Übungsaufgaben zur Kostenrechnung: fixe und variable Kosten, Deckungsbeitrag, Break-even-Point und Preisuntergrenze

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Erstelle neue Übungsaufgaben zum Thema „Kostenrechnung: fixe und
variable Kosten, Deckungsbeitrag, Break-even-Point und
Preisuntergrenze“.

Bauplan: Halte Dich an Aufbau, Kompetenzstufen, Operatoren,
Anforderungsbereiche, Punkte und Zeitschätzung, die im Artikel
https://oer-informatik.de/aufgaben-aufbau beschrieben sind.

Fachliche Grundlage:
- https://oer-informatik.de/kostenrechnung-break-even
- https://oer-informatik.de/kalkulation
- Stilbeispiel: https://oer-informatik.de/kostenrechnung-break-even-uebungsaufgaben

Die Aufgaben sollen Inhalte zu diesen Schlagwörtern abdecken:
- Kostenrechnung
- fixe Kosten
- variable Kosten
- Abschreibung
- Fixkostendegression
- Deckungsbeitrag
- Break-even-Point
- Gewinnschwelle
- Preisuntergrenze

Kompetenzstufe: Kernkompetenz (alternativ: Basiskompetenz, Profilkompetenz, Expertise)
Anzahl: 1 Aufgabe mit Teilaufgaben
Bearbeitungszeit in Minuten ca.: <5 bis 30 min>
Szenario: eines der Szenarien aus dem Bauplan

Vorgehen:
1. Lies zuerst die verlinkten Artikel. Kannst Du keine Webseiten
   abrufen, sag mir das, statt zu raten.
2. Steht bei einer Angabe noch ein Platzhalter in <…>, frag mich
   zuerst danach. Richte Punkte und Zahl der Teilaufgaben nach der
   Bearbeitungszeit (ca. 0,9 min je Punkt).
3. Gib je Aufgabe Titel mit Kompetenzstufe, Ausgangssituation und
   Teilaufgaben mit Operator und Punktzahl aus, dazu die geschätzte
   Bearbeitungszeit.
4. Gib die Beispiellösungen mit Punkteverteilung erst aus, wenn ich
   danach frage.

• Fehler 1, Arbeitsplatz: Jonas setzt den vollen Kaufpreis von 2.160 € in jedem Monat an. Der Arbeitsplatz wird aber drei Jahre genutzt; in die monatlichen Fixkosten gehört nur die Abschreibung 2.160\,€ : 36 = 60\,€. (2 Punkte)
• Fehler 2, Grundgebühr: Die Grundgebühr fällt einmal im Monat an, egal wie viele Meldungen geprüft werden. Sie ist fix und darf nicht mit der Menge multipliziert werden; nur die 1,35 € je Meldung sind variabel. (2 Punkte)

Richtige Kostenfunktionen (bis 2.500 Meldungen, also mit einer Teilzeitkraft):

K_{eigen} = 2.280\,€ + 60\,€ + 0{,}15\,€ \cdot x = 2.340\,€ + 0{,}15\,€ \cdot x (1 Punkt)

K_{Dienstleister} = 180\,€ + 1{,}35\,€ \cdot x (1 Punkt)

Ges.: Kosten k je Meldung, k = \dfrac{K}{x}

Je richtigem Wert 0,5 Punkte (2 Punkte).

Erklärung (3 Punkte): Die eigene Moderation besteht fast nur aus Fixkosten (2.340 € im Monat). Werden mehr Meldungen geprüft, verteilen sich diese gleichbleibenden Kosten auf mehr Meldungen; die Kosten je Meldung sinken stark (Fixkostendegression). Beim Dienstleister ist fast alles variabel: Jede Meldung kostet 1,35 €, nur die kleine Grundgebühr verteilt sich. Seine Kosten je Meldung nähern sich deshalb kaum merklich den 1,35 € an.

Abgelesen: Die eigene Moderation ist zwischen rund 1.800 und 2.500 Meldungen günstiger und wieder ab rund 3.750 Meldungen. (1 Punkt)

Erste Grenze (eine Teilzeitkraft):

2.340\,€ + 0{,}15\,€ \cdot x = 180\,€ + 1{,}35\,€ \cdot x \quad | - 180\,€ - 0{,}15\,€ \cdot x

2.160\,€ = 1{,}20\,€ \cdot x \quad | : 1{,}20\,€

x = \underline{\underline{1.800\ \text{Meldungen}}} (2 Punkte)

Zweite Grenze (zwei Teilzeitkräfte, Fixkosten 2 \cdot 2.340\,€ = 4.680\,€):

4.680\,€ + 0{,}15\,€ \cdot x = 180\,€ + 1{,}35\,€ \cdot x \quad \Rightarrow \quad 4.500\,€ = 1{,}20\,€ \cdot x \quad \Rightarrow \quad x = \underline{\underline{3.750\ \text{Meldungen}}} (2 Punkte)

Sprung (1 Punkt): sprungfixe Kosten. Die Personal- und Arbeitsplatzkosten bleiben bis zur Kapazitätsgrenze gleich und steigen dann auf einen Schlag um eine ganze Stelle.

K_{eigen} = 4.680\,€ + 0{,}15\,€ \cdot 3.000 = \underline{\underline{5.130{,}00\,€}}; K_{Dienstleister} = 180\,€ + 1{,}35\,€ \cdot 3.000 = \underline{\underline{4.230{,}00\,€}} (1 Punkt)

Empfehlung (2 Punkte), z. B.: Bei heute 1.500 Meldungen ist der Dienstleister günstiger (2.205 € statt 2.565 €). Bei 2.400 Meldungen spart die eigene Moderation 720 € im Monat, bei 3.000 Meldungen wäre sie wegen der zweiten Stelle 900 € teurer. Die eigene Lösung lohnt sich also nur in einem schmalen Korridor zwischen 1.800 und 2.500 Meldungen. Solange die Entwicklung unsicher ist, spricht viel dafür, mit dem Dienstleister zu starten und die Entscheidung bei stabil über 1.800 Meldungen neu zu prüfen.

Nicht in Euro messbare Gesichtspunkte (je 1 Punkt), z. B.:

• Datenschutz: Beim Dienstleister sehen Externe Chats und Profile, auch von 16- und 17-Jährigen; es braucht einen Vertrag zur Auftragsverarbeitung.
• Fachwissen und Qualität: Eine eigene Kraft kennt die Regeln der App (Mindestalter, Treffpunkte) genau; ein Dienstleister bringt dafür Erfahrung mit vielen Plattformen mit.
• Ausfallsicherheit: Eine einzelne Teilzeitkraft fällt bei Urlaub oder Krankheit aus; ein Dienstleister kann vertraglich feste Reaktionszeiten zusagen.

Die Entwicklungskosten entstehen unabhängig davon, wie viele Fahrräder später angeschlossen werden: Ob 12 oder 400 Räder, die Plattform kostet gleich viel. Kosten, die nicht von der Ausbringungsmenge abhängen, sind fixe Kosten. (2 Punkte) Weil die Plattform drei Jahre genutzt wird, verteilst Du die 36.000 € als Abschreibung von 12.000 € je Jahr auf diese Zeit; dieser Betrag ist in jedem Jahr fix. (1 Punkt)

Je richtiger Nennung 0,5 Punkte, z. B.: Bruttogehalt, Arbeitgeberanteil zur Sozialversicherung (Renten-, Kranken-, Pflege-, Arbeitslosenversicherung), Beitrag zur Berufsgenossenschaft (Unfallversicherung), Urlaubs- oder Weihnachtsgeld, Weiterbildungskosten, Zuschuss zur betrieblichen Altersvorsorge, Arbeitsplatzausstattung.

Geg.: siehe Planzahlen; x_1 = 12 Räder, x_2 = 400 Räder

Ges.: Gesamtkosten K im ersten Jahr

I: K_f = 36.000\,€ : 3 + 250\,€ \cdot 12 + 18.000\,€ = 12.000\,€ + 3.000\,€ + 18.000\,€ = 33.000\,€ (2 Punkte)

II: k_v = 42{,}00\,€ + 1{,}80\,€ \cdot 12 = 63{,}60\,€ je Rad und Jahr (1 Punkt)

III: K = K_f + k_v \cdot x

K_{12} = 33.000\,€ + 63{,}60\,€ \cdot 12 = \underline{\underline{33.763{,}20\,€}} (1 Punkt)

K_{400} = 33.000\,€ + 63{,}60\,€ \cdot 400 = \underline{\underline{58.440{,}00\,€}} (1 Punkt)

Ges.: Kosten k je Rad und Monat

k = \dfrac{K}{x \cdot 12}

k_{12} = \dfrac{33.763{,}20\,€}{144} \approx \underline{\underline{234{,}47\,€}} (1 Punkt)

k_{400} = \dfrac{58.440{,}00\,€}{4.800} = 12{,}175\,€ \approx \underline{\underline{12{,}18\,€}} (1 Punkt)

Erläuterung (2 Punkte): Die Fixkosten von 33.000 € fallen in beiden Fällen in voller Höhe an. Bei 12 Rädern trägt jedes Rad einen sehr großen Anteil davon, bei 400 Rädern verteilen sie sich auf viel mehr Räder (Fixkostendegression). Die variablen Kosten je Rad (5,30 € im Monat) bleiben gleich.

Je erläutertem Grund 2 Punkte, z. B.:

• Deckungsbeitrag: 9,90 € liegen über den variablen Kosten von 5,30 € je Rad und Monat (63{,}60\,€ : 12). Jedes Rad trägt 4,60 € im Monat zu den Fixkosten bei, die ohnehin anfallen; im Jahr sind das 4{,}60\,€ \cdot 12 \cdot 12 = 662{,}40\,€.
• Referenz: Ein öffentlicher Auftraggeber als erste Kundschaft macht den Dienst bei anderen Behörden und Firmen bekannt und glaubwürdig.
• Folgeaufträge: Nach dem Pilotjahr kann der Zweckverband zum regulären Preis verlängern oder weitere Räder anschließen.
• Erprobung: Die Plattform wird im Echtbetrieb getestet; Fehler lassen sich vor dem breiten Start beheben.

Ges.: durchschnittliche Monatskosten \bar{k} je Karte

\bar{k} = \dfrac{\text{einmalige Kosten} + \text{laufende Kosten über die Laufzeit}}{\text{Laufzeit}}

\bar{k}_A = \dfrac{9{,}00\,€ + 24 \cdot 1{,}80\,€}{24} = \dfrac{52{,}20\,€}{24} = 2{,}175\,€ \approx \underline{\underline{2{,}18\,€}} (1,5 Punkte)

\bar{k}_B = \dfrac{6 \cdot 0{,}90\,€ + 18 \cdot 2{,}20\,€}{24} = \dfrac{45{,}00\,€}{24} = 1{,}875\,€ \approx \underline{\underline{1{,}88\,€}} (1,5 Punkte)

Empfehlung (1 Punkt): Anbieter B ist über 24 Monate rund 0,30 € je Karte und Monat günstiger. Bei längerer Nutzung nach Ablauf der Laufzeit ist aber Anbieter A mit 1,80 € gegenüber 2,20 € je Monat günstiger; vor der Entscheidung sollten die Bedingungen nach 24 Monaten geklärt werden.

Geplante variable Stückkosten: k_v = 38{,}00\,€ + 4{,}50\,€ + 2{,}50\,€ = 45{,}00\,€

(2 Punkte)

Die Abweichung wächst mit der Menge, das spricht für zu niedrig geplante variable Kosten. Rechnerisch: Zwischen den Monaten steigen die Ist-Kosten um 3.840 € bei 80 zusätzlichen Trackern.

k_{v,Ist} = \dfrac{20.320\,€ - 16.480\,€}{340 - 260} = \dfrac{3.840\,€}{80} = \underline{\underline{48{,}00\,€}} je Stück (2 Punkte)

K_{f,Ist} = 16.480\,€ - 48\,€ \cdot 260 = 16.480\,€ - 12.480\,€ = \underline{\underline{4.000{,}00\,€}} (1 Punkt)

Die Fixkosten stimmen mit dem Plan überein; jeder Tracker kostet aber 3 € mehr als geplant. Mögliche Ursache (1 Punkt): höherer Einkaufspreis beim Lieferanten, gestiegene Versandtarife oder mehr Zahlungen mit teureren Zahlungsarten.

Jeder verkaufte Tracker bringt nach Abzug seiner eigenen (variablen) Kosten einen Betrag ein, mit dem die Fixkosten bezahlt werden. Erst wenn die Fixkosten vollständig gedeckt sind, entsteht Gewinn. (2 Punkte)

db = p - k_v = 68{,}00\,€ - 48{,}00\,€ = \underline{\underline{20{,}00\,€}} je Stück (1 Punkt)

Betriebsergebnis November = db \cdot x - K_f = 20\,€ \cdot 340 - 4.000\,€ = \underline{\underline{2.800{,}00\,€}} Gewinn (Probe: Erlös 68\,€ \cdot 340 = 23.120\,€, 23.120\,€ - 20.320\,€ = 2.800\,€) (1 Punkt)

Abgelesen (2 Punkte): Erlös- und Gesamtkostengerade schneiden sich bei 200 Trackern (rund 13.600 €). Bei 100 Trackern liegen die Erlöse bei rund 6.800 €, die Kosten bei rund 8.800 € (Verlust rund 2.000 €); bei 350 Trackern liegen die Erlöse bei rund 23.800 €, die Kosten bei rund 20.800 € (Gewinn rund 3.000 €).

Rechnerisch (3 Punkte):

x_{BEP} = \dfrac{K_f}{db} = \dfrac{4.000\,€}{20\,€} = \underline{\underline{200\ \text{Stück}}}

G_{100} = 20\,€ \cdot 100 - 4.000\,€ = \underline{\underline{-2.000{,}00\,€}} (Verlust)

G_{350} = 20\,€ \cdot 350 - 4.000\,€ = \underline{\underline{3.000{,}00\,€}}

Kurzfristige Preisuntergrenze: PUG_k = k_v = \underline{\underline{48{,}00\,€}} (1 Punkt)

Langfristige Preisuntergrenze bei 800 Stück: PUG_l = \dfrac{K_f}{x} + k_v = \dfrac{4.000\,€}{800} + 48\,€ = \underline{\underline{53{,}00\,€}} (1 Punkt)

Monatsergebnis G = (p - k_v) \cdot 800 - 4.000\,€ (je 1 Punkt):

Begründung (2 Punkte): 45 € ist nicht vertretbar: Jeder verkaufte Tracker vergrößert den Verlust, denn der Preis deckt nicht einmal die eigenen Kosten des Trackers. 50 € kann für eine kurze Aktion vertretbar sein: Jeder Tracker bringt noch 2 € Deckungsbeitrag, der Verlust ist kleiner als die Fixkosten, die ohnehin anfallen (4.000 €), und die Aktion gewinnt Kundschaft. Auf Dauer geht das nicht, weil die Fixkosten nie gedeckt werden. 56 € deckt alle Kosten und ist ohne Bedenken möglich.

Die Fixkosten sind durch das reguläre Geschäft (340 Stück, über der Gewinnschwelle von 200 Stück) schon gedeckt und ändern sich nicht. Entscheidend ist nur der zusätzliche Deckungsbeitrag:

db_{Zusatz} = 52{,}00\,€ - 48{,}00\,€ = 4{,}00\,€; DB_{Zusatz} = 4{,}00\,€ \cdot 150 = \underline{\underline{600{,}00\,€}} (2 Punkte)

Der Gewinn steigt von 2.800 € auf 3.400 €; rechnerisch sollte CSB-Rad annehmen. (1 Punkt)

Risiko (1 Punkt), z. B.: Das Radhaus verkauft die Tracker günstiger als der eigene Onlineshop und nimmt CSB-Rad Privatkundschaft weg; andere Händler verlangen denselben Preis.

Neuer Stückdeckungsbeitrag: 63\,€ - 48\,€ = 15\,€

x_{BEP} = \dfrac{4.000\,€}{15\,€} \approx 266{,}667, aufgerundet \underline{\underline{267\ \text{Stück}}} (1 Punkt)

Gleicher Gewinn wie im November (2.800 €): x = \dfrac{K_f + G}{db} = \dfrac{4.000\,€ + 2.800\,€}{15\,€} \approx 453{,}333, aufgerundet \underline{\underline{454\ \text{Stück}}} (1 Punkt)

Kostendeckender Preis bei 250 Stück: p = \dfrac{K_f}{x} + k_v = \dfrac{4.000\,€}{250} + 48\,€ = 16\,€ + 48\,€ = \underline{\underline{64{,}00\,€}} (2 Punkte)

Beurteilung (1 Punkt): Bei 63 € müsste der Absatz um rund ein Drittel auf 454 Stück steigen, nur um den bisherigen Gewinn zu halten. Tritt die vorsichtige Schätzung von 250 Stück ein, liegt 63 € sogar unter dem kostendeckenden Preis von 64 €; das Trackergeschäft würde Verlust machen. Die Preissenkung ist nur sinnvoll, wenn gleichzeitig die variablen Kosten sinken, z. B. durch einen günstigeren Einkauf.

Die Umsatzsteuer ist für CSB-Rad weder Kosten noch Erlös: Sie wird von der Kundschaft eingenommen und an das Finanzamt abgeführt; die Vorsteuer auf den Einkauf wird damit verrechnet oder erstattet. Sie ist ein durchlaufender Posten und würde Erlöse und Kosten verfälschen.

Bewertung: je zwei richtige Zeilen 1 Punkt (4 Punkte), Summen 1 Punkt.

Der Tarif besteht aus einer monatlichen Grundgebühr, die auch ohne Buchung anfällt (fix), und einer Gebühr je Buchung, die mit der Zahl der Buchungen steigt (variabel). Solche Mischkosten teilt man nach ihren Bestandteilen oder einem Prozentsatz auf.

p = \dfrac{E}{x} = \dfrac{112.500\,€}{2.500\,\text{h}} = \underline{\underline{45{,}00\,€}} je Stunde

Geg.: K_f = 49.300\,€, K_v = 48.500\,€, x = 2.500\,\text{h}, p = 45\,€/\text{h}

Ges.: Gewinnschwelle x_{BEP}

I: k_v = \dfrac{K_v}{x} = \dfrac{48.500\,€}{2.500\,\text{h}} = 19{,}40\,€/\text{h} (1 Punkt)

II: db = p - k_v = 45{,}00\,€ - 19{,}40\,€ = 25{,}60\,€/\text{h} (1 Punkt)

III: x_{BEP} = \dfrac{K_f}{db} = \dfrac{49.300\,€}{25{,}60\,€/\text{h}} \approx 1.925{,}781\,\text{h}, aufgerundet \underline{\underline{1.926\ \text{Stunden}}} (1 Punkt)

Mit 2.500 Stunden lag der Meet-Space 2026 deutlich über der Gewinnschwelle (Gewinn 14.700 €).

PUG_k = k_v = \underline{\underline{19{,}40\,€}} je Stunde (1 Punkt)

PUG_l = \dfrac{K}{x} = \dfrac{97.800\,€}{2.500\,\text{h}} = \underline{\underline{39{,}12\,€}} je Stunde (2 Punkte)

Geg.: Preis 4,50 € je Person, Angaben siehe oben

Ges.: kostendeckende Anzahl x Personen je Monat

Nicht berücksichtigt (je 1 Punkt): Die anteiligen Personalkosten (900 €) und die kalkulatorische Miete (400 €) entstehen durch das Spielepaket nicht zusätzlich; das Personal arbeitet ohne Mehrarbeit, der Raum ist ohnehin gemietet. Für die Entscheidung zählen nur zusätzliche Kosten.

I: Abschreibung = 5.400\,€ : 3 : 12 = 150\,€ je Monat (2 Punkte)

II: K_f = 150\,€ + 210\,€ + 40\,€ = 400\,€ je Monat (1 Punkt)

III: db = 4{,}50\,€ - 0{,}30\,€ = 4{,}20\,€ je Person (1 Punkt)

II und III in IV: x = \dfrac{K_f}{db} = \dfrac{400\,€}{4{,}20\,€} \approx 95{,}238, aufgerundet \underline{\underline{96\ \text{Personen}}} je Monat (2 Punkte)

Je erläutertem Argument 2 Punkte, z. B.:

• Erreichbare Menge: 96 Personen im Monat entsprechen etwa 24 Gruppen zu je vier Personen. Bei rund 208 gebuchten Stunden im Monat (2.500 Stunden im Jahr) reicht es, wenn ein kleiner Teil der Gruppen das Paket bucht.
• Kaum zusätzliche Risiken: Die zusätzlichen Fixkosten sind mit 400 € im Monat gering, Personal und Raum sind schon vorhanden.
• Höhere Auslastung: Das Paket macht den Meet-Space attraktiver; mehr gebuchte Stunden bringen je Stunde 25,60 € Deckungsbeitrag für die Fixkosten des Raums.
• Werbung als größter Block: Die Werbung macht 210 € der 400 € zusätzlichen Fixkosten aus. Lässt sie sich senken, sobald das Angebot bekannt ist, sinkt die Gewinnschwelle deutlich.

Geg.: Anschaffung 6.300 €, laufende Kosten 130 €/Monat, Einsparung 24\,\text{h} \cdot 20\,€/\text{h} = 480\,€/Monat, Nutzungsdauer 48 Monate

Ges.: Zeitpunkt t, ab dem die Einsparungen alle Kosten gedeckt haben; Überschuss nach 48 Monaten

Überschuss je Monat: 480\,€ - 130\,€ = 350\,€ (1 Punkt)

t = \dfrac{6.300\,€}{350\,€/\text{Monat}} = \underline{\underline{18\ \text{Monate}}} (2 Punkte)

Vergleich (1 Punkt): Nach 18 von 48 Monaten ist das Terminal bezahlt; es bleiben 30 Monate, in denen es Überschuss bringt. Die Investition ist damit deutlich innerhalb der Nutzungsdauer wieder hereingeholt.

Überschuss nach 48 Monaten: 350\,€ \cdot 48 - 6.300\,€ = \underline{\underline{10.500{,}00\,€}} (1 Punkt)

Überschuss je Monat bei 16 Stunden: 16\,\text{h} \cdot 20\,€/\text{h} - 130\,€ = 320\,€ - 130\,€ = 190\,€ (1 Punkt)

t = \dfrac{6.300\,€}{190\,€/\text{Monat}} \approx \underline{\underline{33{,}2\ \text{Monate}}}, also im 34. Monat (1 Punkt)

Grafik (1 Punkt): Gerade von −6.300 € (Monat 0) bis 2.820 € (Monat 48), Schnittpunkt mit der Nulllinie bei rund 33 Monaten markiert.

Beurteilung (2 Punkte), z. B.: Auch bei 16 Stunden hat sich das Terminal vor dem Ende der Nutzungsdauer bezahlt gemacht; der Überschuss nach vier Jahren schrumpft aber von 10.500 € auf 190\,€ \cdot 48 - 6.300\,€ = 2.820\,€. Die Reserve ist klein: Damit sich das Terminal innerhalb von 48 Monaten bezahlt macht, muss es im Monat mindestens 6.300\,€ : 48 + 130\,€ = 261{,}25\,€ einsparen, also gut 13 Stunden zu 20 €; schon wenige Stunden weniger als geschätzt machen es unwirtschaftlich. Let’s Meet sollte anschaffen, wenn zusätzlich nicht messbare Vorteile zählen (Check-in auch abends ohne Personal, kürzere Wartezeit), und nach einigen Monaten die tatsächlich eingesparten Stunden auswerten.

Je Kostenart mit passendem Beispiel 2 Punkte, z. B.:

• Hardwarekosten: Terminal mit Touchscreen und QR-Code-Leser, Wandhalterung.
• Softwarekosten: Lizenz der Check-in-Software, Anpassung der Schnittstelle zur Buchungs-API der App.
• Personalkosten: Stunden des Entwicklungsteams für die Anbindung, Einweisung des Empfangspersonals.
• Dienstleistungskosten: Installation und Einrichtung durch den Lieferanten, Wartungsvertrag.
• Kommunikationskosten: Netzwerkanschluss oder zusätzlicher WLAN-Zugangspunkt im Meet-Space.