Übungsaufgaben zu Konstantstromquellen

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Bauplan: Halte Dich an Aufbau, Kompetenzstufen, Operatoren,
Anforderungsbereiche, Punkte und Zeitschätzung, die im Artikel
https://oer-informatik.de/aufgaben-aufbau beschrieben sind.

Fachliche Grundlage:
- https://oer-informatik.de/konstantstromquellen
- https://oer-informatik.de/linearregler
- https://oer-informatik.de/transistor-als-schalter
- https://oer-informatik.de/temperatursensoren
- Stilbeispiel: https://oer-informatik.de/konstantstromquellen-uebungsaufgaben

Die Aufgaben sollen Inhalte zu diesen Schlagwörtern abdecken:
- Konstantstromquelle
- LM317
- Stromeinstellwiderstand
- Einstellbereich
- Transistor-Stromquelle
- Diodenreferenz
- Emitterwiderstand
- Pt1000
- Konstantstromspeisung
- Eigenerwärmung

Kompetenzstufe: Basiskompetenz (alternativ: Kernkompetenz, Profilkompetenz, Expertise)
Anzahl: 1 Aufgabe mit Teilaufgaben
Bearbeitungszeit in Minuten ca.: <5 bis 30 min>
Szenario: eines der Szenarien aus dem Bauplan

Vorgehen:
1. Lies zuerst die verlinkten Artikel. Kannst Du keine Webseiten
   abrufen, sag mir das, statt zu raten.
2. Steht bei einer Angabe noch ein Platzhalter in <…>, frag mich
   zuerst danach. Richte Punkte und Zahl der Teilaufgaben nach der
   Bearbeitungszeit (ca. 0,9 min je Punkt).
3. Gib je Aufgabe Titel mit Kompetenzstufe, Ausgangssituation und
   Teilaufgaben mit Operator und Punktzahl aus, dazu die geschätzte
   Bearbeitungszeit.
4. Gib die Beispiellösungen mit Punkteverteilung erst aus, wenn ich
   danach frage.

Geg.: LM317 als Stromquelle; R_1 fest, R_2 einstellbar in Reihe zwischen OUT und ADJ; U_\mathrm{ref} = 1{,}25\ \mathrm{V}; U_\mathrm{DO} \leq 2{,}0\ \mathrm{V}; I_\mathrm{Adj} vernachlässigbar

Ges.: Erklärung

Der LM317 regelt seine Ausgangsspannung so, dass zwischen OUT und ADJ immer 1{,}25\ \mathrm{V} liegen. Diese Spannung liegt an der Reihenschaltung aus R_1 und R_2, deshalb fließt durch sie der feste Strom I = 1{,}25\ \mathrm{V} : (R_1 + R_2) (1 Punkt). Weil aus dem ADJ-Anschluss kaum Strom kommt, fließt genau dieser Strom weiter durch den Akkupack. Steigt die Akkuspannung, hebt der Regler einfach seine Ausgangsspannung um denselben Betrag an; der Strom bleibt gleich (1 Punkt).

Geg.: I_\mathrm{L} = 180\ \mathrm{mA}

Ges.: R_\mathrm{S} = R_1 + R_2

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} I_\mathrm{L} & = & \frac{U_\mathrm{ref}}{R_\mathrm{S}} & \color{gray}{\cdot R_\mathrm{S}} \\ I_\mathrm{L} \cdot R_\mathrm{S} & = & U_\mathrm{ref} & \color{gray}{: I_\mathrm{L}} \\ R_\mathrm{S} & = & \frac{U_\mathrm{ref}}{I_\mathrm{L}} = \frac{1{,}25\ \mathrm{V}}{0{,}180\ \mathrm{A}} \approx \underline{\underline{6{,}94\ \Omega}} & \end{array}

Ansatz 1 Punkt, Ergebnis 1 Punkt. Mit R_1 = 5{,}00\ \Omega aus Teilaufgabe c) muss R_2 dafür auf etwa 1{,}94\ \Omega stehen.

Geg.: I_\mathrm{min} = 100\ \mathrm{mA}, I_\mathrm{max} = 250\ \mathrm{mA}

Ges.: R_1, R_{2,\mathrm{max}}

Den größten Strom liefert die Schaltung bei R_2 = 0; dann bestimmt R_1 allein den Strom. Den kleinsten Strom liefert sie, wenn R_2 voll eingestellt ist (1 Punkt):

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} R_1 & = & \frac{U_\mathrm{ref}}{I_\mathrm{max}} = \frac{1{,}25\ \mathrm{V}}{0{,}250\ \mathrm{A}} = \underline{\underline{5{,}00\ \Omega}} & \\ R_1 + R_{2,\mathrm{max}} & = & \frac{U_\mathrm{ref}}{I_\mathrm{min}} = \frac{1{,}25\ \mathrm{V}}{0{,}100\ \mathrm{A}} = 12{,}5\ \Omega & \color{gray}{- R_1} \\ R_{2,\mathrm{max}} & = & 12{,}5\ \Omega - 5{,}00\ \Omega = \underline{\underline{7{,}50\ \Omega}} & \end{array}

Je Widerstand 1 Punkt. R_2 muss also mindestens bis 7{,}50\ \Omega reichen; ein einstellbarer Widerstand mit 10\ \Omega deckt den Bereich ab (kleinster Strom dann 1{,}25\ \mathrm{V} : 15\ \Omega \approx 83{,}3\ \mathrm{mA}). Er muss für den vollen Ladestrom ausgelegt sein.

Ges.: P_\mathrm{R1,max}; Belastbarkeit

Die Verlustleistung in R_1 ist am größten beim größten Strom, also bei R_2 = 0; dann liegt die ganze Referenzspannung an R_1:

\begin{aligned} &\text{(I)} && P = U \cdot I \\ &\text{(II)} && I = \frac{U}{R} \end{aligned}

II in I:

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} P_\mathrm{R1,max} & = & \frac{U_\mathrm{ref}^2}{R_1} = \frac{(1{,}25\ \mathrm{V})^2}{5{,}00\ \Omega} \approx \underline{\underline{0{,}313\ \mathrm{W}}} & \end{array}

Gewählt wird die Belastbarkeit 0{,}5\ \mathrm{W} (der Widerstand ist dann zu knapp zwei Dritteln ausgelastet); 0{,}25\ \mathrm{W} reicht nicht. Rechnung 1 Punkt, Auswahl mit Begründung 1 Punkt.

Geg.: U_\mathrm{Zelle,max} = 1{,}48\ \mathrm{V}, 4 Zellen

Ges.: U_\mathrm{E,min}

\begin{aligned} &\text{(I)} && U_\mathrm{Akku,max} = 4 \cdot U_\mathrm{Zelle,max} \\ &\text{(II)} && U_\mathrm{E,min} = U_\mathrm{Akku,max} + U_\mathrm{ref} + U_\mathrm{DO} \end{aligned}

I in II:

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U_\mathrm{Akku,max} & = & 4 \cdot 1{,}48\ \mathrm{V} = 5{,}92\ \mathrm{V} & \\ U_\mathrm{E,min} & = & 5{,}92\ \mathrm{V} + 1{,}25\ \mathrm{V} + 2{,}0\ \mathrm{V} = \underline{\underline{9{,}17\ \mathrm{V}}} & \end{array}

Akkuspannung 1 Punkt, Summe mit Referenz- und Dropout-Spannung 1 Punkt. Unterhalb von etwa 9{,}2\ \mathrm{V} kann der Regler die 1{,}25\ \mathrm{V} an R_1 + R_2 nicht mehr halten, und der Ladestrom sinkt.

Ges.: richtige Aussage

Richtig ist (C): Der Regler hält 1{,}25\ \mathrm{V} zwischen OUT und ADJ, der Strom ist 1{,}25\ \mathrm{V} : (R_1 + R_2) (1 Punkt).

Falsch (1 Punkt für die Begründungen insgesamt): (A) Eine höhere Eingangsspannung nimmt der Regler auf, der Strom bleibt gleich – nur seine Verlustleistung steigt. (B) Ein größerer Widerstand verkleinert den Strom, weil er im Nenner steht. (D) Ein zweiter Akkupack erhöht nur die Lastspannung; der Strom bleibt gleich, solange die Eingangsspannung für beide Packs reicht.

Geg.: U_\mathrm{B} = 15{,}0\ \mathrm{V}, U_\mathrm{F} = 2{,}10\ \mathrm{V}, U_\mathrm{BE} = 0{,}65\ \mathrm{V}, B \geq 200, U_\mathrm{CE,sat} = 0{,}2\ \mathrm{V}; I_\mathrm{soll} = 0{,}30\ \mathrm{mA}, I_\mathrm{LED} \approx 1\ \mathrm{mA}; Kennwerttabelle Pt1000

Ges.: Erklärung der Funktion

• LED: V_2 wird über R_1 mit einem festen Strom betrieben und hält die Basis von V_1 auf der festen Spannung U_\mathrm{F} gegenüber Masse (1 Punkt).

• Emitterwiderstand: Basis-Emitter-Strecke und R_\mathrm{E} liegen parallel zur LED; an R_\mathrm{E} bleibt deshalb die feste Spannung U_\mathrm{RE} = U_\mathrm{F} - U_\mathrm{BE}. Damit ist der Emitterstrom U_\mathrm{RE} : R_\mathrm{E} festgelegt, und der Kollektorstrom durch den Sensor ist nur um den kleinen Basisstrom kleiner (1 Punkt).

• Regelung: Will der Strom steigen, steigt die Spannung an R_\mathrm{E}; weil die Basisspannung fest ist, wird U_\mathrm{BE} kleiner, der Transistor leitet weniger und der Strom geht zurück (Stromgegenkopplung). Ändert sich der Sensorwiderstand, ändert sich deshalb nur die Spannung am Sensor, nicht der Strom (1 Punkt).

• Temperaturverhalten: Die Flussspannung der LED sinkt mit steigender Temperatur ähnlich wie U_\mathrm{BE}; die Änderungen heben sich in U_\mathrm{RE} weitgehend auf. Weil U_\mathrm{RE} mit 1{,}45\ \mathrm{V} deutlich größer ist als bei einer einzelnen Siliziumdiode, wirken Streuungen von U_\mathrm{BE} schwächer (1 Punkt).

Ges.: R_\mathrm{E}, R_1 (E24); I mit gewähltem R_\mathrm{E}

\begin{aligned} &\text{(I)} && U_\mathrm{RE} = U_\mathrm{F} - U_\mathrm{BE} \\ &\text{(II)} && I = \frac{U_\mathrm{RE}}{R_\mathrm{E}} \end{aligned}

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U_\mathrm{RE} & = & 2{,}10\ \mathrm{V} - 0{,}65\ \mathrm{V} = 1{,}45\ \mathrm{V} & \\ I & = & \frac{U_\mathrm{RE}}{R_\mathrm{E}} & \color{gray}{\cdot R_\mathrm{E}} \\ I \cdot R_\mathrm{E} & = & U_\mathrm{RE} & \color{gray}{: I} \\ R_\mathrm{E} & = & \frac{U_\mathrm{RE}}{I} = \frac{1{,}45\ \mathrm{V}}{0{,}30\ \mathrm{mA}} \approx \underline{\underline{4{,}83\ \mathrm{k\Omega}}} & \end{array}

Gewählt: R_\mathrm{E} = 4{,}7\ \mathrm{k\Omega} (E24, nächstliegender Wert). Damit fließt

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} I & = & \frac{1{,}45\ \mathrm{V}}{4{,}7\ \mathrm{k\Omega}} \approx \underline{\underline{0{,}309\ \mathrm{mA}}} & \end{array}

Für R_1 (Strom durch R_1 = LED-Strom + Basisstrom; Spannung an R_1 = U_\mathrm{B} - U_\mathrm{F}):

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} I_\mathrm{B} & = & \frac{I}{B} = \frac{0{,}30\ \mathrm{mA}}{200} = 1{,}5\ \mathrm{\mu A} & \\ R_1 & = & \frac{U_\mathrm{B} - U_\mathrm{F}}{I_\mathrm{LED} + I_\mathrm{B}} = \frac{15{,}0\ \mathrm{V} - 2{,}10\ \mathrm{V}}{1{,}00\ \mathrm{mA} + 0{,}0015\ \mathrm{mA}} \approx \underline{\underline{12{,}9\ \mathrm{k\Omega}}} & \end{array}

Gewählt: R_1 = 13\ \mathrm{k\Omega} (E24), LED-Strom dann etwa 12{,}9\ \mathrm{V} : 13\ \mathrm{k\Omega} \approx 0{,}992\ \mathrm{mA}. Der Basisstrom ist so klein, dass er auch hätte vernachlässigt werden dürfen.

U_\mathrm{RE} 1 Punkt, R_\mathrm{E} mit E24-Wert 1 Punkt, Strom 1 Punkt, R_1 mit E24-Wert 2 Punkte.

Ges.: U_\vartheta bei -20\ \mathrm{^\circ C} und +10\ \mathrm{^\circ C}; Arbeitsbereich

Aus der Tabelle (Dezimalpunkt): R_\vartheta(-20\ \mathrm{^\circ C}) = 921{,}60\ \Omega, R_\vartheta(+10\ \mathrm{^\circ C}) = 1039{,}03\ \Omega (1 Punkt).

\begin{aligned} &\text{(I)} && U_\vartheta = I \cdot R_\vartheta \\ &\text{(II)} && U_\mathrm{\vartheta,max} = U_\mathrm{B} - U_\mathrm{RE} - U_\mathrm{CE,sat} \end{aligned}

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U_\vartheta(-20\ ^\circ\mathrm{C}) & = & 0{,}309\ \mathrm{mA} \cdot 921{,}60\ \Omega \approx \underline{\underline{0{,}285\ \mathrm{V}}} & \\ U_\vartheta(+10\ ^\circ\mathrm{C}) & = & 0{,}309\ \mathrm{mA} \cdot 1039{,}03\ \Omega \approx \underline{\underline{0{,}321\ \mathrm{V}}} & \end{array}

Mit gerundeten Zwischenergebnissen ergibt sich: 0{,}285\ \mathrm{V} und 0{,}321\ \mathrm{V}.

Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: 1{,}45\ \mathrm{V} : 4{,}7\ \mathrm{k\Omega} \cdot 921{,}60\ \Omega \approx 0{,}284\ \mathrm{V} und \approx 0{,}321\ \mathrm{V}.

Spannungen 2 Punkte. Arbeitsbereich (1 Punkt):

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U_\mathrm{\vartheta,max} & = & 15{,}0\ \mathrm{V} - 1{,}45\ \mathrm{V} - 0{,}2\ \mathrm{V} \approx \underline{\underline{13{,}4\ \mathrm{V}}} & \end{array}

Die größte Sensorspannung von etwa 0{,}32\ \mathrm{V} liegt weit darunter; der Transistor bleibt sicher im aktiven Bereich, die Schaltung arbeitet als Stromquelle.

Ges.: Eigenerwärmung \Delta\vartheta bei +10\ \mathrm{^\circ C}; Beurteilung; \Delta\vartheta bei 1\ \mathrm{mA}

\begin{aligned} &\text{(I)} && P = I^2 \cdot R_\vartheta \\ &\text{(II)} && \Delta\vartheta = k_\mathrm{E} \cdot P \end{aligned}

I in II (k_\mathrm{E} = 0{,}4\ \mathrm{K/mW}, self-heating coefficient):

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} P & = & (0{,}309\ \mathrm{mA})^2 \cdot 1039{,}03\ \Omega \approx 0{,}0992\ \mathrm{mW} & \\ \Delta\vartheta & = & 0{,}4\ \mathrm{K/mW} \cdot 0{,}0992\ \mathrm{mW} \approx \underline{\underline{0{,}0397\ \mathrm{K}}} & \end{array}

Mit gerundeten Zwischenergebnissen ergibt sich: \Delta\vartheta \approx 0{,}0397\ \mathrm{K}.

Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: P \approx 0{,}0989\ \mathrm{mW}, \Delta\vartheta \approx 0{,}0396\ \mathrm{K}.

Rechnung 2 Punkte. Beurteilung (1 Punkt): Der Strom liegt knapp über dem empfohlenen Messstrom (0{,}3\ \mathrm{mA}) und liegt im zulässigen Bereich. Die Eigenerwärmung von rund 0{,}04\ \mathrm{K} ist klein gegenüber der Toleranz der Klasse B bei 10\ \mathrm{^\circ C} (\pm(0{,}30 + 0{,}005 \cdot 10)\ \mathrm{K} = \pm 0{,}35\ \mathrm{K}); der Messstrom ist passend gewählt.

Höchster zulässiger Strom (1 Punkt): Bei 1\ \mathrm{mA} wären es P = (1\ \mathrm{mA})^2 \cdot 1039{,}03\ \Omega \approx 1{,}04\ \mathrm{mW} und \Delta\vartheta \approx 0{,}416\ \mathrm{K} – mehr als die Toleranz. Weil der Strom quadratisch eingeht, bringt der dreifache Strom die neunfache Eigenerwärmung.

Ges.: Begründung Konstantstromspeisung

Je Argument 1 Punkt, z. B.:

• Bei konstantem Strom ist U_\vartheta = I \cdot R_\vartheta proportional zum Sensorwiderstand; die Messspannung folgt der Platin-Kennlinie linear und die Empfindlichkeit ist im ganzen Bereich gleich. Beim Spannungsteiler steht R_\vartheta auch im Nenner, die Kennlinie wird gekrümmt und muss in der Steuerung umgerechnet werden.

• Schwankungen der Versorgungsspannung U_\mathrm{B} ändern den Strom nicht und verfälschen deshalb die Messung nicht; beim Spannungsteiler geht jede Spannungsänderung direkt ins Ergebnis ein.

• Die Eigenerwärmung I^2 \cdot R_\vartheta ist durch den festen Strom klein und bekannt.

• Mit Konstantstrom ist eine Vierleitermessung möglich: Die Spannung wird stromlos direkt am Sensor abgegriffen, der Widerstand der langen Leitungen in die Kühlzelle verfälscht die Messung nicht.