Übungsaufgaben zum Spannungsteiler: unbelastet, belastet, mit Potenziometer und als Schaltschwelle

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belastet, mit Potenziometer und als Schaltschwelle“.

Bauplan: Halte Dich an Aufbau, Kompetenzstufen, Operatoren,
Anforderungsbereiche, Punkte und Zeitschätzung, die im Artikel
https://oer-informatik.de/aufgaben-aufbau beschrieben sind.

Fachliche Grundlage:
- https://oer-informatik.de/spannungsteiler
- https://oer-informatik.de/gleichstromkreis
- Stilbeispiel: https://oer-informatik.de/spannungsteiler-uebungsaufgaben

Die Aufgaben sollen Inhalte zu diesen Schlagwörtern abdecken:
- Spannungsteiler
- Widerstandskette
- Toleranz
- Belasteter Spannungsteiler
- Impedanzwandler
- Potenziometer
- Pull-up-Widerstand
- Taster-Netzwerk
- LDR
- Schaltschwelle

Kompetenzstufe: Basiskompetenz (alternativ: Kernkompetenz, Profilkompetenz, Expertise)
Anzahl: 1 Aufgabe mit Teilaufgaben
Bearbeitungszeit in Minuten ca.: <5 bis 30 min>
Szenario: eines der Szenarien aus dem Bauplan

Vorgehen:
1. Lies zuerst die verlinkten Artikel. Kannst Du keine Webseiten
   abrufen, sag mir das, statt zu raten.
2. Steht bei einer Angabe noch ein Platzhalter in <…>, frag mich
   zuerst danach. Richte Punkte und Zahl der Teilaufgaben nach der
   Bearbeitungszeit (ca. 0,9 min je Punkt).
3. Gib je Aufgabe Titel mit Kompetenzstufe, Ausgangssituation und
   Teilaufgaben mit Operator und Punktzahl aus, dazu die geschätzte
   Bearbeitungszeit.
4. Gib die Beispiellösungen mit Punkteverteilung erst aus, wenn ich
   danach frage.

Geg.: U = 12\ \mathrm{V}; Kette R_1 = 22\ \mathrm{k\Omega}, R_2 = 6{,}8\ \mathrm{k\Omega}, R_3 = 3{,}3\ \mathrm{k\Omega}; Messspannungsteiler R_\mathrm{u} = 10\ \mathrm{k\Omega}, Eingang 0 \dots 3{,}3\ \mathrm{V}, U_\mathrm{max} = 15\ \mathrm{V}; Toleranz ±5 %

Ges.: I, U_\mathrm{A}, U_\mathrm{B}

\begin{aligned} &\text{(I)} && U = R_\mathrm{ges} \cdot I \\ &\text{(II)} && \frac{U_\mathrm{X}}{U} = \frac{R_\mathrm{unten}}{R_\mathrm{ges}} \end{aligned}

Strom aus I mit R_\mathrm{ges} = R_1 + R_2 + R_3 = 32{,}1\ \mathrm{k\Omega} (1 Punkt):

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U & = & R_\mathrm{ges} \cdot I & \color{gray}{:R_\mathrm{ges}} \\ I & = & \dfrac{U}{R_\mathrm{ges}} = \dfrac{12\ \mathrm{V}}{32\,100\ \Omega} \approx \underline{\underline{0{,}374\ \mathrm{mA}}} & \end{array}

II nach U_\mathrm{X} umstellen; unterhalb von A liegen R_2 + R_3 = 10{,}1\ \mathrm{k\Omega}, unterhalb von B nur R_3 (je 1,5 Punkte):

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} \dfrac{U_\mathrm{X}}{U} & = & \dfrac{R_\mathrm{unten}}{R_\mathrm{ges}} & \color{gray}{\cdot U} \\ U_\mathrm{A} & = & 12\ \mathrm{V} \cdot \dfrac{10{,}1\ \mathrm{k\Omega}}{32{,}1\ \mathrm{k\Omega}} \approx \underline{\underline{3{,}78\ \mathrm{V}}} & \\ U_\mathrm{B} & = & 12\ \mathrm{V} \cdot \dfrac{3{,}3\ \mathrm{k\Omega}}{32{,}1\ \mathrm{k\Omega}} \approx \underline{\underline{1{,}23\ \mathrm{V}}} & \end{array}

Ges.: R_\mathrm{o}, E12-Wert mit Begründung, U_\mathrm{E} bei 15\ \mathrm{V}

\begin{aligned} &\text{(I)} && \frac{U_\mathrm{E}}{U} = \frac{R_\mathrm{u}}{R_\mathrm{o} + R_\mathrm{u}} \end{aligned}

I nach R_\mathrm{o} umstellen (2 Punkte):

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} \dfrac{U_\mathrm{E}}{U} & = & \dfrac{R_\mathrm{u}}{R_\mathrm{o} + R_\mathrm{u}} & \color{gray}{\cdot (R_\mathrm{o} + R_\mathrm{u}) \cdot \dfrac{U}{U_\mathrm{E}}} \\ R_\mathrm{o} + R_\mathrm{u} & = & R_\mathrm{u} \cdot \dfrac{U}{U_\mathrm{E}} & \color{gray}{-R_\mathrm{u}} \\ R_\mathrm{o} & = & R_\mathrm{u} \cdot \left(\dfrac{U}{U_\mathrm{E}} - 1\right) = 10\ \mathrm{k\Omega} \cdot \left(\dfrac{15\ \mathrm{V}}{3{,}3\ \mathrm{V}} - 1\right) \approx \underline{\underline{35{,}5\ \mathrm{k\Omega}}} & \end{array}

Gewählt wird der nächstgrößere E12-Wert \underline{\underline{R_\mathrm{o} = 39\ \mathrm{k\Omega}}}: Ein größerer oberer Widerstand senkt die Teilspannung, der Eingangsbereich wird also nicht überschritten. Mit 33\ \mathrm{k\Omega} lägen bei 15\ \mathrm{V} schon 3{,}49\ \mathrm{V} am Eingang (2 Punkte). Kontrolle mit I (1 Punkt):

U_\mathrm{E} = U \cdot \frac{R_\mathrm{u}}{R_\mathrm{o} + R_\mathrm{u}} = 15\ \mathrm{V} \cdot \frac{10\ \mathrm{k\Omega}}{49\ \mathrm{k\Omega}} \approx \underline{\underline{3{,}06\ \mathrm{V}}}

Ges.: U_\mathrm{E,max} in ungünstigster Toleranzlage, Beurteilung

Die höchste Teilspannung entsteht, wenn der obere Widerstand an der Untergrenze und der untere an der Obergrenze liegt (1 Punkt):

R_\mathrm{o,min} = 39\ \mathrm{k\Omega} \cdot 0{,}95 = 37{,}05\ \mathrm{k\Omega} \qquad R_\mathrm{u,max} = 10\ \mathrm{k\Omega} \cdot 1{,}05 = 10{,}5\ \mathrm{k\Omega}

U_\mathrm{E,max} = 15\ \mathrm{V} \cdot \frac{10{,}5\ \mathrm{k\Omega}}{37{,}05\ \mathrm{k\Omega} + 10{,}5\ \mathrm{k\Omega}} \approx \underline{\underline{3{,}31\ \mathrm{V}}}

(2 Punkte) Im ungünstigsten Fall wird der Eingangsbereich von 3{,}3\ \mathrm{V} knapp überschritten (um etwa 12\ \mathrm{mV}). Das schadet dem Eingang in der Regel nicht (seine Grenzwerte liegen meist etwas über der Versorgungsspannung, Datenblatt prüfen), aber der A/D-Umsetzer zeigt dann schon vor 15\ \mathrm{V} den Höchstwert. Abhilfe: Widerstände mit ±1 % (dann höchstens 3{,}11\ \mathrm{V}) oder einen größeren oberen Widerstand wählen (1 Punkt).

Ges.: I_\mathrm{q}, P bei 15\ \mathrm{V}

\begin{aligned} &\text{(I)} && U = R \cdot I \\ &\text{(II)} && P = U \cdot I \end{aligned}

I_\mathrm{q} = \frac{U}{R_\mathrm{o} + R_\mathrm{u}} = \frac{15\ \mathrm{V}}{49\,000\ \Omega} \approx \underline{\underline{0{,}306\ \mathrm{mA}}}

P = U \cdot I_\mathrm{q} = 15\ \mathrm{V} \cdot 0{,}306\ \mathrm{mA} \approx \underline{\underline{4{,}59\ \mathrm{mW}}}

(je 1 Punkt)

Geg.: U_\mathrm{B} = 12\ \mathrm{V}, R_\mathrm{V} = 4{,}7\ \mathrm{k\Omega}, P = 10\ \mathrm{k\Omega} (linear), R_\mathrm{N} = 2{,}2\ \mathrm{k\Omega}; Anzeigegerät R_\mathrm{L} = 10\ \mathrm{k\Omega}

Ges.: U_\mathrm{min}, U_\mathrm{max}

\begin{aligned} &\text{(I)} && \frac{U_\mathrm{S}}{U_\mathrm{B}} = \frac{R_\mathrm{unten}}{R_\mathrm{ges}} \end{aligned}

R_\mathrm{ges} = R_\mathrm{V} + P + R_\mathrm{N} = 16{,}9\ \mathrm{k\Omega}. Schleifer unten: unterhalb nur R_\mathrm{N}; Schleifer oben: unterhalb P + R_\mathrm{N} (je 2 Punkte):

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U_\mathrm{min} & = & U_\mathrm{B} \cdot \dfrac{R_\mathrm{N}}{R_\mathrm{ges}} = 12\ \mathrm{V} \cdot \dfrac{2{,}2\ \mathrm{k\Omega}}{16{,}9\ \mathrm{k\Omega}} \approx \underline{\underline{1{,}56\ \mathrm{V}}} & \\ U_\mathrm{max} & = & U_\mathrm{B} \cdot \dfrac{P + R_\mathrm{N}}{R_\mathrm{ges}} = 12\ \mathrm{V} \cdot \dfrac{12{,}2\ \mathrm{k\Omega}}{16{,}9\ \mathrm{k\Omega}} \approx \underline{\underline{8{,}66\ \mathrm{V}}} & \end{array}

Ges.: U_\mathrm{S} in Mittelstellung, unbelastet

In Mittelstellung liegen unterhalb des Schleifers 5\ \mathrm{k\Omega} + 2{,}2\ \mathrm{k\Omega} = 7{,}2\ \mathrm{k\Omega} (1 Punkt):

U_\mathrm{S} = U_\mathrm{B} \cdot \frac{R_\mathrm{unten}}{R_\mathrm{ges}} = 12\ \mathrm{V} \cdot \frac{7{,}2\ \mathrm{k\Omega}}{16{,}9\ \mathrm{k\Omega}} \approx \underline{\underline{5{,}11\ \mathrm{V}}}

(1 Punkt)

Ges.: U_\mathrm{S} mit Anzeigegerät, Abweichung in %

\begin{aligned} &\text{(I)} && R_\mathrm{uL} = \frac{R_\mathrm{unten} \cdot R_\mathrm{L}}{R_\mathrm{unten} + R_\mathrm{L}} \\ &\text{(II)} && U_\mathrm{S} = U_\mathrm{B} \cdot \frac{R_\mathrm{uL}}{R_\mathrm{oben} + R_\mathrm{uL}} \end{aligned}

Das Anzeigegerät liegt parallel zum unteren Teil (7{,}2\ \mathrm{k\Omega}), der obere Teil ist R_\mathrm{oben} = 4{,}7\ \mathrm{k\Omega} + 5\ \mathrm{k\Omega} = 9{,}7\ \mathrm{k\Omega}. Nacheinander (I: 2 Punkte, II: 2 Punkte):

R_\mathrm{uL} = \frac{7{,}2\ \mathrm{k\Omega} \cdot 10\ \mathrm{k\Omega}}{7{,}2\ \mathrm{k\Omega} + 10\ \mathrm{k\Omega}} \approx 4{,}19\ \mathrm{k\Omega}

U_\mathrm{S} = 12\ \mathrm{V} \cdot \frac{4{,}19\ \mathrm{k\Omega}}{9{,}7\ \mathrm{k\Omega} + 4{,}19\ \mathrm{k\Omega}} \approx \underline{\underline{3{,}62\ \mathrm{V}}}

Abweichung (1 Punkt):

\frac{3{,}62\ \mathrm{V} - 5{,}11\ \mathrm{V}}{5{,}11\ \mathrm{V}} \cdot 100\ \% \approx \underline{\underline{-29{,}2\ \%}}

Mit gerundeten Zwischenergebnissen ergibt sich: U_\mathrm{S} \approx 3{,}62\ \mathrm{V}, Abweichung \approx -29{,}2\ \%
Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: U_\mathrm{S} \approx 3{,}62\ \mathrm{V} (3{,}617\ \mathrm{V}), Abweichung \approx -29{,}2\ \%

Ges.: wirksame Maßnahme

Richtig ist \underline{\underline{\text{B}}} (2 Punkte): Der Spannungsfolger belastet den Schleifer praktisch nicht.

• A ist falsch: Ein kleinerer R_\mathrm{N} verschiebt nur den Einstellbereich nach unten; die Last liegt weiterhin parallel zum unteren Teil.

• C ist falsch: Ein Reihenwiderstand bildet mit dem Eingangswiderstand des Anzeigegeräts einen weiteren Spannungsteiler; das Gerät zeigt dann noch weniger an.

• D ist falsch: Ein größeres Potenziometer macht den Teiler noch hochohmiger, die Belastung wirkt sich stärker aus.

Ges.: Begründung der Wirkung

Der Eingang des Operationsverstärkers ist sehr hochohmig, es fließt praktisch kein Strom aus dem Schleifer – der Teiler arbeitet wie unbelastet (1 Punkt). Der niederohmige Ausgang liefert dieselbe Spannung U_\mathrm{S} und den Strom für das Anzeigegerät aus der Versorgung des Operationsverstärkers (1 Punkt).

Geg.: U_\mathrm{B} = 5\ \mathrm{V}; Pull-up 4{,}7\ \mathrm{k\Omega}; Bedienfeld R_0 = 10\ \mathrm{k\Omega}, R_\mathrm{B} = 2{,}2\ \mathrm{k\Omega}, R_\mathrm{C} = 6{,}8\ \mathrm{k\Omega}; Lichtschranke R_\mathrm{C,L} = 3{,}3\ \mathrm{k\Omega}, Eingang 22\ \mathrm{k\Omega}, U_\mathrm{CE,sat} = 0{,}2\ \mathrm{V}; Referenzteiler 15\ \mathrm{k\Omega} / 10\ \mathrm{k\Omega}

Ges.: U_\mathrm{E} offen und geschlossen, I geschlossen

• Endschalter offen: kein Strom durch den Pull-up, U_\mathrm{E} = \underline{\underline{5\ \mathrm{V}}} (1 Punkt)

• Endschalter geschlossen: Eingang direkt an 0\ \mathrm{V}, U_\mathrm{E} = \underline{\underline{0\ \mathrm{V}}} (1 Punkt)

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U_\mathrm{B} & = & R_\mathrm{PU} \cdot I & \color{gray}{:R_\mathrm{PU}} \\ I & = & \dfrac{U_\mathrm{B}}{R_\mathrm{PU}} = \dfrac{5\ \mathrm{V}}{4700\ \Omega} \approx \underline{\underline{1{,}06\ \mathrm{mA}}} & \end{array}

(1 Punkt)

Ges.: U_\mathrm{AIN} für alle Einzelzustände

\begin{aligned} &\text{(I)} && U_\mathrm{AIN} = U_\mathrm{B} \cdot \frac{R_\mathrm{unten}}{R_0 + R_\mathrm{unten}} \end{aligned}

Je Zustand 1 Punkt:

Ges.: Zweck, Auswertung

Drei Taster werden über einen einzigen Analogeingang (und eine Leitung zum Bedienfeld) ausgewertet; das spart Anschlüsse am Mikrocontroller (1 Punkt). Jeder Taster erzeugt eine eigene Spannung; das Programm liest den A/D-Wert und ordnet ihn über Bereiche mit Schwellen zwischen den Sollwerten einem Taster zu (1 Punkt).

Ges.: U_\mathrm{AIN} bei S_\mathrm{B} und S_\mathrm{C}, Beurteilung

\begin{aligned} &\text{(I)} && R_\mathrm{BC} = \frac{R_\mathrm{B} \cdot R_\mathrm{C}}{R_\mathrm{B} + R_\mathrm{C}} \\ &\text{(II)} && U_\mathrm{AIN} = U_\mathrm{B} \cdot \frac{R_\mathrm{BC}}{R_0 + R_\mathrm{BC}} \end{aligned}

R_\mathrm{BC} = \frac{2{,}2\ \mathrm{k\Omega} \cdot 6{,}8\ \mathrm{k\Omega}}{9{,}0\ \mathrm{k\Omega}} \approx 1{,}66\ \mathrm{k\Omega} \qquad U_\mathrm{AIN} = 5\ \mathrm{V} \cdot \frac{1{,}66\ \mathrm{k\Omega}}{11{,}66\ \mathrm{k\Omega}} \approx \underline{\underline{0{,}713\ \mathrm{V}}}

(2 Punkte) Der Abstand zu „nur S_\mathrm{B}“ beträgt nur etwa 0{,}19\ \mathrm{V} (bei 10 Bit und 5\ \mathrm{V} rund 39 Stufen). Mit genauen Widerständen ist das unterscheidbar, die Reserve für Toleranzen und Störungen ist aber gering; sicherer wäre ein größerer Abstand der Werte (1 Punkt).

Ges.: U_\mathrm{C} gesperrt und durchgesteuert, I durchgesteuert

Gesperrt: Der Transistor führt keinen Strom, Arbeitswiderstand und Eingang bilden einen Spannungsteiler (2 Punkte):

U_\mathrm{C} = 5\ \mathrm{V} \cdot \frac{22\ \mathrm{k\Omega}}{3{,}3\ \mathrm{k\Omega} + 22\ \mathrm{k\Omega}} \approx \underline{\underline{4{,}35\ \mathrm{V}}}

Durchgesteuert: U_\mathrm{C} = U_\mathrm{CE,sat} = \underline{\underline{0{,}2\ \mathrm{V}}} (1 Punkt); am Arbeitswiderstand liegt der Rest (Maschenregel, 1 Punkt):

I = \frac{U_\mathrm{B} - U_\mathrm{CE,sat}}{R_\mathrm{C,L}} = \frac{5\ \mathrm{V} - 0{,}2\ \mathrm{V}}{3300\ \Omega} \approx \underline{\underline{1{,}45\ \mathrm{mA}}}

Ges.: Schaltschwelle U_\mathrm{Ref}

U_\mathrm{Ref} = U_\mathrm{B} \cdot \frac{R_\mathrm{unten}}{R_\mathrm{oben} + R_\mathrm{unten}} = 5\ \mathrm{V} \cdot \frac{10\ \mathrm{k\Omega}}{25\ \mathrm{k\Omega}} = \underline{\underline{2{,}00\ \mathrm{V}}}

(2 Punkte)

Geg.: U_\mathrm{B} = 3{,}3\ \mathrm{V}, R_\mathrm{F} = 4{,}7\ \mathrm{k\Omega}; LDR hell 1{,}2\ \mathrm{k\Omega}, Schaltpunkt 18\ \mathrm{k\Omega} (14 \dots 22\ \mathrm{k\Omega}); A/D-Umsetzer 10 Bit, 0 \dots 3{,}3\ \mathrm{V}; Referenzteiler R_3 = 10\ \mathrm{k\Omega}, R_4 = 22\ \mathrm{k\Omega}

Ges.: Lage des LDR, Begründung

Der LDR wird \underline{\underline{\text{unten (an 0 V)}}} angeordnet (1 Punkt). Mit zunehmender Dunkelheit steigt sein Widerstand; als unterer Widerstand des Teilers bekommt er dann einen größeren Anteil der Spannung, die abgegriffene Spannung steigt (2 Punkte). Oben angeordnet würde die Spannung bei Dunkelheit sinken.

Ges.: U bei Tageslicht und am Schaltpunkt, A/D-Werte

\begin{aligned} &\text{(I)} && U = U_\mathrm{B} \cdot \frac{R_\mathrm{LDR}}{R_\mathrm{F} + R_\mathrm{LDR}} \\ &\text{(II)} && N = \frac{U}{U_\mathrm{B}} \cdot 1023 \end{aligned}

Je Spannung 1 Punkt:

U_\mathrm{hell} = 3{,}3\ \mathrm{V} \cdot \frac{1{,}2\ \mathrm{k\Omega}}{5{,}9\ \mathrm{k\Omega}} \approx \underline{\underline{0{,}671\ \mathrm{V}}} \qquad U_\mathrm{SP} = 3{,}3\ \mathrm{V} \cdot \frac{18\ \mathrm{k\Omega}}{22{,}7\ \mathrm{k\Omega}} \approx \underline{\underline{2{,}62\ \mathrm{V}}}

I in II (je 1 Punkt):

N_\mathrm{hell} = \frac{1{,}2}{5{,}9} \cdot 1023 \approx \underline{\underline{208}} \qquad N_\mathrm{SP} = \frac{18}{22{,}7} \cdot 1023 \approx \underline{\underline{811}}

Ges.: Spannungsbereich am Schaltpunkt

Je Grenze 1,5 Punkte:

U_\mathrm{min} = 3{,}3\ \mathrm{V} \cdot \frac{14\ \mathrm{k\Omega}}{18{,}7\ \mathrm{k\Omega}} \approx \underline{\underline{2{,}47\ \mathrm{V}}} \qquad U_\mathrm{max} = 3{,}3\ \mathrm{V} \cdot \frac{22\ \mathrm{k\Omega}}{26{,}7\ \mathrm{k\Omega}} \approx \underline{\underline{2{,}72\ \mathrm{V}}}

Ges.: R_3, R_4 (E12), Nachweis von Schwelle und Strom

\begin{aligned} &\text{(I)} && U_\mathrm{Ref} = U_\mathrm{B} \cdot \frac{R_4}{R_3 + R_4} \\ &\text{(II)} && I = \frac{U_\mathrm{B}}{R_3 + R_4} \end{aligned}

Bisher: U_\mathrm{Ref} = 3{,}3\ \mathrm{V} \cdot \frac{22}{32} \approx 2{,}27\ \mathrm{V}, I = \frac{3{,}3\ \mathrm{V}}{32\ \mathrm{k\Omega}} \approx 103\ \mu\mathrm{A}. Damit der Strom nicht steigt, muss R_3 + R_4 \geq 32\ \mathrm{k\Omega} bleiben (1 Punkt). Mit R_3 + R_4 = 32\ \mathrm{k\Omega} I nach R_4 umstellen (2 Punkte):

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U_\mathrm{Ref} & = & U_\mathrm{B} \cdot \dfrac{R_4}{R_3 + R_4} & \color{gray}{\cdot \dfrac{R_3 + R_4}{U_\mathrm{B}}} \\ R_4 & = & (R_3 + R_4) \cdot \dfrac{U_\mathrm{Ref}}{U_\mathrm{B}} = 32\ \mathrm{k\Omega} \cdot \dfrac{2{,}62\ \mathrm{V}}{3{,}3\ \mathrm{V}} \approx 25{,}4\ \mathrm{k\Omega} & \\ R_3 & = & 32\ \mathrm{k\Omega} - 25{,}4\ \mathrm{k\Omega} = 6{,}6\ \mathrm{k\Omega} & \end{array}

Gewählt aus E12: \underline{\underline{R_3 = 6{,}8\ \mathrm{k\Omega}}} und \underline{\underline{R_4 = 27\ \mathrm{k\Omega}}} (1 Punkt). Nachweis (2 Punkte):

U_\mathrm{Ref} = 3{,}3\ \mathrm{V} \cdot \frac{27\ \mathrm{k\Omega}}{33{,}8\ \mathrm{k\Omega}} \approx \underline{\underline{2{,}64\ \mathrm{V}}} \qquad I = \frac{3{,}3\ \mathrm{V}}{33{,}8\ \mathrm{k\Omega}} \approx \underline{\underline{97{,}6\ \mu\mathrm{A}}} < 103\ \mu\mathrm{A}

Die Schwelle liegt im Toleranzbereich aus c) nahe am Nennwert, der Strom ist sogar kleiner als vorher.

Mit gerundeten Zwischenergebnissen ergibt sich: R_4 \approx 25{,}4\ \mathrm{k\Omega} (mit U_\mathrm{Ref} = 2{,}62\ \mathrm{V})
Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: R_4 = 32\ \mathrm{k\Omega} \cdot \frac{18}{22{,}7} \approx 25{,}4\ \mathrm{k\Omega}

Geg.: U_\mathrm{B} = 12\ \mathrm{V}, P = 5\ \mathrm{k\Omega}, U_\mathrm{min} = 2{,}0\ \mathrm{V}, U_\mathrm{max} = 4{,}0\ \mathrm{V}; Prüfling R_\mathrm{L} = 20\ \mathrm{k\Omega}

Ges.: R_\mathrm{V}, R_\mathrm{N}

\begin{aligned} &\text{(I)} && U_\mathrm{max} - U_\mathrm{min} = P \cdot I \\ &\text{(II)} && U_\mathrm{min} = R_\mathrm{N} \cdot I \\ &\text{(III)} && U_\mathrm{B} - U_\mathrm{max} = R_\mathrm{V} \cdot I \end{aligned}

Am Potenziometer fällt genau die Differenz der Grenzen ab; I nach I umstellen (1 Punkt):

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U_\mathrm{max} - U_\mathrm{min} & = & P \cdot I & \color{gray}{:P} \\ I & = & \dfrac{4{,}0\ \mathrm{V} - 2{,}0\ \mathrm{V}}{5\ \mathrm{k\Omega}} = 0{,}400\ \mathrm{mA} & \end{array}

I in II und III (je 1,5 Punkte):

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U_\mathrm{min} & = & R_\mathrm{N} \cdot I & \color{gray}{:I} \\ R_\mathrm{N} & = & \dfrac{2{,}0\ \mathrm{V}}{0{,}400\ \mathrm{mA}} = \underline{\underline{5{,}00\ \mathrm{k\Omega}}} & \\ U_\mathrm{B} - U_\mathrm{max} & = & R_\mathrm{V} \cdot I & \color{gray}{:I} \\ R_\mathrm{V} & = & \dfrac{12\ \mathrm{V} - 4{,}0\ \mathrm{V}}{0{,}400\ \mathrm{mA}} = \underline{\underline{20{,}0\ \mathrm{k\Omega}}} & \end{array}

Ges.: tatsächlicher Einstellbereich

R_\mathrm{ges} = 18\ \mathrm{k\Omega} + 5\ \mathrm{k\Omega} + 4{,}3\ \mathrm{k\Omega} = 27{,}3\ \mathrm{k\Omega} (1 Punkt):

U_\mathrm{min} = 12\ \mathrm{V} \cdot \frac{4{,}3\ \mathrm{k\Omega}}{27{,}3\ \mathrm{k\Omega}} \approx \underline{\underline{1{,}89\ \mathrm{V}}} \qquad U_\mathrm{max} = 12\ \mathrm{V} \cdot \frac{9{,}3\ \mathrm{k\Omega}}{27{,}3\ \mathrm{k\Omega}} \approx \underline{\underline{4{,}09\ \mathrm{V}}}

Wegen 1{,}89\ \mathrm{V} \leq 2{,}0\ \mathrm{V} und 4{,}09\ \mathrm{V} \geq 4{,}0\ \mathrm{V} ist der geforderte Bereich abgedeckt (2 Punkte).

Ges.: U_\mathrm{Ref} mit Prüfling, Schleifer oben

\begin{aligned} &\text{(I)} && R_\mathrm{uL} = \frac{(P + R_\mathrm{N}) \cdot R_\mathrm{L}}{P + R_\mathrm{N} + R_\mathrm{L}} \\ &\text{(II)} && U_\mathrm{Ref} = U_\mathrm{B} \cdot \frac{R_\mathrm{uL}}{R_\mathrm{V} + R_\mathrm{uL}} \end{aligned}

Schleifer oben: Der Prüfling liegt parallel zu P + R_\mathrm{N} = 9{,}3\ \mathrm{k\Omega} (2 Punkte für I, 2 Punkte für II):

R_\mathrm{uL} = \frac{9{,}3\ \mathrm{k\Omega} \cdot 20\ \mathrm{k\Omega}}{29{,}3\ \mathrm{k\Omega}} \approx 6{,}35\ \mathrm{k\Omega} \qquad U_\mathrm{Ref} = 12\ \mathrm{V} \cdot \frac{6{,}35\ \mathrm{k\Omega}}{18\ \mathrm{k\Omega} + 6{,}35\ \mathrm{k\Omega}} \approx \underline{\underline{3{,}13\ \mathrm{V}}}

Statt 4{,}09\ \mathrm{V} liegen nur noch etwa 3{,}13\ \mathrm{V} an – der geforderte Bereich wird mit Prüfling nicht mehr erreicht.

Mit gerundeten Zwischenergebnissen ergibt sich: U_\mathrm{Ref} \approx 3{,}13\ \mathrm{V}
Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: U_\mathrm{Ref} \approx 3{,}13\ \mathrm{V} (3{,}129\ \mathrm{V})

Ges.: Entkopplung, Spannung am Prüfling

Zwischen Schleifer und X1 wird ein Operationsverstärker als Spannungsfolger (Impedanzwandler) geschaltet: der Schleifer kommt an den Plus-Eingang, der Minus-Eingang wird mit dem Ausgang verbunden, und X1 wird vom Ausgang versorgt (2 Punkte). Weil der Eingang den Teiler praktisch nicht belastet, liegt am Prüfling die unbelastete Schleiferspannung U_\mathrm{Ref} \approx \underline{\underline{4{,}09\ \mathrm{V}}} (1 Punkt).

Ges.: neue R_\mathrm{V}, R_\mathrm{N}; Ort der Änderung

Wie in a), I nach I, dann II und III (3 Punkte):

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} I & = & \dfrac{U_\mathrm{max} - U_\mathrm{min}}{P} = \dfrac{5{,}0\ \mathrm{V} - 2{,}5\ \mathrm{V}}{5\ \mathrm{k\Omega}} = 0{,}500\ \mathrm{mA} & \\ R_\mathrm{N} & = & \dfrac{U_\mathrm{min}}{I} = \dfrac{2{,}5\ \mathrm{V}}{0{,}500\ \mathrm{mA}} = \underline{\underline{5{,}00\ \mathrm{k\Omega}}} & \\ R_\mathrm{V} & = & \dfrac{U_\mathrm{B} - U_\mathrm{max}}{I} = \dfrac{12\ \mathrm{V} - 5{,}0\ \mathrm{V}}{0{,}500\ \mathrm{mA}} = \underline{\underline{14{,}0\ \mathrm{k\Omega}}} & \end{array}

Geändert wird nur der Spannungsteiler vor dem Spannungsfolger (hier genügt es, R_\mathrm{V} zu verkleinern); der Spannungsfolger bleibt unverändert und entkoppelt weiter. Ein Widerstand hinter dem Ausgang würde die Entkopplung aufheben (1 Punkt).

Ges.: R_1 (E24), tatsächliches Dämpfungsmaß

\begin{aligned} &\text{(I)} && a = 20 \cdot \lg \frac{U_\mathrm{E}}{U_\mathrm{A}}\ \mathrm{dB} \\ &\text{(II)} && \frac{U_\mathrm{E}}{U_\mathrm{A}} = \frac{R_1 + R_2}{R_2} \end{aligned}

I nach dem Spannungsverhältnis umstellen (1 Punkt):

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} a & = & 20 \cdot \lg \dfrac{U_\mathrm{E}}{U_\mathrm{A}}\ \mathrm{dB} & \color{gray}{:20\ \mathrm{dB}, \ 10^{x}} \\ \dfrac{U_\mathrm{E}}{U_\mathrm{A}} & = & 10^{\frac{20}{20}} = 10 & \end{array}

In II einsetzen und nach R_1 umstellen (1 Punkt):

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} \dfrac{R_1 + R_2}{R_2} & = & 10 & \color{gray}{\cdot R_2} \\ R_1 + R_2 & = & 10 \cdot R_2 & \color{gray}{-R_2} \\ R_1 & = & 9 \cdot R_2 = 9 \cdot 1\ \mathrm{k\Omega} = \underline{\underline{9{,}00\ \mathrm{k\Omega}}} & \end{array}

E24-Wert: \underline{\underline{R_1 = 9{,}1\ \mathrm{k\Omega}}} (1 Punkt). Tatsächliches Dämpfungsmaß (1 Punkt):

a = 20 \cdot \lg \frac{9{,}1\ \mathrm{k\Omega} + 1\ \mathrm{k\Omega}}{1\ \mathrm{k\Omega}}\ \mathrm{dB} = 20 \cdot \lg 10{,}1\ \mathrm{dB} \approx \underline{\underline{20{,}1\ \mathrm{dB}}}