Übungsaufgaben zu Exponentialfunktionen und Logarithmen

Kopiere den Text in ein KI-Sprachmodell Deiner Wahl und passe Kompetenzstufe, Anzahl, Bearbeitungszeit und Szenario bei Bedarf an. Wie die Aufgaben aufgebaut sind, beschreibt der Artikel Wie sind die Aufgaben aufgebaut?. Prüfe die Ergebnisse mit dem Lehrartikel: KI-Sprachmodelle machen Fehler.

Erstelle neue Übungsaufgaben zum Thema „Exponentialfunktionen und
Logarithmen“.

Bauplan: Halte Dich an Aufbau, Kompetenzstufen, Operatoren,
Anforderungsbereiche, Punkte und Zeitschätzung, die im Artikel
https://oer-informatik.de/aufgaben-aufbau beschrieben sind.

Fachliche Grundlage:
- https://oer-informatik.de/exponentialfunktionen-logarithmen
- https://oer-informatik.de/szenario-riepenhusen
- https://oer-informatik.de/szenario-hawest-wasser
- Stilbeispiel: https://oer-informatik.de/exponentialfunktionen-logarithmen-uebungsaufgaben

Die Aufgaben sollen Inhalte zu diesen Schlagwörtern abdecken:
- Exponentialfunktion
- Logarithmus
- Zweierpotenz
- Binärer Vorsatz
- Zeitkonstante
- Entladen
- NTC
- Dezibel
- Auflösung
- A/D-Umsetzer

Kompetenzstufe: Kernkompetenz (alternativ: Basiskompetenz, Profilkompetenz, Expertise)
Anzahl: 1 Aufgabe mit Teilaufgaben
Bearbeitungszeit in Minuten ca.: <5 bis 30 min>
Szenario: eines der Szenarien aus dem Bauplan

Vorgehen:
1. Lies zuerst die verlinkten Artikel. Kannst Du keine Webseiten
   abrufen, sag mir das, statt zu raten.
2. Steht bei einer Angabe noch ein Platzhalter in <…>, frag mich
   zuerst danach. Richte Punkte und Zahl der Teilaufgaben nach der
   Bearbeitungszeit (ca. 0,9 min je Punkt).
3. Gib je Aufgabe Titel mit Kompetenzstufe, Ausgangssituation und
   Teilaufgaben mit Operator und Punktzahl aus, dazu die geschätzte
   Bearbeitungszeit.
4. Gib die Beispiellösungen mit Punkteverteilung erst aus, wenn ich
   danach frage.

Geg.: 16 Adressleitungen; Speicher 4 MiB; 8-Bit-Zähler

Ges.: Anzahl Speicherplätze

2^{16} = 2^{10} \cdot 2^{6} = 1024 \cdot 64 = \underline{\underline{65\,536}} = \underline{\underline{64\ \text{Ki}}}

Bewertung: Anzahl 1 Punkt, binärer Vorsatz 1 Punkt.

Ges.: 4 MiB in Byte; Unterschied zu 4 MB

4\ \text{MiB} = 4 \cdot 2^{20}\ \text{B} = 4 \cdot 1\,048\,576\ \text{B} = \underline{\underline{4\,194\,304\ \text{B}}}

\frac{4\,194\,304\ \text{B}}{4\,000\,000\ \text{B}} \approx 1{,}0486 \quad\Rightarrow\quad 4\ \text{MiB sind um } \approx \underline{\underline{4{,}86\,\%}} \text{ größer.}

Bewertung: Umrechnung 1 Punkt, Prozentangabe 1 Punkt.

Ges.: größter Zählerstand, Anzahl der Zustände

Anzahl der Zustände: 2^{8} = \underline{\underline{256}}. Größter Zählerstand: 2^{8} - 1 = \underline{\underline{255}}. Der Unterschied entsteht, weil die Null als erster Zustand mitzählt (0 … 255).

Bewertung: beide Werte 1 Punkt, Erklärung 1 Punkt.

Ges.: Logarithmen ohne Taschenrechner

Bewertung: je zwei richtige Werte 1 Punkt (bei sieben Werten aufgerundet).

Ges.: \operatorname{lb} 1000, \ln 0{,}5

\operatorname{lb} 1000 = \frac{\lg 1000}{\lg 2} \approx \frac{3}{0{,}301\,03} \approx \underline{\underline{9{,}97}} \qquad \ln 0{,}5 \approx \underline{\underline{-0{,}693}}

Mit gerundeten Zwischenergebnissen ergibt sich: 3 : 0{,}301\,03 = 9{,}966 \approx 9{,}97
Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: 9{,}9658 \approx 9{,}97

Plausibilität: 2^{10} = 1024 liegt knapp über 1000, also ist \operatorname{lb} 1000 knapp unter 10.

Bewertung: je Wert 1 Punkt.

Geg.: C = 100\ \mu\text{F}; R = 47{,}0\ \text{k}\Omega; U_0 = 12{,}0\ \text{V}

Ges.: \tau

\tau = R \cdot C = 47{,}0 \cdot 10^{3}\ \Omega \cdot 100 \cdot 10^{-6}\ \text{F} = \underline{\underline{4{,}70\ \text{s}}}

Bewertung: Ansatz 1 Punkt, Ergebnis 1 Punkt.

Ges.: u_C nach 2\tau und 5\tau

Für t = 2\tau ist der Exponent -t/\tau = -2:

u_C(2\tau) = 12{,}0\ \text{V} \cdot e^{-2} \approx 12{,}0\ \text{V} \cdot 0{,}1353 \approx \underline{\underline{1{,}62\ \text{V}}} \quad (13{,}5\,\%)

u_C(5\tau) = 12{,}0\ \text{V} \cdot e^{-5} \approx 12{,}0\ \text{V} \cdot 0{,}006\,74 \approx \underline{\underline{80{,}9\ \text{mV}}} \quad (0{,}674\,\%)

Nach 5\tau ist der Kondensator praktisch entladen.

Bewertung: Exponent 1 Punkt, je Spannung 1 Punkt.

Ges.: u_C nach 10,0 s

-\frac{t}{\tau} = -\frac{10{,}0\ \text{s}}{4{,}70\ \text{s}} \approx -2{,}13 \qquad u_C = 12{,}0\ \text{V} \cdot e^{-2{,}13} \approx \underline{\underline{1{,}43\ \text{V}}}

Mit gerundeten Zwischenergebnissen ergibt sich: 12{,}0\ \text{V} \cdot e^{-2{,}13} = 1{,}426\ \text{V} \approx 1{,}43\ \text{V}
Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: 12{,}0\ \text{V} \cdot e^{-2{,}1277} = 1{,}429\ \text{V} \approx 1{,}43\ \text{V}

Bewertung: Exponent 1 Punkt, Spannung 2 Punkte.

Ges.: u_C beim Laden nach 10,0 s; Vergleich

u_C = 12{,}0\ \text{V} \cdot (1 - e^{-2{,}13}) = 12{,}0\ \text{V} - 1{,}43\ \text{V} \approx \underline{\underline{10{,}6\ \text{V}}}

Mit gerundeten Zwischenergebnissen ergibt sich: 12{,}0\ \text{V} - 1{,}43\ \text{V} = 10{,}57\ \text{V} \approx 10{,}6\ \text{V}
Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: 12{,}0\ \text{V} - 1{,}429\ \text{V} = 10{,}57\ \text{V} \approx 10{,}6\ \text{V}

Lade- und Entladekurve sind spiegelbildlich: Die beiden Spannungen ergänzen sich zu jedem Zeitpunkt zu U_0 (1{,}43\ \text{V} + 10{,}57\ \text{V} = 12{,}0\ \text{V}).

Bewertung: Spannung 1 Punkt, Vergleich 1 Punkt.

Geg.: U_0 = 12{,}0\ \text{V}; \tau = 4{,}70\ \text{s}; f) u_C = 1{,}00\ \text{V}; g) u_C = 0{,}9 \cdot U_0

Ges.: Formel für t

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} u_C & = & U_0 \cdot e^{-t/\tau} & \color{gray}{:U_0} \\ \dfrac{u_C}{U_0} & = & e^{-t/\tau} & \color{gray}{\ln} \\ \ln\dfrac{u_C}{U_0} & = & -\dfrac{t}{\tau} & \color{gray}{\cdot(-\tau)} \\ t & = & -\tau \cdot \ln\dfrac{u_C}{U_0} = \underline{\underline{\tau \cdot \ln\dfrac{U_0}{u_C}}} & \end{array}

Der letzte Schritt nutzt -\ln\dfrac{a}{b} = \ln\dfrac{b}{a}.

Bewertung: je Umformungsschritt 1 Punkt.

Ges.: t bis 1,00 V

t = 4{,}70\ \text{s} \cdot \ln\frac{12{,}0\ \text{V}}{1{,}00\ \text{V}} = 4{,}70\ \text{s} \cdot \ln 12 \approx 4{,}70\ \text{s} \cdot 2{,}485 \approx \underline{\underline{11{,}7\ \text{s}}}

Mit gerundeten Zwischenergebnissen ergibt sich: 4{,}70\ \text{s} \cdot 2{,}485 = 11{,}68\ \text{s} \approx 11{,}7\ \text{s}
Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: 11{,}679\ \text{s} \approx 11{,}7\ \text{s}

Plausibilität: 1,00 V liegt zwischen u_C(2\tau) = 1{,}62\ \text{V} und u_C(3\tau) = 0{,}597\ \text{V}; 11{,}7\ \text{s} \approx 2{,}5\tau.

Bewertung: Einsetzen 1 Punkt, Ergebnis 1 Punkt.

Ges.: Nachweis t_{90} = \tau \cdot \ln 10; t_{90}

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} 0{,}9 \cdot U_0 & = & U_0 \cdot (1 - e^{-t/\tau}) & \color{gray}{:U_0} \\ 0{,}9 & = & 1 - e^{-t/\tau} & \color{gray}{+e^{-t/\tau} - 0{,}9} \\ e^{-t/\tau} & = & 0{,}1 & \color{gray}{\ln} \\ -\dfrac{t}{\tau} & = & \ln 0{,}1 = -\ln 10 & \color{gray}{\cdot(-\tau)} \\ t & = & \tau \cdot \ln 10 & \end{array}

t_{90} = 4{,}70\ \text{s} \cdot \ln 10 \approx 4{,}70\ \text{s} \cdot 2{,}303 \approx \underline{\underline{10{,}8\ \text{s}}}

Mit gerundeten Zwischenergebnissen ergibt sich: 4{,}70\ \text{s} \cdot 2{,}303 = 10{,}82\ \text{s} \approx 10{,}8\ \text{s}
Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: 10{,}822\ \text{s} \approx 10{,}8\ \text{s}

Bewertung: Umstellung 2 Punkte, Ergebnis 1 Punkt.

Geg.: R_{25} = 10{,}0\ \text{k}\Omega; B = 3435\ \text{K}; \vartheta_{25} = 25\ \text{°C}; \vartheta = 50\ \text{°C}

Ges.: T_{25}, T_{50}

T_{25} = 25\ \text{°C} + 273{,}15\ \text{K} = \underline{\underline{298{,}15\ \text{K}}} \qquad T_{50} = 50\ \text{°C} + 273{,}15\ \text{K} = \underline{\underline{323{,}15\ \text{K}}}

Bewertung: 1 Punkt.

Ges.: Exponent; Einheit

Die beiden Kehrwerte unterscheiden sich erst in der zweiten Stelle. Bei ihrer Differenz gehen deshalb Stellen verloren; man rechnet hier mit fünf signifikanten Stellen:

\frac{1}{T_{50}} - \frac{1}{T_{25}} = 3{,}0945 \cdot 10^{-3}\ \tfrac{1}{\text{K}} - 3{,}3540 \cdot 10^{-3}\ \tfrac{1}{\text{K}} \approx -0{,}2595 \cdot 10^{-3}\ \tfrac{1}{\text{K}}

x = B \cdot \left(\frac{1}{T} - \frac{1}{T_{25}}\right) = 3435\ \text{K} \cdot \left(-0{,}2595 \cdot 10^{-3}\ \tfrac{1}{\text{K}}\right) \approx \underline{\underline{-0{,}891}}

Mit gerundeten Zwischenergebnissen ergibt sich: 3435 \cdot (-0{,}2595 \cdot 10^{-3}) = -0{,}8914 \approx -0{,}891
Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: -0{,}89131 \approx -0{,}891

Einheit: \text{K} \cdot \dfrac{1}{\text{K}} = 1, der Exponent ist \underline{\underline{\text{einheitenlos}}}.

Mit nur drei Stellen (3{,}09 \cdot 10^{-3} - 3{,}35 \cdot 10^{-3}) ergäbe sich x \approx -0{,}893; der Unterschied bleibt hier noch unter 1 %, wird aber bei kleinen Temperaturdifferenzen groß.

Bewertung: Differenz der Kehrwerte 1 Punkt, Exponent 1 Punkt, Einheitenkontrolle 1 Punkt.

Ges.: R_{50}

R_{50} = 10{,}0\ \text{k}\Omega \cdot e^{-0{,}891} \approx 10{,}0\ \text{k}\Omega \cdot 0{,}4102 \approx \underline{\underline{4{,}10\ \text{k}\Omega}}

Mit gerundeten Zwischenergebnissen ergibt sich: e^{-0{,}891} \cdot 10{,}0\ \text{k}\Omega = 4{,}102\ \text{k}\Omega \approx 4{,}10\ \text{k}\Omega
Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: e^{-0{,}89131} \cdot 10{,}0\ \text{k}\Omega = 4{,}101\ \text{k}\Omega \approx 4{,}10\ \text{k}\Omega

Der Widerstand ist bei 50 °C auf etwa 41 % gesunken (Heißleiter).

Bewertung: Ansatz 2 Punkte, Ergebnis 2 Punkte.

Geg.: a) Bereich 5,00 V, Schritt \leq 2{,}00\ \text{mV}; b) Zählbereich 0 … 999

Ges.: Schritte; Bitzahl n

\text{Schritte} = \frac{5{,}00\ \text{V}}{2{,}00 \cdot 10^{-3}\ \text{V}} = 2500

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} 2^{n} & \geq & 2500 & \color{gray}{\operatorname{lb}} \\ n & \geq & \operatorname{lb} 2500 = \dfrac{\lg 2500}{\lg 2} \approx 11{,}3 & \\ n & = & \underline{\underline{12\ \text{Bit}}} & \color{gray}{\text{aufrunden}} \end{array}

Kontrolle: 2^{11} = 2048 < 2500, 2^{12} = 4096 \geq 2500; die Schrittweite ist dann 5{,}00\ \text{V} : 4096 \approx 1{,}22\ \text{mV}.

Bewertung: Schritte 1 Punkt, Logarithmus 1 Punkt, aufgerundete Bitzahl 1 Punkt.

Ges.: Anzahl Flipflops

Von 0 bis 999 sind es 1000 Zustände:

n \geq \operatorname{lb} 1000 \approx 9{,}97 \quad\Rightarrow\quad \underline{\underline{n = 10\ \text{Flipflops}}}

Bewertung: Logarithmus 1 Punkt, Ergebnis 1 Punkt.

Ges.: Begründung Aufrunden

Die Bitzahl muss ganzzahlig sein. Mit abgerundeten 11 bzw. 9 Bit gäbe es nur 2048 bzw. 512 Zustände, also weniger als gefordert. Deshalb wird \underline{\underline{\text{immer aufgerundet}}}, auch wenn die Nachkommastelle klein ist.

Bewertung: 1 Punkt.

Geg.: d) V_u = 250; e) G_u = -3\ \text{dB}; f) G_u = 46\ \text{dB}

Ges.: G_u

G_u = 20 \cdot \lg 250\ \text{dB} \approx 20 \cdot 2{,}398\ \text{dB} \approx \underline{\underline{48{,}0\ \text{dB}}}

Mit gerundeten Zwischenergebnissen ergibt sich: 20 \cdot 2{,}398\ \text{dB} = 47{,}96\ \text{dB} \approx 48{,}0\ \text{dB}
Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: 47{,}959\ \text{dB} \approx 48{,}0\ \text{dB}

Bewertung: Ansatz 1 Punkt, Ergebnis 1 Punkt.

Ges.: Spannungs- und Leistungsverhältnis

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} -3\ \text{dB} & = & 20 \cdot \lg\dfrac{U_2}{U_1}\ \text{dB} & \color{gray}{:20\ \text{dB}\ (G_u = -3\ \text{dB})} \\ \lg\dfrac{U_2}{U_1} & = & -0{,}15 & \color{gray}{10^{(\ )}} \\ \dfrac{U_2}{U_1} & = & 10^{-0{,}15} \approx \underline{\underline{0{,}708}} & \end{array}

\frac{P_2}{P_1} = 10^{-3/10} = 10^{-0{,}3} \approx \underline{\underline{0{,}501}}

Die Spannung sinkt auf 70,8 %, die Leistung auf rund die Hälfte. Probe: 0{,}708^2 \approx 0{,}501, weil P \sim U^2. Zum Merken einige Pegel:

Bewertung: je Anteil 1 Punkt.

Ges.: Formel für V_u; V_u bei 46 dB

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} G_u & = & 20 \cdot \lg V_u\ \text{dB} & \color{gray}{:20\ \text{dB}} \\ \dfrac{G_u}{20\ \text{dB}} & = & \lg V_u & \color{gray}{10^{(\ )}} \\ V_u & = & 10^{G_u / 20\,\text{dB}} = 10^{46 / 20} = 10^{2{,}3} \approx \underline{\underline{2{,}00 \cdot 10^{2}}} & \end{array}

(10^{2{,}3} \approx 199{,}5; auf drei Stellen gerundet 2{,}00 \cdot 10^{2}, also etwa 200.)

Bewertung: Umstellung 1 Punkt, Ergebnis 1 Punkt.

Geg.: L_0 = 2000\ \text{h}; \vartheta_0 = 105\ \text{°C}; b = 2; a) \vartheta = 65\ \text{°C}; b) L = 50\,000\ \text{h}; c) L = 7200\ \text{h} bei \vartheta = 85\ \text{°C}

Ges.: L bei 65 °C

L = 2000\ \text{h} \cdot 2^{\frac{105\ \text{°C} - 65\ \text{°C}}{10\ \text{K}}} = 2000\ \text{h} \cdot 2^{4} = \underline{\underline{32\,000\ \text{h}}}

Bewertung: Exponent 1 Punkt, Ergebnis 1 Punkt.

Ges.: \vartheta für 50 000 h

Die gesuchte Größe steht im Exponenten, deshalb wird logarithmiert (hier passend zur Basis 2 mit lb):

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} L & = & L_0 \cdot 2^{\frac{\vartheta_0 - \vartheta}{10\ \text{K}}} & \color{gray}{:L_0} \\ \dfrac{L}{L_0} & = & 2^{\frac{\vartheta_0 - \vartheta}{10\ \text{K}}} & \color{gray}{\operatorname{lb}} \\ \operatorname{lb}\dfrac{L}{L_0} & = & \dfrac{\vartheta_0 - \vartheta}{10\ \text{K}} & \color{gray}{\cdot 10\ \text{K}} \\ 10\ \text{K} \cdot \operatorname{lb}\dfrac{L}{L_0} & = & \vartheta_0 - \vartheta & \color{gray}{+\vartheta - 10\ \text{K} \cdot \operatorname{lb}\dfrac{L}{L_0}} \\ \vartheta & = & \vartheta_0 - 10\ \text{K} \cdot \operatorname{lb}\dfrac{L}{L_0} & \end{array}

\operatorname{lb}\frac{50\,000\ \text{h}}{2000\ \text{h}} = \operatorname{lb} 25 = \frac{\lg 25}{\lg 2} \approx 4{,}64 \qquad \vartheta \approx 105\ \text{°C} - 10\ \text{K} \cdot 4{,}64 = \underline{\underline{58{,}6\ \text{°C}}}

Mit gerundeten Zwischenergebnissen ergibt sich: 105\ \text{°C} - 46{,}4\ \text{K} = 58{,}6\ \text{°C}
Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: 105\ \text{°C} - 46{,}439\ \text{K} = 58{,}56\ \text{°C} \approx 58{,}6\ \text{°C}

Mit \ln oder \lg statt \operatorname{lb} geht es genauso: \dfrac{\vartheta_0 - \vartheta}{10\ \text{K}} = \dfrac{\lg(L/L_0)}{\lg 2}.

Bewertung: Umstellung mit Logarithmus 2 Punkte, Einsetzen 1 Punkt, Ergebnis 1 Punkt.

Ges.: Basis b

Exponent: \dfrac{105\ \text{°C} - 85\ \text{°C}}{10\ \text{K}} = 2. Die gesuchte Größe steht in der Basis, deshalb wird die Wurzel gezogen:

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} L & = & L_0 \cdot b^{2} & \color{gray}{:L_0} \\ \dfrac{L}{L_0} & = & b^{2} & \color{gray}{\sqrt{\ }} \\ b & = & \sqrt{\dfrac{L}{L_0}} = \sqrt{\dfrac{7200\ \text{h}}{2000\ \text{h}}} = \sqrt{3{,}6} \approx \underline{\underline{1{,}90}} & \end{array}

Bei diesem Kondensator verlängert sich die Lebensdauer je 10 K Abkühlung also nur um den Faktor 1,90 statt 2. Allgemein gilt bei Exponent x: b = \sqrt[x]{L/L_0} = (L/L_0)^{1/x}.

Bewertung: Exponent 1 Punkt, Umstellung 1 Punkt, Ergebnis 1 Punkt.

Geg.: U_\mathrm{B} = 12{,}0\ \text{V}; R = 100\ \text{k}\Omega; d) C = 10{,}0\ \mu\text{F}, t = 1{,}20\ \text{s}; e) t = 5{,}00\ \text{s}, U_\mathrm{S} = 8{,}00\ \text{V}

Ges.: U_\mathrm{S}

Die gesuchte Größe steht im Logarithmus. Zuerst den Faktor R \cdot C beseitigen, dann den Logarithmus mit e^{(\ )} aufheben:

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} t & = & R \cdot C \cdot \ln\dfrac{U_\mathrm{B}}{U_\mathrm{B} - U_\mathrm{S}} & \color{gray}{:(R \cdot C)} \\ \dfrac{t}{R \cdot C} & = & \ln\dfrac{U_\mathrm{B}}{U_\mathrm{B} - U_\mathrm{S}} & \color{gray}{e^{(\ )}} \\ e^{\frac{t}{R \cdot C}} & = & \dfrac{U_\mathrm{B}}{U_\mathrm{B} - U_\mathrm{S}} & \color{gray}{\text{Kehrwert}} \\ e^{-\frac{t}{R \cdot C}} & = & \dfrac{U_\mathrm{B} - U_\mathrm{S}}{U_\mathrm{B}} & \color{gray}{\cdot U_\mathrm{B}} \\ U_\mathrm{B} \cdot e^{-\frac{t}{R \cdot C}} & = & U_\mathrm{B} - U_\mathrm{S} & \color{gray}{+U_\mathrm{S} - U_\mathrm{B} \cdot e^{-\frac{t}{R \cdot C}}} \\ U_\mathrm{S} & = & U_\mathrm{B} \cdot \left(1 - e^{-\frac{t}{R \cdot C}}\right) & \end{array}

Beim Kehrwert gilt \dfrac{1}{e^{x}} = e^{-x}; im letzten Schritt wurde U_\mathrm{B} ausgeklammert. Mit R \cdot C = 100 \cdot 10^{3}\ \Omega \cdot 10{,}0 \cdot 10^{-6}\ \text{F} = 1{,}00\ \text{s}:

U_\mathrm{S} = 12{,}0\ \text{V} \cdot \left(1 - e^{-1{,}20}\right) \approx 12{,}0\ \text{V} \cdot (1 - 0{,}301) \approx \underline{\underline{8{,}39\ \text{V}}}

Mit gerundeten Zwischenergebnissen ergibt sich: 12{,}0\ \text{V} \cdot 0{,}699 = 8{,}388\ \text{V} \approx 8{,}39\ \text{V}
Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: 12{,}0\ \text{V} \cdot 0{,}69881 = 8{,}386\ \text{V} \approx 8{,}39\ \text{V}

Bewertung: Umstellung 3 Punkte, Ergebnis 1 Punkt.

Ges.: C

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} t & = & R \cdot C \cdot \ln\dfrac{U_\mathrm{B}}{U_\mathrm{B} - U_\mathrm{S}} & \color{gray}{:\left(R \cdot \ln\dfrac{U_\mathrm{B}}{U_\mathrm{B} - U_\mathrm{S}}\right)} \\ C & = & \dfrac{t}{R \cdot \ln\dfrac{U_\mathrm{B}}{U_\mathrm{B} - U_\mathrm{S}}} & \end{array}

\ln\frac{12{,}0\ \text{V}}{12{,}0\ \text{V} - 8{,}00\ \text{V}} = \ln 3 \approx 1{,}10 \qquad C \approx \frac{5{,}00\ \text{s}}{100 \cdot 10^{3}\ \Omega \cdot 1{,}10} \approx \underline{\underline{45{,}5\ \mu\text{F}}}

Mit gerundeten Zwischenergebnissen ergibt sich: 5{,}00\ \text{s} : (100\ \text{k}\Omega \cdot 1{,}10) = 45{,}45\ \mu\text{F} \approx 45{,}5\ \mu\text{F}
Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: 5{,}00\ \text{s} : (100\ \text{k}\Omega \cdot 1{,}0986) = 45{,}51\ \mu\text{F} \approx 45{,}5\ \mu\text{F}

Bewertung: Umstellung 1 Punkt, Logarithmus 1 Punkt, Ergebnis 1 Punkt.

Geg.: Messstelle: U = 3{,}30\ \text{V}; R_1 = 10{,}0\ \text{k}\Omega; R_2 = 4{,}70\ \text{k}\Omega; C_1 = 1{,}00\ \mu\text{F}; NTC R_{25} = 10{,}0\ \text{k}\Omega, B = 3435\ \text{K}, \delta = 1{,}5\ \text{mW/K}; ADC 12 Bit, U_\mathrm{ref} = 3{,}30\ \text{V}; N = 1650

Ges.: U_\mathrm{LSB}

U_\mathrm{LSB} = \frac{U_\mathrm{ref}}{2^{12}} = \frac{3{,}30\ \text{V}}{4096} \approx 0{,}000\,805\,7\ \text{V} \approx \underline{\underline{806\ \mu\text{V}}}

Bewertung: Ansatz 1 Punkt, Ergebnis mit Vorsatz 1 Punkt.

Ges.: U_\mathrm{NTC}

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} N & = & \dfrac{U_\mathrm{NTC}}{U_\mathrm{ref}} \cdot 4096 & \color{gray}{\cdot U_\mathrm{ref} : 4096} \\ U_\mathrm{NTC} & = & \dfrac{N \cdot U_\mathrm{ref}}{4096} = \dfrac{1650 \cdot 3{,}30\ \text{V}}{4096} \approx \underline{\underline{1{,}33\ \text{V}}} & \end{array}

Mit gerundeten Zwischenergebnissen ergibt sich: 1650 \cdot 806\ \mu\text{V} = 1{,}330\ \text{V} \approx 1{,}33\ \text{V}
Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: 1{,}3293\ \text{V} \approx 1{,}33\ \text{V}

Bewertung: Umstellung 1 Punkt, Ergebnis 1 Punkt.

Ges.: R_\mathrm{NTC}

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U_\mathrm{NTC} & = & U \cdot \dfrac{R_\mathrm{NTC}}{R_1 + R_\mathrm{NTC}} & \color{gray}{\cdot (R_1 + R_\mathrm{NTC})} \\ U_\mathrm{NTC} \cdot R_1 + U_\mathrm{NTC} \cdot R_\mathrm{NTC} & = & U \cdot R_\mathrm{NTC} & \color{gray}{-U_\mathrm{NTC} \cdot R_\mathrm{NTC}} \\ U_\mathrm{NTC} \cdot R_1 & = & U \cdot R_\mathrm{NTC} - U_\mathrm{NTC} \cdot R_\mathrm{NTC} & \color{gray}{\text{ausklammern}} \\ U_\mathrm{NTC} \cdot R_1 & = & R_\mathrm{NTC} \cdot (U - U_\mathrm{NTC}) & \color{gray}{:(U - U_\mathrm{NTC})} \\ R_\mathrm{NTC} & = & \dfrac{U_\mathrm{NTC} \cdot R_1}{U - U_\mathrm{NTC}} = \dfrac{1{,}33\ \text{V} \cdot 10{,}0\ \text{k}\Omega}{3{,}30\ \text{V} - 1{,}33\ \text{V}} \approx \underline{\underline{6{,}75\ \text{k}\Omega}} & \end{array}

Mit gerundeten Zwischenergebnissen ergibt sich: 13{,}3\ \text{V} \cdot \text{k}\Omega : 1{,}97\ \text{V} = 6{,}751\ \text{k}\Omega \approx 6{,}75\ \text{k}\Omega
Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: 1{,}3293\ \text{V} \cdot 10{,}0\ \text{k}\Omega : 1{,}9707\ \text{V} = 6{,}746\ \text{k}\Omega \approx 6{,}75\ \text{k}\Omega

(Gleiche Umstellung wie beim Spannungsteiler im Artikel Formeln umstellen, nur mit R_\mathrm{NTC} als unterem Widerstand.)

Bewertung: Umstellung mit Ausklammern 3 Punkte, Ergebnis 1 Punkt.

Ges.: Formel für T; \vartheta; Begründung der Stellenzahl

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} R_T & = & R_{25} \cdot e^{B \cdot \left(\frac{1}{T} - \frac{1}{T_{25}}\right)} & \color{gray}{:R_{25}} \\ \dfrac{R_T}{R_{25}} & = & e^{B \cdot \left(\frac{1}{T} - \frac{1}{T_{25}}\right)} & \color{gray}{\ln} \\ \ln\dfrac{R_T}{R_{25}} & = & B \cdot \left(\dfrac{1}{T} - \dfrac{1}{T_{25}}\right) & \color{gray}{:B} \\ \dfrac{1}{B} \cdot \ln\dfrac{R_T}{R_{25}} & = & \dfrac{1}{T} - \dfrac{1}{T_{25}} & \color{gray}{+\dfrac{1}{T_{25}}} \\ \dfrac{1}{T} & = & \dfrac{1}{T_{25}} + \dfrac{1}{B} \cdot \ln\dfrac{R_T}{R_{25}} & \color{gray}{\text{Kehrwert}} \\ T & = & \underline{\underline{\dfrac{1}{\dfrac{1}{T_{25}} + \dfrac{1}{B} \cdot \ln\dfrac{R_T}{R_{25}}}}} & \end{array}

Schrittweise mit R_T = 6{,}75\ \text{k}\Omega:

\ln\frac{6{,}75\ \text{k}\Omega}{10{,}0\ \text{k}\Omega} = \ln 0{,}675 \approx -0{,}39304 \qquad \frac{-0{,}39304}{3435\ \text{K}} \approx -0{,}11442 \cdot 10^{-3}\ \tfrac{1}{\text{K}}

\frac{1}{T} = 3{,}35402 \cdot 10^{-3}\ \tfrac{1}{\text{K}} - 0{,}11442 \cdot 10^{-3}\ \tfrac{1}{\text{K}} \approx 3{,}23960 \cdot 10^{-3}\ \tfrac{1}{\text{K}} \qquad T \approx 308{,}68\ \text{K}

\vartheta = T - 273{,}15\ \text{K} = 308{,}68\ \text{K} - 273{,}15\ \text{K} \approx \underline{\underline{35{,}5\ \text{°C}}}

Mit gerundeten Zwischenergebnissen ergibt sich: R_T = 6{,}75\ \text{k}\Omega: \vartheta = 35{,}53\ \text{°C} \approx 35{,}5\ \text{°C}
Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: R_T = 6{,}7457\ \text{k}\Omega: \vartheta = 35{,}548\ \text{°C} \approx 35{,}5\ \text{°C}

Begründung der Stellenzahl: \frac{1}{T} entsteht als Summe aus einem großen Wert (3{,}354 \cdot 10^{-3}) und einem kleinen Korrekturwert (-0{,}114 \cdot 10^{-3}); danach wird von T noch 273,15 K abgezogen. Bei beiden Schritten wirken kleine Rundungsfehler stark auf das Ergebnis in °C. Mit \frac{1}{T_{25}} \approx 3{,}35 \cdot 10^{-3}\ \tfrac{1}{\text{K}} (drei Stellen) ergäbe sich T \approx 309{,}06\ \text{K} und \vartheta \approx 35{,}9\ \text{°C}, also 0,38 K zu viel; bezogen auf 35,5 °C ist das rund 1 %, bezogen auf T nur 0,12 %.

Deshalb gilt:

\underline{\underline{\text{mit mindestens 5 Stellen rechnen}}} (Werte im Taschenrechner speichern).

Bewertung: Umstellung 2 Punkte, Temperatur 1 Punkt, Begründung 1 Punkt.

Geg.: R_2 = 4{,}70\ \text{k}\Omega; C_1 = 1{,}00\ \mu\text{F}; U_\mathrm{ref} = 3{,}30\ \text{V}, 12 Bit; aus a) bis d): U_\mathrm{NTC} = 1{,}33\ \text{V}, R_\mathrm{NTC} = 6{,}75\ \text{k}\Omega; \delta = 1{,}5\ \text{mW/K}; vereinfachend \tau = R_2 \cdot C_1

Ges.: \tau, f_\mathrm{g}

\tau = R_2 \cdot C_1 = 4{,}70 \cdot 10^{3}\ \Omega \cdot 1{,}00 \cdot 10^{-6}\ \text{F} = 4{,}70 \cdot 10^{-3}\ \text{s} = \underline{\underline{4{,}70\ \text{ms}}}

f_\mathrm{g} = \frac{1}{2\pi \cdot R_2 \cdot C_1} = \frac{1}{2\pi \cdot 4{,}70 \cdot 10^{-3}\ \text{s}} \approx \underline{\underline{33{,}9\ \text{Hz}}}

Bewertung: Zeitkonstante 1 Punkt, Grenzfrequenz 2 Punkte.

Ges.: Bedingung; Wartezeit t

Die Abweichung vom Endwert klingt mit 3{,}30\ \text{V} \cdot e^{-t/\tau} ab; sie soll kleiner als \frac{1}{2}\ \text{LSB} = \dfrac{3{,}30\ \text{V}}{2 \cdot 4096} = \dfrac{3{,}30\ \text{V}}{2^{13}} werden:

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} 3{,}30\ \text{V} \cdot e^{-t/\tau} & \leq & \dfrac{3{,}30\ \text{V}}{2^{13}} & \color{gray}{:3{,}30\ \text{V}} \\ e^{-t/\tau} & \leq & \dfrac{1}{2^{13}} = 2^{-13} & \color{gray}{\ln} \\ -\dfrac{t}{\tau} & \leq & -13 \cdot \ln 2 & \color{gray}{\cdot(-\tau)\ (!)} \\ t & \geq & 13 \cdot \ln 2 \cdot \tau \approx 13 \cdot 0{,}6931 \cdot 4{,}70\ \text{ms} \approx \underline{\underline{42{,}4\ \text{ms}}} & \end{array}

Mit gerundeten Zwischenergebnissen ergibt sich: 13 \cdot 0{,}6931 \cdot 4{,}70\ \text{ms} = 42{,}349\ \text{ms} \approx 42{,}3\ \text{ms}
Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: 9{,}0109 \cdot 4{,}70\ \text{ms} = 42{,}351\ \text{ms} \approx 42{,}4\ \text{ms}

(!) Bei der Multiplikation mit einer negativen Zahl (-\tau) dreht sich das Ungleichheitszeichen um. 13 \cdot \ln 2 \approx 9{,}01: Es müssen etwa 9\tau abgewartet werden, deutlich mehr als die üblichen 5\tau.

Hinweis: Tatsächlich liegt der Innenwiderstand des Spannungsteilers (R_1 \parallel R_\mathrm{NTC}, höchstens 10 kΩ) in Reihe mit R_2. Die wirkliche Zeitkonstante ist damit bis etwa dreimal so groß; in der Software sollte man entsprechend länger warten (z. B. 150 ms).

Bewertung: Bedingung 1 Punkt, Umstellung 2 Punkte, Ergebnis 1 Punkt.

Ges.: P_\mathrm{NTC}, \Delta\vartheta; Beurteilung

\begin{aligned} &\text{(I)} && P = \dfrac{U_\mathrm{NTC}^2}{R_\mathrm{NTC}} \\ &\text{(II)} && \Delta\vartheta = \dfrac{P}{\delta} \end{aligned}

P = \frac{(1{,}33\ \text{V})^2}{6{,}75 \cdot 10^{3}\ \Omega} = 0{,}262 \cdot 10^{-3}\ \text{W} \approx \underline{\underline{262\ \mu\text{W}}}

I in II:

\Delta\vartheta = \frac{0{,}262\ \text{mW}}{1{,}5\ \tfrac{\text{mW}}{\text{K}}} \approx \underline{\underline{0{,}175\ \text{K}}}

Mit gerundeten Zwischenergebnissen ergibt sich: 0{,}262\ \text{mW} : 1{,}5\ \text{mW/K} = 0{,}1747\ \text{K} \approx 0{,}175\ \text{K}
Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: (1{,}3293\ \text{V})^2 : 6{,}7457\ \text{k}\Omega = 0{,}2620\ \text{mW}; \Delta\vartheta \approx 0{,}175\ \text{K}

Die Eigenerwärmung beträgt weniger als 0,2 K. Für die Überwachung eines Akkus (typische Grenzwerte im Bereich mehrerer Kelvin, Toleranz des NTC meist größer als 0,2 K) ist das \underline{\underline{\text{vernachlässigbar}}}. Für genaue Messungen könnte man den Teiler nur kurz vor der Messung einschalten oder R_1 vergrößern.

Bewertung: Leistung 1 Punkt, Eigenerwärmung 1 Punkt, Beurteilung 1 Punkt.