text{k}\Omega}{10\ \text{k}\Omega} = \underline{\underline{4{,}70}}

T_\mathrm{N} = R_2 \cdot C_1 = 47\ \text{k}\Omega \cdot 10\ \text{µF} = \underline{\underline{0{,}470\ \text{s}}}

c) Ges.: U_2 bei t = 0 und t = 1\ \text{s}

\begin{aligned} &\text{(I)} && U_\mathrm{P} = K_\mathrm{P} \cdot e \\ &\text{(II)} && U_\mathrm{I} = \dfrac{K_\mathrm{P} \cdot e}{T_\mathrm{N}} \cdot t \\ &\text{(III)} && U_2 = U_\mathrm{P} + U_\mathrm{I} \end{aligned}

Unmittelbar nach dem Sprung ist C_1 entladen: II mit t = 0 ergibt U_\mathrm{I} = 0; I und II in III:

U_2(0) = U_\mathrm{P} = 4{,}70 \cdot 0{,}2\ \text{V} = \underline{\underline{0{,}940\ \text{V}}}

I und II in III für t = 1\ \text{s}:

U_2(1\ \text{s}) = 0{,}940\ \text{V} + \frac{0{,}940\ \text{V}}{0{,}470\ \text{s}} \cdot 1\ \text{s} = 0{,}940\ \text{V} + 2{,}00\ \text{V} = \underline{\underline{2{,}94\ \text{V}}}

Der Anstieg des I-Anteils beträgt e : (R_1 \cdot C_1) = 0{,}2\ \text{V} : 0{,}1\ \text{s} = 2\ \text{V/s}; das Vorzeichen ist wegen U_{11} \mathrel{\widehat{=}} -w positiv.

d) Ges.: t_\mathrm{sat}; Folge

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U_\mathrm{sat} & = & U_\mathrm{P} + \dfrac{U_\mathrm{P}}{T_\mathrm{N}} \cdot t & \color{gray}{-U_\mathrm{P}} \\ U_\mathrm{sat} - U_\mathrm{P} & = & \dfrac{U_\mathrm{P}}{T_\mathrm{N}} \cdot t & \color{gray}{\cdot T_\mathrm{N} : U_\mathrm{P}} \\ t & = & \dfrac{(U_\mathrm{sat} - U_\mathrm{P}) \cdot T_\mathrm{N}}{U_\mathrm{P}} = \dfrac{(13\ \text{V} - 0{,}940\ \text{V}) \cdot 0{,}470\ \text{s}}{0{,}940\ \text{V}} = \underline{\underline{6{,}03\ \text{s}}} & \end{array}

Bleibt die Regeldifferenz bestehen, geht der Ausgang nach etwa 6 s in die Sättigung; C_1 lädt sich weiter auf (Wind-up). Folge: Wird der Sollwert später erreicht, muss sich C_1 erst wieder umladen; der Regler \underline{\underline{\text{reagiert verzögert, die Regelgröße schwingt über}}}. Abhilfe: Begrenzung des I-Anteils (Anti-Wind-up), z. B. zwei antiseriell geschaltete Z-Dioden parallel zur Rückführung.

Geg.: SPS mit 8 DI, 4 DO (Relais), 2 DO (Transistor), 2 AI, kein AO; Regelungen A, B, C laut Tabelle

a) Ges.: Umsetzbarkeit und Belegung

• A: umsetzbar. Ein Analogeingang (4 … 20 mA) für den Istwert, ein Relaisausgang für das Schütz. Die zulässige Schwankung erlaubt einen Zweipunktregler; die Schaltspiele sind selten genug für Relais und Schütz.

• B: so nicht umsetzbar. Der Druck belegt zwar einen Analogeingang, der Frequenzumrichter braucht aber einen stetigen Sollwert 0 … 10 V. Dafür fehlt ein Analogausgang; mit Digitalausgängen ließe sich die Drehzahl nur in Stufen schalten.

• C: umsetzbar. Ein Analogeingang (0 … 10 V) für den Istwert, ein Transistorausgang mit Pulsweitenmodulation für das Halbleiterrelais. Ein Relaisausgang wäre ungeeignet: Bei einer Periode von wenigen Sekunden schaltet er viele tausend Mal am Tag und verschleißt schnell.

b) Ges.: notwendige Erweiterung

Gleichzeitig werden drei Istwerte gebraucht, die SPS hat aber nur zwei Analogeingänge. Für B fehlt außerdem ein Analogausgang. Mindestens nötig ist also eine Erweiterung um \underline{\underline{\text{einen Analogeingang und einen Analogausgang}}} (z. B. eine kombinierte Analogbaugruppe).

c) Ges.: t_\mathrm{ein}, P_\mathrm{m}

t_\mathrm{ein} = 0{,}35 \cdot T_\mathrm{P} = 0{,}35 \cdot 2{,}0\ \text{s} = \underline{\underline{0{,}700\ \text{s}}}

P_\mathrm{m} = P \cdot \frac{t_\mathrm{ein}}{T_\mathrm{P}} = 400\ \text{W} \cdot 0{,}35 = \underline{\underline{140\ \text{W}}}

Richtige Antwort: 1

Geg.: PI-Regelkreis schwingt mit wachsender Amplitude

Ges.: Maßnahme

Der Kreis ist instabil, weil der Regler zu stark eingreift. Abhilfe: \underline{\underline{K_\mathrm{P} \text{ verkleinern und } T_\mathrm{N} \text{ vergrößern}}} (schwächerer P- und langsamerer I-Anteil), Antwort 1. Ein größeres K_\mathrm{P} (Antwort 2) und ein kleineres T_\mathrm{N} (Antwort 3) verstärken das Schwingen. Der Sollwert (Antwort 4) ändert nichts an der Stabilität. Ein kleinerer Messbereich (Antwort 5) erhöht die Signaländerung je Kelvin und wirkt wie eine größere Verstärkung.

Geg.: Führungssprung 20 °C → 70 °C (\Delta w = 50\ \text{K}); Toleranzband \pm 1\ \text{K}; K_\mathrm{P,krit} = 8; T_\mathrm{krit} = 6\ \text{min}

a) Ges.: x_\mathrm{m} absolut und in Prozent

Das Maximum liegt bei 78 °C (nach 4 min):

x_\mathrm{m} = 78\ \text{°C} - 70\ \text{°C} = \underline{\underline{8\ \text{K}}} \qquad \frac{x_\mathrm{m}}{\Delta w} = \frac{8\ \text{K}}{50\ \text{K}} \cdot 100\ \% = \underline{\underline{16{,}0\ \%}}

b) Ges.: T_\mathrm{an}, T_\mathrm{aus}

• Anregelzeit: x erreicht 69 °C (untere Grenze des Toleranzbands) erstmals nach \underline{\underline{T_\mathrm{an} \approx 2{,}6\ \text{min}}}.

• Ausregelzeit: Nach dem Überschwingen sinkt x bei etwa 8 min kurz unter 69 °C (68,7 °C) und bleibt ab etwa \underline{\underline{T_\mathrm{aus} \approx 8{,}8\ \text{min}}} im Toleranzband.

Ablesewerte von 2,5 … 2,8 min bzw. 8,5 … 9 min sind richtig.

c) Ges.: bleibende Regeldifferenz

x läuft auf genau 70 °C ein: \underline{\underline{e_\mathrm{bleibend} = 0}}, weil der I-Anteil des PI-Reglers jede verbleibende Regeldifferenz ausgleicht.

d) Ges.: K_\mathrm{P}, T_\mathrm{N} nach Ziegler-Nichols

K_\mathrm{P} = 0{,}45 \cdot K_\mathrm{P,krit} = 0{,}45 \cdot 8 = \underline{\underline{3{,}60}}

T_\mathrm{N} = 0{,}85 \cdot T_\mathrm{krit} = 0{,}85 \cdot 6\ \text{min} = \underline{\underline{5{,}10\ \text{min}}}

a) Ges.: Zuordnung; zwei Störgrößen

Störgrößen: \underline{\underline{\text{Öffnen der Tür}}}, \underline{\underline{\text{kaltes oder nasses Ladegut}}}; außerdem Umgebungstemperatur und Schwankungen der Netzspannung.

b) Ges.: I und U_\mathrm{AI0} bei 120 °C

\begin{aligned} &\text{(I)} && I = 4\ \text{mA} + 16\ \text{mA} \cdot \dfrac{\vartheta}{200\ \text{°C}} \\ &\text{(II)} && U = I \cdot 250\ \Omega \end{aligned}

I = 4\ \text{mA} + 16\ \text{mA} \cdot \frac{120\ \text{°C}}{200\ \text{°C}} = \underline{\underline{13{,}6\ \text{mA}}}

I in II:

U_\mathrm{AI0} = 13{,}6\ \text{mA} \cdot 250\ \Omega = \underline{\underline{3{,}40\ \text{V}}}

c) Ges.: x, e bei 12,4 mA

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} I & = & 4\ \text{mA} + 16\ \text{mA} \cdot \dfrac{x}{200\ \text{°C}} & \color{gray}{-4\ \text{mA}} \\ I - 4\ \text{mA} & = & 16\ \text{mA} \cdot \dfrac{x}{200\ \text{°C}} & \color{gray}{\cdot 200\ \text{°C} : 16\ \text{mA}} \\ x & = & \dfrac{(I - 4\ \text{mA}) \cdot 200\ \text{°C}}{16\ \text{mA}} = \dfrac{8{,}4\ \text{mA} \cdot 200\ \text{°C}}{16\ \text{mA}} = \underline{\underline{105\ \text{°C}}} & \end{array}

e = w - x = 120\ \text{°C} - 105\ \text{°C} = \underline{\underline{15\ \text{K}}}

d) Ges.: P bei 6,5 V

P = \frac{6{,}5\ \text{V}}{10\ \text{V}} \cdot 6\ \text{kW} = \underline{\underline{3{,}90\ \text{kW}}}

e) Ges.: Begründung STB über -Q_1

Der STB ist eine Sicherheitseinrichtung und muss \underline{\underline{\text{unabhängig vom Regler}}} wirken. Fällt der Fühler, der Messumformer, die SPS oder der Leistungssteller aus (z. B. durchlegierter Thyristor, Programmfehler), könnte die Heizung dauernd laufen. Über -Q_1 trennt -B_2 die Heizung direkt vom Netz, mit eigenem Fühler und Wiedereinschaltsperre, auch wenn die Regelung versagt.

Geg.: P-Regler K_\mathrm{P} = 5\ \%/\text{K}; Beharrung bei x = 114\ \text{°C}

a) Ges.: e, y, U_\mathrm{AO0}, P

e = w - x = 120\ \text{°C} - 114\ \text{°C} = \underline{\underline{6\ \text{K}}}

y = K_\mathrm{P} \cdot e = 5\ \tfrac{\%}{\text{K}} \cdot 6\ \text{K} = \underline{\underline{30\ \%}}

U_\mathrm{AO0} = 0{,}30 \cdot 10\ \text{V} = \underline{\underline{3{,}00\ \text{V}}} \qquad P = 0{,}30 \cdot 6\ \text{kW} = \underline{\underline{1{,}80\ \text{kW}}}

b) Ges.: Erklärung; Abhilfe

Der Ofen braucht bei dieser Temperatur etwa 1,8 kW, um seine Wärmeverluste zu decken. Ein P-Regler gibt diese Leistung nur aus, wenn eine Regeldifferenz besteht; ohne Regeldifferenz wäre y = 0. Es stellt sich ein Gleichgewicht mit \underline{\underline{\text{bleibender Regeldifferenz}}} ein. Abhilfe: \underline{\underline{\text{I-Anteil zuschalten (PI- oder PID-Regler)}}}.

c) Ges.: K_\mathrm{P} für e = 2\ \text{K}; Nachteil

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} y & = & K_\mathrm{P} \cdot e & \color{gray}{:e} \\ K_\mathrm{P} & = & \dfrac{y}{e} = \dfrac{30\ \%}{2\ \text{K}} = \underline{\underline{15\ \%/\text{K}}} & \end{array}

Nachteil: Der dreifache Proportionalbeiwert macht den Regelkreis an der verzögerten Ofenstrecke \underline{\underline{\text{schwingungsfreudig}}} (Überschwingen, im ungünstigen Fall Instabilität); die Regeldifferenz verschwindet trotzdem nicht.

d) Ges.: Reaktion bei Drahtbruch; zwei Maßnahmen

Bei unterbrochener Leitung fließen 0 mA. Ohne Fehlerauswertung rechnet die SPS den Strom linear um: x = (0 - 4\ \text{mA}) \cdot 200\ \text{°C} : 16\ \text{mA} = -50\ \text{°C}. Die Regeldifferenz wird mit 170 K riesig, der Regler \underline{\underline{\text{steuert die Heizung voll auf (100 \%)}}} und der Ofen überhitzt, bis der STB abschaltet. Maßnahmen:

• Drahtbruch erkennen: Strom unter 3,6 mA (und über 21 mA, z. B. Kurzschluss) nach NAMUR NE 43 als Fehler auswerten.

• Bei Fehler die \underline{\underline{\text{Stellgröße auf 0 \% setzen}}} (Heizung sperren) und eine Störmeldung ausgeben; unabhängig davon schützt der STB.

e) Ges.: Begründung Sperre bei offener Tür

Bei offener Tür strömt viel Wärme ab; die Temperatur fällt stark, der Regler würde voll heizen, ohne den Sollwert erreichen zu können (Energieverschwendung, heiße Luft am Bediener). Läuft der I-Anteil dabei weiter, „lädt“ er sich auf den Höchstwert auf (Wind-up) und \underline{\underline{\text{die Temperatur schwingt nach dem Schließen weit über}}}. Deshalb Heizung sperren und I-Anteil anhalten, bis -B_3 meldet, dass die Tür geschlossen ist.