Übungsaufgaben zu Leistung, Arbeit, Energiekosten und Wirkungsgrad

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Erstelle neue Übungsaufgaben zum Thema „Leistung, Arbeit, Energiekosten
und Wirkungsgrad“.

Bauplan: Halte Dich an Aufbau, Kompetenzstufen, Operatoren,
Anforderungsbereiche, Punkte und Zeitschätzung, die im Artikel
https://oer-informatik.de/aufgaben-aufbau beschrieben sind.

Fachliche Grundlage:
- https://oer-informatik.de/leistung-energie-wirkungsgrad
- https://oer-informatik.de/gleichstromkreis
- Stilbeispiel: https://oer-informatik.de/leistung-energie-wirkungsgrad-uebungsaufgaben

Die Aufgaben sollen Inhalte zu diesen Schlagwörtern abdecken:
- Elektrische Leistung
- Elektrische Arbeit
- Energiekosten
- Wirkungsgrad
- Verlustleistung
- Akkukapazität
- Überbrückungszeit
- Linearregler
- DC/DC-Wandler
- Solarmodul

Kompetenzstufe: Basiskompetenz (alternativ: Kernkompetenz, Profilkompetenz, Expertise)
Anzahl: 1 Aufgabe mit Teilaufgaben
Bearbeitungszeit in Minuten ca.: <5 bis 30 min>
Szenario: eines der Szenarien aus dem Bauplan

Vorgehen:
1. Lies zuerst die verlinkten Artikel. Kannst Du keine Webseiten
   abrufen, sag mir das, statt zu raten.
2. Steht bei einer Angabe noch ein Platzhalter in <…>, frag mich
   zuerst danach. Richte Punkte und Zahl der Teilaufgaben nach der
   Bearbeitungszeit (ca. 0,9 min je Punkt).
3. Gib je Aufgabe Titel mit Kompetenzstufe, Ausgangssituation und
   Teilaufgaben mit Operator und Punktzahl aus, dazu die geschätzte
   Bearbeitungszeit.
4. Gib die Beispiellösungen mit Punkteverteilung erst aus, wenn ich
   danach frage.

Geg.: Heizwiderstand U_\mathrm{N} = 230\ \mathrm{V}, P_\mathrm{N} = 800\ \mathrm{W}; Netzspannung abends U_2 = 218\ \mathrm{V}; Schützspule 24\ \mathrm{V}, R_\mathrm{Sp} = 960\ \Omega, gemessen 23{,}9\ \mathrm{V} / 24{,}2\ \mathrm{mA}; LED 2{,}0\ \mathrm{V} / 10\ \mathrm{mA} an 24\ \mathrm{V}, Belastbarkeiten 0{,}25\ \mathrm{W} und 0{,}5\ \mathrm{W}, höchstens 70 % Auslastung

Ges.: I_\mathrm{N}, R

\begin{aligned} &\text{(I)} && P = U \cdot I \\ &\text{(II)} && U = R \cdot I \end{aligned}

I nach I umstellen (1,5 Punkte):

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} P_\mathrm{N} & = & U_\mathrm{N} \cdot I_\mathrm{N} & \color{gray}{:U_\mathrm{N}} \\ I_\mathrm{N} & = & \dfrac{P_\mathrm{N}}{U_\mathrm{N}} = \dfrac{800\ \mathrm{W}}{230\ \mathrm{V}} \approx \underline{\underline{3{,}48\ \mathrm{A}}} & \end{array}

II nach R umstellen (1,5 Punkte):

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U_\mathrm{N} & = & R \cdot I_\mathrm{N} & \color{gray}{:I_\mathrm{N}} \\ R & = & \dfrac{U_\mathrm{N}}{I_\mathrm{N}} = \dfrac{230\ \mathrm{V}}{3{,}48\ \mathrm{A}} \approx \underline{\underline{66{,}1\ \Omega}} & \end{array}

Mit gerundeten Zwischenergebnissen ergibt sich: R \approx 66{,}1\ \Omega
Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: R = \frac{U_\mathrm{N}^2}{P_\mathrm{N}} = \frac{(230\ \mathrm{V})^2}{800\ \mathrm{W}} \approx 66{,}1\ \Omega (66{,}125\ \Omega)

Ges.: P_2 bei 218\ \mathrm{V}, Änderung in %

\begin{aligned} &\text{(I)} && P = \frac{U^2}{R} \end{aligned}

Weil R gleich bleibt, gilt \frac{P_2}{P_\mathrm{N}} = \left(\frac{U_2}{U_\mathrm{N}}\right)^2 (1 Punkt):

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} \dfrac{P_2}{P_\mathrm{N}} & = & \left(\dfrac{U_2}{U_\mathrm{N}}\right)^2 & \color{gray}{\cdot P_\mathrm{N}} \\ P_2 & = & 800\ \mathrm{W} \cdot \left(\dfrac{218\ \mathrm{V}}{230\ \mathrm{V}}\right)^2 \approx \underline{\underline{719\ \mathrm{W}}} & \end{array}

(1 Punkt) Änderung (1 Punkt):

\frac{P_2 - P_\mathrm{N}}{P_\mathrm{N}} \cdot 100\ \% = \frac{719\ \mathrm{W} - 800\ \mathrm{W}}{800\ \mathrm{W}} \cdot 100\ \% \approx \underline{\underline{-10{,}1\ \%}}

Die Spannung sinkt nur um etwa 5,2 %, die Leistung aber um etwa 10,1 %.

Ges.: passende Kennlinie mit Begründung

Richtig ist \underline{\underline{\text{B}}} (1 Punkt): Der Widerstand ist konstant, deshalb gilt P = \frac{U^2}{R} \sim U^2; die Kennlinie ist eine Parabel durch den Ursprung. Halbe Spannung (115\ \mathrm{V}) ergibt ein Viertel der Leistung (200\ \mathrm{W}), das zeigt nur B (1 Punkt). A wäre P \sim U (Strom unabhängig von der Spannung), C und D gehören zu anderen Abhängigkeiten (\sim \sqrt{U} bzw. \sim U^3).

Ges.: P_\mathrm{Sp} nach Datenblatt und nach Messung

\begin{aligned} &\text{(I)} && P = \frac{U^2}{R} \\ &\text{(II)} && P = U \cdot I \end{aligned}

P_\mathrm{Datenblatt} = \frac{(24\ \mathrm{V})^2}{960\ \Omega} = \underline{\underline{0{,}600\ \mathrm{W}}}

P_\mathrm{Messung} = 23{,}9\ \mathrm{V} \cdot 24{,}2\ \mathrm{mA} \approx \underline{\underline{0{,}578\ \mathrm{W}}}

(je 1 Punkt) Die gemessene Leistung ist etwas kleiner, weil der Kupferwiderstand der warmen Spule größer ist als bei 20\ \mathrm{°C} (\frac{23{,}9\ \mathrm{V}}{24{,}2\ \mathrm{mA}} \approx 988\ \Omega).

Ges.: R_\mathrm{V}, P_\mathrm{R}, P_\mathrm{LED}, U_\mathrm{max} (0{,}25\ \mathrm{W}), Belastbarkeit

\begin{aligned} &\text{(I)} && U = R \cdot I \\ &\text{(II)} && P = U \cdot I \\ &\text{(III)} && P = \frac{U^2}{R} \end{aligned}

Am Vorwiderstand liegen U_\mathrm{R} = 24\ \mathrm{V} - 2{,}0\ \mathrm{V} = 22\ \mathrm{V}. I nach R umstellen (1 Punkt):

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U_\mathrm{R} & = & R_\mathrm{V} \cdot I & \color{gray}{:I} \\ R_\mathrm{V} & = & \dfrac{U_\mathrm{R}}{I} = \dfrac{22\ \mathrm{V}}{10\ \mathrm{mA}} = \underline{\underline{2{,}20\ \mathrm{k\Omega}}} & \end{array}

Verlustleistungen mit II (1 Punkt):

P_\mathrm{R} = 22\ \mathrm{V} \cdot 10\ \mathrm{mA} = \underline{\underline{220\ \mathrm{mW}}} \qquad P_\mathrm{LED} = 2{,}0\ \mathrm{V} \cdot 10\ \mathrm{mA} = \underline{\underline{20{,}0\ \mathrm{mW}}}

III nach U umstellen (1 Punkt):

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} P_\mathrm{N} & = & \dfrac{U_\mathrm{max}^2}{R_\mathrm{V}} & \color{gray}{\cdot R_\mathrm{V},\ \sqrt{\phantom{x}}} \\ U_\mathrm{max} & = & \sqrt{P_\mathrm{N} \cdot R_\mathrm{V}} = \sqrt{0{,}25\ \mathrm{W} \cdot 2200\ \Omega} \approx \underline{\underline{23{,}5\ \mathrm{V}}} & \end{array}

Auswahl (1 Punkt): Die 22\ \mathrm{V} liegen zwar unter 23{,}5\ \mathrm{V}, der 0{,}25\text{-W}-Widerstand wäre aber zu \frac{220\ \mathrm{mW}}{250\ \mathrm{mW}} = 88\ \% ausgelastet – mehr als die erlaubten 70 %. Gewählt wird \underline{\underline{0{,}5\ \mathrm{W}}} (Auslastung 44 %).

Geg.: Arbeitspreis k_\mathrm{A} = 0{,}31\ €/\mathrm{kWh}, Emissionsfaktor 0{,}38\ \mathrm{kg/kWh}

Ges.: Formelzeichen und Einheiten

Je Zeile 1 Punkt:

Ges.: W und K je Jahr

\begin{aligned} &\text{(I)} && W = P \cdot t \\ &\text{(II)} && K = W \cdot k_\mathrm{A} \end{aligned}

t = 200 \cdot 6\ \mathrm{h} = 1200\ \mathrm{h} (1 Punkt), I in II einsetzen (je 1 Punkt):

W = 120\ \mathrm{W} \cdot 1200\ \mathrm{h} = 144\,000\ \mathrm{Wh} = \underline{\underline{144\ \mathrm{kWh}}}

K = 144\ \mathrm{kWh} \cdot 0{,}31\ €/\mathrm{kWh} \approx \underline{\underline{44{,}6\ €}}

Ges.: eingesparte Energie, Kosten, CO₂; Bewertung

\begin{aligned} &\text{(I)} && W = P \cdot t \\ &\text{(II)} && K = W \cdot k_\mathrm{A} \\ &\text{(III)} && m_\mathrm{CO_2} = W \cdot e \end{aligned}

W = 20 \cdot 4{,}5\ \mathrm{W} \cdot 7200\ \mathrm{h} = 648\,000\ \mathrm{Wh} = \underline{\underline{648\ \mathrm{kWh}}}

K = 648\ \mathrm{kWh} \cdot 0{,}31\ €/\mathrm{kWh} \approx \underline{\underline{201\ €}} \qquad m_\mathrm{CO_2} = 648\ \mathrm{kWh} \cdot 0{,}38\ \mathrm{kg/kWh} \approx \underline{\underline{246\ \mathrm{kg}}}

(je 1 Punkt) Bewertung (1 Punkt): Die Maßnahme kostet kaum etwas (Steckdosenleisten, ein kurzer Hinweis im Kurs), spart aber jährlich etwa ein Viertel Tonne CO₂ und vermeidet Energieverbrauch ohne jeden Nutzen. Sie ist ökologisch und wirtschaftlich sinnvoll; die Leisten müssen nur auch tatsächlich ausgeschaltet werden.

Ges.: Ersparnis je Jahr, Amortisationszeit

\begin{aligned} &\text{(I)} && W = P \cdot t \\ &\text{(II)} && K = W \cdot k_\mathrm{A} \\ &\text{(III)} && t_\mathrm{A} = \frac{K_\mathrm{Inv}}{K_\mathrm{Ersparnis}} \end{aligned}

Eingesparte Leistung \Delta P = 18 \cdot (70\ \mathrm{W} - 32\ \mathrm{W}) = 684\ \mathrm{W} (1 Punkt):

\Delta W = 684\ \mathrm{W} \cdot 1600\ \mathrm{h} \approx 1090\ \mathrm{kWh} \qquad K_\mathrm{Ersparnis} = 1090\ \mathrm{kWh} \cdot 0{,}31\ €/\mathrm{kWh} \approx \underline{\underline{338\ €}}

(1 Punkt) Investition 18 \cdot 95\ € = 1710\ €, Amortisationszeit (1 Punkt):

t_\mathrm{A} = \frac{1710\ €}{338\ €/\mathrm{a}} \approx \underline{\underline{5{,}06\ \mathrm{Jahre}}}

Mit gerundeten Zwischenergebnissen ergibt sich: \Delta W \approx 1090\ \mathrm{kWh}, K_\mathrm{Ersparnis} \approx 338\ €, t_\mathrm{A} \approx 5{,}06 Jahre
Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: \Delta W = 1094{,}4\ \mathrm{kWh}, K_\mathrm{Ersparnis} \approx 339\ € (339{,}26\ €), t_\mathrm{A} \approx 5{,}04 Jahre

Ges.: Zulässigkeit

\begin{aligned} &\text{(I)} && P_\mathrm{max} = U \cdot I_\mathrm{N} \end{aligned}

P_\mathrm{max} = 230\ \mathrm{V} \cdot 16\ \mathrm{A} = \underline{\underline{3680\ \mathrm{W}}} \qquad \sum P = 1600\ \mathrm{W} + 1100\ \mathrm{W} + 4 \cdot 80\ \mathrm{W} = \underline{\underline{3020\ \mathrm{W}}}

(je 1 Punkt) Weil 3020\ \mathrm{W} < 3680\ \mathrm{W} ist, darf alles gleichzeitig betrieben werden; es bleiben 660\ \mathrm{W} Reserve. Achtung: Der Anlaufstrom des Kompressors ist kurzzeitig größer, deshalb muss der Leitungsschutzschalter eine passende Auslösecharakteristik haben (1 Punkt).

Geg.: Batterie 3{,}6\ \mathrm{V}, Q = 2{,}4\ \mathrm{Ah}; Dauerstrom 0{,}8\ \mathrm{mA}; Taktbetrieb 18\ \mathrm{mA} für 30\ \mathrm{s} alle 15\ \mathrm{min}, sonst 40\ \mu\mathrm{A}; Laufzeit 2 Jahre, 20 % Reserve; Pufferakku 24\ \mathrm{V}, 7{,}2\ \mathrm{Ah}, 75 % nutzbar, I = 2{,}1\ \mathrm{A}; U_0 = 25{,}4\ \mathrm{V}, U_\mathrm{K} = 24{,}9\ \mathrm{V}

Ges.: t_1 bei 0{,}8\ \mathrm{mA}, I_\mathrm{m}, t_2

\begin{aligned} &\text{(I)} && Q = I \cdot t \\ &\text{(II)} && I_\mathrm{m} = \frac{I_\mathrm{a} \cdot t_\mathrm{a} + I_\mathrm{s} \cdot t_\mathrm{s}}{T} \end{aligned}

I nach t umstellen (1,5 Punkte):

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} Q & = & I \cdot t_1 & \color{gray}{:I} \\ t_1 & = & \dfrac{Q}{I} = \dfrac{2{,}4\ \mathrm{Ah}}{0{,}8\ \mathrm{mA}} = 3000\ \mathrm{h} = \underline{\underline{125\ \mathrm{d}}} & \end{array}

Mittlerer Strom mit T = 900\ \mathrm{s}, t_\mathrm{s} = 870\ \mathrm{s} (2 Punkte):

I_\mathrm{m} = \frac{18\ \mathrm{mA} \cdot 30\ \mathrm{s} + 40\ \mu\mathrm{A} \cdot 870\ \mathrm{s}}{900\ \mathrm{s}} \approx \underline{\underline{0{,}639\ \mathrm{mA}}}

Neue Betriebsdauer mit I (1,5 Punkte):

t_2 = \frac{2{,}4\ \mathrm{Ah}}{0{,}639\ \mathrm{mA}} \approx 3760\ \mathrm{h} \approx \underline{\underline{157\ \mathrm{d}}}

Mit gerundeten Zwischenergebnissen ergibt sich: t_2 \approx 3760\ \mathrm{h} \approx 157\ \mathrm{d}
Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: I_\mathrm{m} = 0{,}6387\ \mathrm{mA}, t_2 \approx 3758\ \mathrm{h} \approx 157\ \mathrm{d}

Ges.: Q_\mathrm{erf}

\begin{aligned} &\text{(I)} && Q = I \cdot t \end{aligned}

t = 2 \cdot 8760\ \mathrm{h} = 17\,520\ \mathrm{h} (1 Punkt):

Q = 0{,}639\ \mathrm{mA} \cdot 17\,520\ \mathrm{h} \approx 11{,}2\ \mathrm{Ah} \qquad Q_\mathrm{erf} = 1{,}2 \cdot 11{,}2\ \mathrm{Ah} \approx \underline{\underline{13{,}4\ \mathrm{Ah}}}

(2 Punkte) Die vorhandene Batterie reicht nicht; nötig ist z. B. eine größere Zelle oder eine Parallelschaltung mehrerer Zellen gleichen Typs.

Mit gerundeten Zwischenergebnissen ergibt sich: Q_\mathrm{erf} \approx 13{,}4\ \mathrm{Ah}
Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: Q_\mathrm{erf} \approx 13{,}4\ \mathrm{Ah} (13{,}43\ \mathrm{Ah})

Ges.: Überbrückungszeit t_\mathrm{Ü}

\begin{aligned} &\text{(I)} && Q = I \cdot t \end{aligned}

Nutzbare Kapazität Q_\mathrm{n} = 0{,}75 \cdot 7{,}2\ \mathrm{Ah} = 5{,}40\ \mathrm{Ah} (1 Punkt). I nach t umstellen (2 Punkte):

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} Q_\mathrm{n} & = & I \cdot t_\mathrm{Ü} & \color{gray}{:I} \\ t_\mathrm{Ü} & = & \dfrac{Q_\mathrm{n}}{I} = \dfrac{5{,}40\ \mathrm{Ah}}{2{,}1\ \mathrm{A}} \approx 2{,}57\ \mathrm{h} \approx \underline{\underline{154\ \mathrm{min}}} & \end{array}

Ges.: P_\mathrm{i}, R_\mathrm{i}

\begin{aligned} &\text{(I)} && P_\mathrm{i} = U_\mathrm{i} \cdot I \\ &\text{(II)} && U_\mathrm{i} = R_\mathrm{i} \cdot I \end{aligned}

Spannungsfall am Innenwiderstand U_\mathrm{i} = U_0 - U_\mathrm{K} = 25{,}4\ \mathrm{V} - 24{,}9\ \mathrm{V} = 0{,}5\ \mathrm{V} (1 Punkt):

P_\mathrm{i} = 0{,}5\ \mathrm{V} \cdot 2{,}1\ \mathrm{A} = \underline{\underline{1{,}05\ \mathrm{W}}}

(1 Punkt) II nach R_\mathrm{i} umstellen (1 Punkt):

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U_\mathrm{i} & = & R_\mathrm{i} \cdot I & \color{gray}{:I} \\ R_\mathrm{i} & = & \dfrac{U_\mathrm{i}}{I} = \dfrac{0{,}5\ \mathrm{V}}{2{,}1\ \mathrm{A}} \approx \underline{\underline{0{,}238\ \Omega}} & \end{array}

Geg.: U_\mathrm{E} = 24\ \mathrm{V}, U_\mathrm{A} = 5\ \mathrm{V}, I_\mathrm{A} = 120\ \mathrm{mA}, I_\mathrm{q} = 4\ \mathrm{mA}; Messwerte 24{,}1\ \mathrm{V}, 125\ \mathrm{mA}, 5{,}02\ \mathrm{V}, 121\ \mathrm{mA}; Kennlinie DC/DC-Wandler; Netzteil \eta_\mathrm{NT} = 0{,}90

Ges.: P_\mathrm{zu}, P_\mathrm{ab}, P_\mathrm{v}, \eta

\begin{aligned} &\text{(I)} && P = U \cdot I \\ &\text{(II)} && P_\mathrm{v} = P_\mathrm{zu} - P_\mathrm{ab} \\ &\text{(III)} && \eta = \frac{P_\mathrm{ab}}{P_\mathrm{zu}} \end{aligned}

Der Eingangsstrom ist I_\mathrm{E} = I_\mathrm{A} + I_\mathrm{q} = 124\ \mathrm{mA} (je Größe 1 Punkt):

P_\mathrm{zu} = 24\ \mathrm{V} \cdot 124\ \mathrm{mA} \approx \underline{\underline{2{,}98\ \mathrm{W}}} \qquad P_\mathrm{ab} = 5\ \mathrm{V} \cdot 120\ \mathrm{mA} = \underline{\underline{0{,}600\ \mathrm{W}}}

P_\mathrm{v} = 2{,}98\ \mathrm{W} - 0{,}600\ \mathrm{W} = \underline{\underline{2{,}38\ \mathrm{W}}} \qquad \eta = \frac{0{,}600\ \mathrm{W}}{2{,}98\ \mathrm{W}} \approx \underline{\underline{0{,}201}} = 20{,}1\ \%

Mit gerundeten Zwischenergebnissen ergibt sich: P_\mathrm{v} \approx 2{,}38\ \mathrm{W}, \eta \approx 0{,}201
Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: P_\mathrm{zu} = 2{,}976\ \mathrm{W}, P_\mathrm{v} \approx 2{,}38\ \mathrm{W}, \eta \approx 0{,}202

Ges.: Messanordnung, P_\mathrm{v} aus Messwerten

Gemessen werden gleichzeitig Eingangsstrom (Strommesser in der Zuleitung zum Eingang), Eingangsspannung (Spannungsmesser direkt zwischen Eingang und Masse des Reglers), Ausgangsstrom (Strommesser in der Leitung zur Last) und Ausgangsspannung (Spannungsmesser direkt zwischen Ausgang und Masse des Reglers) (1 Punkt).

P_\mathrm{v} = U_\mathrm{E} \cdot I_\mathrm{E} - U_\mathrm{A} \cdot I_\mathrm{A} = 24{,}1\ \mathrm{V} \cdot 125\ \mathrm{mA} - 5{,}02\ \mathrm{V} \cdot 121\ \mathrm{mA} = 3{,}013\ \mathrm{W} - 0{,}607\ \mathrm{W} \approx \underline{\underline{2{,}41\ \mathrm{W}}}

(2 Punkte) Das passt gut zur Rechnung in a).

Ges.: \eta_\mathrm{W} aus dem Datenblatt, P_\mathrm{zu}, P_\mathrm{v}

\begin{aligned} &\text{(I)} && \eta = \frac{P_\mathrm{ab}}{P_\mathrm{zu}} \\ &\text{(II)} && P_\mathrm{v} = P_\mathrm{zu} - P_\mathrm{ab} \end{aligned}

Abgelesen an der Kurve U_\mathrm{E} = 24\ \mathrm{V} bei I_\mathrm{A} = 120\ \mathrm{mA}: \underline{\underline{\eta_\mathrm{W} \approx 85\ \%}} (1 Punkt, 84 bis 86 % gelten als richtig). I nach P_\mathrm{zu} umstellen (1 Punkt):

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} \eta_\mathrm{W} & = & \dfrac{P_\mathrm{ab}}{P_\mathrm{zu}} & \color{gray}{\cdot P_\mathrm{zu} : \eta_\mathrm{W}} \\ P_\mathrm{zu} & = & \dfrac{P_\mathrm{ab}}{\eta_\mathrm{W}} = \dfrac{0{,}600\ \mathrm{W}}{0{,}85} \approx \underline{\underline{0{,}706\ \mathrm{W}}} & \end{array}

P_\mathrm{v} = 0{,}706\ \mathrm{W} - 0{,}600\ \mathrm{W} \approx \underline{\underline{0{,}106\ \mathrm{W}}}

(1 Punkt) Der Wandler setzt nur etwa ein Zweiundzwanzigstel der Verlustleistung des Linearreglers in Wärme um.

Ges.: zwei Vorteile, ein Nachteil

Vorteile (je 1 Punkt, zwei davon):

• deutlich weniger Verlustwärme (0{,}106\ \mathrm{W} statt 2{,}38\ \mathrm{W}), kein großer Kühlkörper nötig,

• geringere Leistungsaufnahme aus der 24-V-Versorgung (Energiekosten, kleineres Netzteil),

• kleinere Baugröße der Versorgung bei gleicher Leistung.

Nachteil (1 Punkt): Der Wandler schaltet schnell und erzeugt Störaussendungen und eine Restwelligkeit am Ausgang; er braucht Filter und sorgfältiges Platinenlayout (außerdem mehr Bauteile, höherer Preis).

Ges.: \eta_\mathrm{ges}, P_\mathrm{Netz}

\begin{aligned} &\text{(I)} && \eta_\mathrm{ges} = \eta_\mathrm{NT} \cdot \eta_\mathrm{W} \\ &\text{(II)} && P_\mathrm{zu} = \frac{P_\mathrm{ab}}{\eta} \end{aligned}

\eta_\mathrm{ges} = 0{,}90 \cdot 0{,}85 \approx \underline{\underline{0{,}765}} \qquad P_\mathrm{Netz} = \frac{0{,}600\ \mathrm{W}}{0{,}765} \approx \underline{\underline{0{,}784\ \mathrm{W}}}

(je 1 Punkt)

Geg.: Versorgung der Elektronik 3{,}3\ \mathrm{V} über DC/DC-Wandler \eta = 0{,}85 aus 12\ \mathrm{V}; Funkmodul 45\ \mathrm{mA}, 5\ \mathrm{s} je 300\ \mathrm{s}; Pegelsensor 1{,}2\ \mathrm{mA}; Laderegler 4\ \mathrm{mA} an 12\ \mathrm{V}; Solarmodul A = 0{,}030\ \mathrm{m^2}, 5{,}0\ \mathrm{W} bei 1000\ \mathrm{W/m^2}; Autonomie 5 Tage, 50 % nutzbar; Transistor P_\mathrm{tot,25} = 1{,}25\ \mathrm{W}, k_\mathrm{D} = 10\ \mathrm{mW/K}, U_\mathrm{CE} = 2{,}2\ \mathrm{V}, I_\mathrm{C} = 0{,}42\ \mathrm{A}, \vartheta = 55\ \mathrm{°C}

Ges.: I_\mathrm{µC} bei 12\ \mathrm{MHz}, W_\mathrm{Tag} bezogen auf den Akku

\begin{aligned} &\text{(I)} && P = U \cdot I \\ &\text{(II)} && W = P \cdot t \\ &\text{(III)} && P_\mathrm{zu} = \frac{P_\mathrm{ab}}{\eta} \end{aligned}

Abgelesen bei 3{,}3\ \mathrm{V} und 12\ \mathrm{MHz}: \underline{\underline{I_\mathrm{µC} \approx 2{,}8\ \mathrm{mA}}} (1 Punkt). Mittlerer Strom des Funkmoduls I_\mathrm{F} = 45\ \mathrm{mA} \cdot \frac{5\ \mathrm{s}}{300\ \mathrm{s}} = 0{,}75\ \mathrm{mA} (1 Punkt). Summe an 3{,}3\ \mathrm{V} (1 Punkt):

I_{3,3} = 2{,}8\ \mathrm{mA} + 0{,}75\ \mathrm{mA} + 1{,}2\ \mathrm{mA} = 4{,}75\ \mathrm{mA}

Energie je Tag an 3{,}3\ \mathrm{V}, dann über den Wandler auf den Akku bezogen (1 Punkt):

W_{3,3} = 3{,}3\ \mathrm{V} \cdot 4{,}75\ \mathrm{mA} \cdot 24\ \mathrm{h} \approx 0{,}376\ \mathrm{Wh} \qquad W_\mathrm{W} = \frac{0{,}376\ \mathrm{Wh}}{0{,}85} \approx 0{,}442\ \mathrm{Wh}

Laderegler (1 Punkt) und Summe (1 Punkt):

W_\mathrm{LR} = 12\ \mathrm{V} \cdot 4\ \mathrm{mA} \cdot 24\ \mathrm{h} \approx 1{,}15\ \mathrm{Wh} \qquad W_\mathrm{Tag} = 0{,}442\ \mathrm{Wh} + 1{,}15\ \mathrm{Wh} \approx \underline{\underline{1{,}59\ \mathrm{Wh}}}

Mit gerundeten Zwischenergebnissen ergibt sich: W_\mathrm{Tag} \approx 1{,}59\ \mathrm{Wh}
Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: mit I_\mathrm{µC} = 2{,}77\ \mathrm{mA}: W_\mathrm{Tag} \approx 1{,}59\ \mathrm{Wh} (1{,}592\ \mathrm{Wh})

Ges.: I_\mathrm{µC} bei 2\ \mathrm{MHz}, Einsparung in %

Abgelesen: \underline{\underline{I_\mathrm{µC} \approx 0{,}7\ \mathrm{mA}}} (1 Punkt). Der Strom an 3{,}3\ \mathrm{V} sinkt um 2{,}1\ \mathrm{mA} auf 2{,}65\ \mathrm{mA} (1 Punkt):

W_\mathrm{Tag,neu} = \frac{3{,}3\ \mathrm{V} \cdot 2{,}65\ \mathrm{mA} \cdot 24\ \mathrm{h}}{0{,}85} + 1{,}15\ \mathrm{Wh} \approx 0{,}247\ \mathrm{Wh} + 1{,}15\ \mathrm{Wh} \approx 1{,}40\ \mathrm{Wh}

\frac{1{,}59\ \mathrm{Wh} - 1{,}40\ \mathrm{Wh}}{1{,}59\ \mathrm{Wh}} \cdot 100\ \% \approx \underline{\underline{11{,}9\ \%}}

(1 Punkt) Der größte Verbraucher ist jetzt der Laderegler selbst.

Mit gerundeten Zwischenergebnissen ergibt sich: W_\mathrm{Tag,neu} \approx 1{,}40\ \mathrm{Wh}, Einsparung \approx 11{,}9\ \%
Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: mit I_\mathrm{µC} = 0{,}67\ \mathrm{mA}: W_\mathrm{Tag,neu} \approx 1{,}40\ \mathrm{Wh} (1{,}396\ \mathrm{Wh}), Einsparung \approx 12{,}3\ \%

Ges.: \eta_\mathrm{Modul}

\begin{aligned} &\text{(I)} && P_\mathrm{zu} = E \cdot A \\ &\text{(II)} && \eta = \frac{P_\mathrm{ab}}{P_\mathrm{zu}} \end{aligned}

P_\mathrm{zu} = 1000\ \mathrm{W/m^2} \cdot 0{,}030\ \mathrm{m^2} = 30{,}0\ \mathrm{W} \qquad \eta = \frac{5{,}0\ \mathrm{W}}{30{,}0\ \mathrm{W}} \approx \underline{\underline{0{,}167}} = 16{,}7\ \%

(I: 1 Punkt, II: 2 Punkte)

Ges.: Q_\mathrm{erf}

\begin{aligned} &\text{(I)} && W = U \cdot Q \\ &\text{(II)} && W_\mathrm{erf} = \frac{W_\mathrm{Tag} \cdot n}{0{,}5} \end{aligned}

Energie für 5 Tage und mit 50 % Nutzbarkeit (2 Punkte):

W_\mathrm{erf} = \frac{1{,}40\ \mathrm{Wh} \cdot 5}{0{,}5} = 14{,}0\ \mathrm{Wh}

I nach Q umstellen (2 Punkte):

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} W_\mathrm{erf} & = & U \cdot Q_\mathrm{erf} & \color{gray}{:U} \\ Q_\mathrm{erf} & = & \dfrac{W_\mathrm{erf}}{U} = \dfrac{14{,}0\ \mathrm{Wh}}{12\ \mathrm{V}} \approx \underline{\underline{1{,}17\ \mathrm{Ah}}} & \end{array}

Gewählt wird z. B. ein Akku mit 2\ \mathrm{Ah} (Reserve für Alterung und Kälte).

Mit gerundeten Zwischenergebnissen ergibt sich: Q_\mathrm{erf} \approx 1{,}17\ \mathrm{Ah}
Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: mit W_\mathrm{Tag,neu} = 1{,}396\ \mathrm{Wh}: Q_\mathrm{erf} \approx 1{,}16\ \mathrm{Ah} (1{,}163\ \mathrm{Ah})

Ges.: Zulässigkeit bei 55\ \mathrm{°C}, \vartheta_\mathrm{max}

\begin{aligned} &\text{(I)} && P_\mathrm{v} = U_\mathrm{CE} \cdot I_\mathrm{C} \\ &\text{(II)} && P_\mathrm{tot}(\vartheta) = P_\mathrm{tot,25} - k_\mathrm{D} \cdot (\vartheta - 25\ \mathrm{°C}) \end{aligned}

P_\mathrm{v} = 2{,}2\ \mathrm{V} \cdot 0{,}42\ \mathrm{A} = \underline{\underline{0{,}924\ \mathrm{W}}} \qquad P_\mathrm{tot}(55\ \mathrm{°C}) = 1{,}25\ \mathrm{W} - 0{,}01\ \mathrm{W/K} \cdot 30\ \mathrm{K} = \underline{\underline{0{,}950\ \mathrm{W}}}

(je 1 Punkt) Mit 0{,}924\ \mathrm{W} < 0{,}950\ \mathrm{W} ist der Betrieb gerade noch zulässig, aber ohne nennenswerte Reserve. II mit P_\mathrm{tot} = P_\mathrm{v} nach \vartheta umstellen (2 Punkte):

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} P_\mathrm{v} & = & P_\mathrm{tot,25} - k_\mathrm{D} \cdot (\vartheta_\mathrm{max} - 25\ \mathrm{°C}) & \color{gray}{-P_\mathrm{tot,25},\ :(-k_\mathrm{D})} \\ \vartheta_\mathrm{max} - 25\ \mathrm{°C} & = & \dfrac{P_\mathrm{tot,25} - P_\mathrm{v}}{k_\mathrm{D}} = \dfrac{1{,}25\ \mathrm{W} - 0{,}924\ \mathrm{W}}{0{,}01\ \mathrm{W/K}} = 32{,}6\ \mathrm{K} & \color{gray}{+25\ \mathrm{°C}} \\ \vartheta_\mathrm{max} & = & \underline{\underline{57{,}6\ \mathrm{°C}}} & \end{array}

Schon wenige Grad mehr im Gehäuse überlasten den Transistor; ein Kühlkörper oder eine bessere Belüftung ist sinnvoll.