Übungsaufgaben zu veränderlichen Widerständen: NTC, PTC, LDR und Varistor

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PTC, LDR und Varistor“.

Bauplan: Halte Dich an Aufbau, Kompetenzstufen, Operatoren,
Anforderungsbereiche, Punkte und Zeitschätzung, die im Artikel
https://oer-informatik.de/aufgaben-aufbau beschrieben sind.

Fachliche Grundlage:
- https://oer-informatik.de/veraenderliche-widerstaende
- https://oer-informatik.de/spannungsteiler
- https://oer-informatik.de/leiterwiderstand-temperatur
- Stilbeispiel: https://oer-informatik.de/veraenderliche-widerstaende-uebungsaufgaben

Die Aufgaben sollen Inhalte zu diesen Schlagwörtern abdecken:
- Heißleiter
- NTC
- Kaltleiter
- PTC
- Fotowiderstand
- LDR
- Varistor
- Sensor-Spannungsteiler
- Konstantstromquelle
- Suppressordiode

Kompetenzstufe: Basiskompetenz (alternativ: Kernkompetenz, Profilkompetenz, Expertise)
Anzahl: 1 Aufgabe mit Teilaufgaben
Bearbeitungszeit in Minuten ca.: <5 bis 30 min>
Szenario: eines der Szenarien aus dem Bauplan

Vorgehen:
1. Lies zuerst die verlinkten Artikel. Kannst Du keine Webseiten
   abrufen, sag mir das, statt zu raten.
2. Steht bei einer Angabe noch ein Platzhalter in <…>, frag mich
   zuerst danach. Richte Punkte und Zahl der Teilaufgaben nach der
   Bearbeitungszeit (ca. 0,9 min je Punkt).
3. Gib je Aufgabe Titel mit Kompetenzstufe, Ausgangssituation und
   Teilaufgaben mit Operator und Punktzahl aus, dazu die geschätzte
   Bearbeitungszeit.
4. Gib die Beispiellösungen mit Punkteverteilung erst aus, wenn ich
   danach frage.

Ges.: Zuordnung der Kennlinien 1 bis 4, Größe auf der waagerechten Achse

Je richtiger Zeile 1 Punkt. Erkennungsmerkmale: Der Varistor hat als einziger eine symmetrische I(U)-Kennlinie mit steilem Anstieg in beiden Richtungen, der LDR eine fallende Gerade im doppelt logarithmischen Netz, der NTC eine stark gekrümmt fallende Kennlinie, der keramische PTC eine fast waagerechte Kennlinie mit steilem Anstieg ab der Bezugstemperatur.

Ges.: Erkennungsmerkmal NTC, Unterschied zum PTC

Beide Schaltzeichen bestehen aus dem Widerstandsrechteck mit einem schrägen Strich mit abgeknicktem Ende (nichtlineare, selbsttätige Änderung) und dem Formelzeichen \vartheta für die Temperatur (1 Punkt). Beim Heißleiter zeigen die beiden kleinen Pfeile neben \vartheta in entgegengesetzte Richtungen (Temperatur steigt, Widerstand sinkt), beim Kaltleiter in dieselbe Richtung (1 Punkt).

Geg.: Kennwerttabelle des Heißleiters

Ges.: R_{30}, R_{33}

Bei 30\ °\mathrm{C} direkt aus der Tabelle (0,5 Punkte): R_{30} = \underline{\underline{8{,}17\ \mathrm{k\Omega}}}

33\ °\mathrm{C} liegt zwischen 30\ °\mathrm{C} und 35\ °\mathrm{C}; linear interpolieren (1,5 Punkte):

R_{33} = R_{30} - \frac{33 - 30}{35 - 30} \cdot (R_{30} - R_{35}) = 8{,}17\ \mathrm{k\Omega} - \frac{3}{5} \cdot (8{,}17\ \mathrm{k\Omega} - 6{,}72\ \mathrm{k\Omega}) = \underline{\underline{7{,}30\ \mathrm{k\Omega}}}

Wegen der gekrümmten Kennlinie liegt der wahre Wert etwas darunter (ca. 7{,}26\ \mathrm{k\Omega}); bei 5-K-Schritten ist der Fehler vernachlässigbar.

Geg.: R_1 = 6{,}8\ \mathrm{k\Omega} (oben); U_\mathrm{B} = 3{,}3\ \mathrm{V}; R_{20} = 12{,}32\ \mathrm{k\Omega}; R_{35} = 6{,}72\ \mathrm{k\Omega}

Ges.: U_\vartheta bei 20\ °\mathrm{C} und 35\ °\mathrm{C}; Änderung bei Erwärmung

Spannungsteilerregel (1 Punkt):

U_\vartheta = U_\mathrm{B} \cdot \frac{R_\vartheta}{R_1 + R_\vartheta}

Bei 20\ °\mathrm{C} (1 Punkt):

U_{\vartheta,20} = 3{,}3\ \mathrm{V} \cdot \frac{12{,}32\ \mathrm{k\Omega}}{6{,}8\ \mathrm{k\Omega} + 12{,}32\ \mathrm{k\Omega}} \approx \underline{\underline{2{,}13\ \mathrm{V}}}

Bei 35\ °\mathrm{C} (1 Punkt):

U_{\vartheta,35} = 3{,}3\ \mathrm{V} \cdot \frac{6{,}72\ \mathrm{k\Omega}}{6{,}8\ \mathrm{k\Omega} + 6{,}72\ \mathrm{k\Omega}} \approx \underline{\underline{1{,}64\ \mathrm{V}}}

Bei Erwärmung sinkt der Widerstand des unten liegenden Heißleiters und damit sein Spannungsanteil: Die Spannung \underline{\underline{\text{sinkt}}} (1 Punkt).

Geg.: \delta = 1{,}5\ \mathrm{mW/K}; geforderte Genauigkeit \pm 1\ \mathrm{K}

Ges.: I, P_\vartheta bei 20\ °\mathrm{C}; Beurteilung

\begin{aligned} &\text{(I)} && I = \frac{U_\mathrm{B}}{R_1 + R_\vartheta} \\ &\text{(II)} && P_\vartheta = I^2 \cdot R_\vartheta \end{aligned}

1. Strom (1 Punkt):

I = \frac{3{,}3\ \mathrm{V}}{6{,}8\ \mathrm{k\Omega} + 12{,}32\ \mathrm{k\Omega}} \approx \underline{\underline{0{,}173\ \mathrm{mA}}}

2. Leistung (1 Punkt):

P_\vartheta = (0{,}173\ \mathrm{mA})^2 \cdot 12{,}32\ \mathrm{k\Omega} \approx \underline{\underline{0{,}369\ \mathrm{mW}}}

Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: P_\vartheta \approx 0{,}367\ \mathrm{mW}

Eigenerwärmung (1 Punkt):

\Delta\vartheta = \frac{P_\vartheta}{\delta} = \frac{0{,}369\ \mathrm{mW}}{1{,}5\ \mathrm{mW/K}} \approx \underline{\underline{0{,}246\ \mathrm{K}}}

Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: \Delta\vartheta \approx 0{,}245\ \mathrm{K}

Die Eigenerwärmung beträgt etwa ein Viertel der zulässigen Abweichung von \pm 1\ \mathrm{K}. Sie verfälscht die Messung nur wenig; sie lässt sich im Programm als fester Versatz abziehen oder mit einem größeren Festwiderstand verringern.

Geg.: Kennlinie LF-30; R_2 = 22\ \mathrm{k\Omega} (oben); U_\mathrm{B} = 5{,}0\ \mathrm{V}

Ges.: R_\mathrm{min}, R_\mathrm{typ}, R_\mathrm{max} bei 10\ \mathrm{lx} und 1000\ \mathrm{lx}

Senkrecht von der Beleuchtungsstärke zu den Bandgrenzen und zur typischen Kennlinie, dann waagerecht zur logarithmischen Widerstandsachse (je Beleuchtungsstärke 1,5 Punkte):

Abweichungen von etwa einer halben Teilung sind beim Ablesen auf logarithmischen Achsen in Ordnung.

Ges.: U_\mathrm{LDR} bei 10\ \mathrm{lx} für R_\mathrm{min} und R_\mathrm{max}

Spannungsteilerregel (1 Punkt):

U_\mathrm{LDR} = U_\mathrm{B} \cdot \frac{R_\mathrm{LDR}}{R_2 + R_\mathrm{LDR}}

Exemplar mit kleinstem Widerstand (1 Punkt):

U_\mathrm{LDR,min} = 5{,}0\ \mathrm{V} \cdot \frac{18\ \mathrm{k\Omega}}{22\ \mathrm{k\Omega} + 18\ \mathrm{k\Omega}} = \underline{\underline{2{,}25\ \mathrm{V}}}

Exemplar mit größtem Widerstand (1 Punkt):

U_\mathrm{LDR,max} = 5{,}0\ \mathrm{V} \cdot \frac{48\ \mathrm{k\Omega}}{22\ \mathrm{k\Omega} + 48\ \mathrm{k\Omega}} \approx \underline{\underline{3{,}43\ \mathrm{V}}}

Je nach Exemplar liegt die Spannung bei 10\ \mathrm{lx} also zwischen 2{,}25\ \mathrm{V} und 3{,}43\ \mathrm{V}; die Schwelle muss abgeglichen oder im Programm einstellbar sein.

Ges.: Richtung der Spannungsänderung bei abnehmender Helligkeit, Begründung

Die Teilerspannung \underline{\underline{\text{steigt}}} (1 Punkt). Bei abnehmender Helligkeit steigt der Widerstand des Fotowiderstands. Weil er unten im Teiler liegt, fällt an ihm ein größerer Anteil der Betriebsspannung ab (1 Punkt).

Geg.: R_\mathrm{max,25} = 48\ \mathrm{k\Omega}; \alpha = -0{,}3\ \%/\mathrm{K} = -0{,}003\ \mathrm{1/K}; \vartheta = -10\ °\mathrm{C}

Ges.: R_\mathrm{max} bei -10\ °\mathrm{C}, U_\mathrm{LDR}

\begin{aligned} &\text{(I)} && R_\vartheta = R_{25} \cdot (1 + \alpha \cdot \Delta\vartheta) \\ &\text{(II)} && U_\mathrm{LDR} = U_\mathrm{B} \cdot \frac{R_\vartheta}{R_2 + R_\vartheta} \end{aligned}

Temperaturänderung \Delta\vartheta = -10\ °\mathrm{C} - 25\ °\mathrm{C} = -35\ \mathrm{K}.

1. Widerstand (1,5 Punkte):

R_\vartheta = 48\ \mathrm{k\Omega} \cdot (1 + (-0{,}003\ \mathrm{1/K}) \cdot (-35\ \mathrm{K})) \approx \underline{\underline{53{,}0\ \mathrm{k\Omega}}}

2. Spannung (1,5 Punkte):

U_\mathrm{LDR} = 5{,}0\ \mathrm{V} \cdot \frac{53{,}0\ \mathrm{k\Omega}}{22\ \mathrm{k\Omega} + 53{,}0\ \mathrm{k\Omega}} \approx \underline{\underline{3{,}53\ \mathrm{V}}}

Bei Kälte steigt der Widerstand zusätzlich; bei diesem Exemplar wird das Display schon bei etwas mehr Licht abgedunkelt.

Ges.: Eignung des LDR für eine Lichtschranke, geeigneter Sensor

Ein Fotowiderstand ist \underline{\underline{\text{nicht geeignet}}}: Er reagiert träge (Zehntelsekunden bis Sekunden), das Ticket unterbricht den Lichtstrahl aber nur für Sekundenbruchteile; die kurze Abdunklung würde nicht sicher erkannt (1 Punkt). Geeignet ist ein schneller Sensor wie ein Fototransistor oder eine Fotodiode zusammen mit einer Infrarot-LED als Sender (1 Punkt).

Geg.: I_\mathrm{K} = 1{,}00\ \mathrm{mA}; bei 40\ °\mathrm{C}: R_\mathrm{min} = 2191\ \Omega, R_\mathrm{typ} = 2236\ \Omega, R_\mathrm{max} = 2281\ \Omega; \delta = 4\ \mathrm{mW/K}

Ges.: U_\mathrm{typ} bei 40\ °\mathrm{C} und Streubereich

Bei Konstantstrom ist die Spannung proportional zum Widerstand (1 Punkt):

U_\vartheta = I_\mathrm{K} \cdot R_\vartheta

Typisch (1 Punkt):

U_\mathrm{typ} = 1{,}00\ \mathrm{mA} \cdot 2236\ \Omega \approx \underline{\underline{2{,}24\ \mathrm{V}}}

Streubereich (1 Punkt):

U_\mathrm{min} = 1{,}00\ \mathrm{mA} \cdot 2191\ \Omega \approx \underline{\underline{2{,}19\ \mathrm{V}}} \qquad U_\mathrm{max} = 1{,}00\ \mathrm{mA} \cdot 2281\ \Omega \approx \underline{\underline{2{,}28\ \mathrm{V}}}

Geg.: U = 2{,}236\ \mathrm{V}; Tabellenwerte

Ges.: möglicher Bereich der tatsächlichen Temperatur

Gemessener Widerstand (1 Punkt):

R = \frac{U}{I_\mathrm{K}} = \frac{2{,}236\ \mathrm{V}}{1{,}00\ \mathrm{mA}} = 2236\ \Omega

Ein Sensor an der oberen Toleranzgrenze erreicht 2236\ \Omega schon bei tieferer Temperatur, zwischen 20\ °\mathrm{C} (1963\ \Omega) und 40\ °\mathrm{C} (2281\ \Omega) (1,5 Punkte):

\vartheta_\mathrm{min} = 20\ °\mathrm{C} + \frac{2236\ \Omega - 1963\ \Omega}{2281\ \Omega - 1963\ \Omega} \cdot 20\ \mathrm{K} \approx \underline{\underline{37{,}2\ °\mathrm{C}}}

Ein Sensor an der unteren Toleranzgrenze erreicht 2236\ \Omega erst zwischen 40\ °\mathrm{C} (2191\ \Omega) und 60\ °\mathrm{C} (2525\ \Omega) (1,5 Punkte):

\vartheta_\mathrm{max} = 40\ °\mathrm{C} + \frac{2236\ \Omega - 2191\ \Omega}{2525\ \Omega - 2191\ \Omega} \cdot 20\ \mathrm{K} \approx \underline{\underline{42{,}7\ °\mathrm{C}}}

Die tatsächliche Zelltemperatur liegt zwischen etwa 37{,}2\ °\mathrm{C} und 42{,}7\ °\mathrm{C}, die Messwerttoleranz beträgt also knapp \pm 3\ \mathrm{K}.

Ges.: P bei 60\ °\mathrm{C}, Eigenerwärmung, Beurteilung

\begin{aligned} &\text{(I)} && P = I_\mathrm{K}^2 \cdot R_\vartheta \\ &\text{(II)} && \Delta\vartheta = \frac{P}{\delta} \end{aligned}

1. Leistung (0,5 Punkte):

P = (1{,}00\ \mathrm{mA})^2 \cdot 2576\ \Omega \approx \underline{\underline{2{,}58\ \mathrm{mW}}}

2. Eigenerwärmung in ruhender Luft (0,5 Punkte):

\Delta\vartheta = \frac{2{,}58\ \mathrm{mW}}{4\ \mathrm{mW/K}} \approx \underline{\underline{0{,}645\ \mathrm{K}}}

Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: \Delta\vartheta \approx 0{,}644\ \mathrm{K}

Die Eigenerwärmung ist deutlich kleiner als die Messwerttoleranz von knapp \pm 3\ \mathrm{K} aus b) und für die Überwachung des Akkus unkritisch; am Zellblock mit gutem Wärmekontakt ist sie noch kleiner (1 Punkt).

Geg.: R_\mathrm{P} = 22{,}0\ \mathrm{k\Omega}; R_{0} = 70{,}6\ \mathrm{k\Omega}, R_{25} = 22{,}0\ \mathrm{k\Omega}, R_{50} = 8{,}21\ \mathrm{k\Omega}

Ges.: R_\mathrm{ges} bei 0, 25, 50\ °\mathrm{C}; Zuordnung; Wirkung von R_\mathrm{P}

Parallelschaltung (1 Punkt):

R_\mathrm{ges} = \frac{R_\vartheta \cdot R_\mathrm{P}}{R_\vartheta + R_\mathrm{P}}

Je Wert 0,5 Punkte:

R_\mathrm{ges,0} = \frac{70{,}6\ \mathrm{k\Omega} \cdot 22{,}0\ \mathrm{k\Omega}}{70{,}6\ \mathrm{k\Omega} + 22{,}0\ \mathrm{k\Omega}} \approx \underline{\underline{16{,}8\ \mathrm{k\Omega}}}

R_\mathrm{ges,25} = \frac{22{,}0\ \mathrm{k\Omega} \cdot 22{,}0\ \mathrm{k\Omega}}{22{,}0\ \mathrm{k\Omega} + 22{,}0\ \mathrm{k\Omega}} = \underline{\underline{11{,}0\ \mathrm{k\Omega}}}

R_\mathrm{ges,50} = \frac{8{,}21\ \mathrm{k\Omega} \cdot 22{,}0\ \mathrm{k\Omega}}{8{,}21\ \mathrm{k\Omega} + 22{,}0\ \mathrm{k\Omega}} \approx \underline{\underline{5{,}98\ \mathrm{k\Omega}}}

Zuordnung (1 Punkt): \underline{\underline{\text{Kennlinie 1}}} ist der Heißleiter allein (beginnt bei 70{,}6\ \mathrm{k\Omega}), \underline{\underline{\text{Kennlinie 2}}} der Fühler mit R_\mathrm{P} (beginnt bei 16{,}8\ \mathrm{k\Omega}).

Wirkung (1,5 Punkte): R_\mathrm{P} begrenzt den Gesamtwiderstand bei tiefen Temperaturen; die Kennlinie wird flacher und gleichmäßiger. Statt 48{,}6\ \mathrm{k\Omega} und 13{,}8\ \mathrm{k\Omega} ändert sich der Widerstand je 25\ \mathrm{K} nur noch um 5{,}8\ \mathrm{k\Omega} und 5{,}0\ \mathrm{k\Omega} – die Kennlinie ist annähernd linear, die Empfindlichkeit aber kleiner.

Geg.: U_\mathrm{B} = 3{,}3\ \mathrm{V}; U_{25} = 1{,}65\ \mathrm{V}; R_\mathrm{ges} aus d)

Ges.: Lage des Fühlers, R_2, U bei 0\ °\mathrm{C} und 50\ °\mathrm{C}

Lage (1 Punkt): Der Fühlerwiderstand sinkt bei Erwärmung. Damit die Ausgangsspannung steigt, muss der Fühler \underline{\underline{\text{oben}}} (an 3{,}3\ \mathrm{V}) liegen und R_2 unten; abgegriffen wird die Spannung an R_2.

Bemessung (1 Punkt): 1{,}65\ \mathrm{V} ist die halbe Betriebsspannung, also müssen beide Widerstände bei 25\ °\mathrm{C} gleich groß sein:

R_2 = R_\mathrm{ges,25} = \underline{\underline{11{,}0\ \mathrm{k\Omega}}}

Spannungsteilerregel (1 Punkt):

U = U_\mathrm{B} \cdot \frac{R_2}{R_\mathrm{ges} + R_2}

Bei 0\ °\mathrm{C} (1 Punkt):

U_0 = 3{,}3\ \mathrm{V} \cdot \frac{11{,}0\ \mathrm{k\Omega}}{16{,}8\ \mathrm{k\Omega} + 11{,}0\ \mathrm{k\Omega}} \approx \underline{\underline{1{,}31\ \mathrm{V}}}

Bei 50\ °\mathrm{C} (1 Punkt):

U_{50} = 3{,}3\ \mathrm{V} \cdot \frac{11{,}0\ \mathrm{k\Omega}}{5{,}98\ \mathrm{k\Omega} + 11{,}0\ \mathrm{k\Omega}} \approx \underline{\underline{2{,}14\ \mathrm{V}}}

Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: U_0 \approx 1{,}31\ \mathrm{V} und U_{50} \approx 2{,}14\ \mathrm{V} (gleich).

Ges.: Schutzbeschaltung für Ladeanschluss und CAN-Leitungen, Begründung

• Ladeanschluss: Eine Sicherung in Reihe und dahinter ein Varistor parallel zum Eingang zwischen +48\ \mathrm{V} und 0\ \mathrm{V} (1 Punkt). Der Varistor ist im Normalbetrieb hochohmig und leitet Überspannungsimpulse ab; er nimmt bei kleiner Bauform viel Energie auf. Seine höchste Dauerbetriebsspannung muss über der höchsten Ladespannung liegen, seine Klemmspannung unter der Spannungsfestigkeit der Elektronik. Die Sicherung trennt ab, falls der Varistor bei dauerhafter Überspannung überlastet wird und durchlegiert (1 Punkt).

• CAN-Leitungen: Je Leitung eine Suppressordiode (bidirektionale ESD-Schutzdiode, oft als Doppeldiode für CAN-High und CAN-Low) gegen Masse, möglichst direkt am Steckverbinder (1 Punkt). Sie spricht schneller an als ein Varistor, klemmt genauer, altert kaum und hat als ESD-Typ eine kleine Kapazität, die die schnellen Datensignale nicht verformt; ein Varistor wäre mit seiner großen Kapazität dafür ungeeignet (1 Punkt).