OPV-Rechen- und Messverstärker: Summierer, Differenz- und Instrumentenverstärker, Integrierer, Differenzierer

OPV-Rechen- und Messverstärker: Summierer, Differenz- und Instrumentenverstärker, Integrierer, Differenzierer

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Operationsverstärker, Summierverstärker, Subtrahierer, Differenzverstärker, Messbrücke, Pt100, Instrumentenverstärker, Integrierer, Differenzierer, Funktionsgenerator, Dual-Slope-Verfahren, PID-Regler

tl/dr; (ca. 28 min Lesezeit): Mit wenigen Widerständen und Kondensatoren wird ein Operationsverstärker zur Rechenschaltung: Er addiert, subtrahiert, integriert und differenziert Spannungen. Dieser Artikel zeigt Schritt für Schritt, wie Du Summierer, Differenzverstärker, Instrumentenverstärker, Integrierer und Differenzierer an ihrer Beschaltung erkennst, ihre Ausgangsgleichungen aufstellst und sie dimensionierst – vom gewichteten D/A-Umsetzer über die Pt100-Messbrücke bis zum Funktionsgenerator, zum Dual-Slope-Verfahren und zu den OPV-Stufen eines PID-Reglers [AI-Assisted]. (Zuletzt geändert am 12.11.2026)

Dieser Artikel baut auf der Kann-Liste des Artikels Operationsverstärker: Eigenschaften, Gegenkopplung, invertierender und nichtinvertierender Verstärker, Impedanzwandler auf.

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Als Elektrotechnik-Grundlagen kann ich nach Durcharbeiten des Artikels…

• … Summierer, Differenzverstärker, Instrumentenverstärker, Integrierer und Differenzierer an ihrer Beschaltung erkennen und fehlende Bauteile ergänzen.

• … Ausgangsspannung und Ausgangsgleichung invertierender Summierverstärker bestimmen – auch mehrstufig und in Kombination mit einem Subtrahierer.

• … die Gewichtung der Eingänge eines D/A-Umsetzers mit gewichtetem Widerstandsnetzwerk und Summierverstärker bestimmen.

• … Ausgangs- und Teilspannungen sowie Widerstände von Differenzverstärkern berechnen und einen Differenzverstärker zum Subtrahieren zweier Spannungen entwerfen.

• … Differenzverstärker an Pt100-Messbrücken berechnen und dimensionieren und die Wirkung von Impedanzwandlern zwischen Messbrücke und Differenzverstärker erklären.

• … Instrumentenverstärker aus drei OPV erkennen, ihren Vorteil als Messverstärker nennen und Verstärkung und Bandbreite aus dem Datenblatt bestimmen.

• … Zeitkonstante, Ladestrom, Ausgangsspannung nach einem Rechteckimpuls und Bauteilwerte eines Integrierers berechnen und seinen Ausgangsspannungsverlauf und Frequenzgang bestimmen.

• … die Bauteile eines Differenzierers bestimmen und den Einfluss der Kapazität auf die Ausgangsspannung beurteilen.

• … Funktion und Signalformen eines Funktionsgenerators aus Schmitt-Trigger und Integrierer bestimmen, Anstiegszeit und Frequenzbereich einstellen und das Dual-Slope-Verfahren beschreiben.

• … den OPV-Grundschaltungen eines PID-Reglers ihre Funktion zuordnen, die Übergangsfunktion bestimmen und eine OPV-Reglerstufe planen und aufbauen.

Eine Waage soll die Kraft aus vier Wägezellen zusammenzählen. Ein Thermometer soll nicht die Spannung einer Messbrücke anzeigen, sondern nur die kleine Differenz zwischen ihren beiden Zweigen. Ein Laborgenerator soll aus einer Rechteckspannung ein Dreieck machen, und ein Regler soll die Regelabweichung nicht nur verstärken, sondern auch über die Zeit aufsummieren. Alle diese Aufgaben löst der Operationsverstärker als Rechenschaltung: Je nachdem, welche Widerstände und Kondensatoren im Eingangs- und im Rückkopplungszweig liegen, addiert, subtrahiert, integriert oder differenziert er Spannungen. Daher kommt auch sein Name – die ersten OPV wurden in Analogrechnern für genau solche Rechenoperationen (operations) gebaut.

Das Bild zeigt die vier Rechenschaltungen, um die es in diesem Artikel geht. Alle arbeiten mit Gegenkopplung, deshalb gelten die beiden Rechenregeln des idealen OPV aus dem Artikel Operationsverstärker-Grundschaltungen: Es fließt kein Strom in die Eingänge, und die Spannung zwischen +- und −-Eingang ist null.

Zum Üben gibt es einen eigenen Artikel mit Aufgaben und einblendbaren Beispiellösungen: Übungsaufgaben zu OPV-Rechen- und Messverstärkern.

Schritt 1: Rechenschaltungen an der Beschaltung erkennen

Alle Rechenschaltungen dieses Artikels sind gegengekoppelt: Ein Bauteil führt vom Ausgang zum invertierenden Eingang (−) zurück. Welche Rechenart entsteht, verrät Dir die Beschaltung von Eingangs- und Rückkopplungszweig:

Als Merkhilfe: Beim Integrierer sitzt der Kondensator dort, wo beim invertierenden Verstärker R_2 sitzt; beim Differenzierer sitzt er dort, wo R_1 sitzt. Fehlt in einem Schaltplan das Bauteil im Rückkopplungszweig, erkennst Du an den Signalformen, welches dorthin gehört: Wird aus einem Rechteck ein Dreieck, ist es ein Kondensator (Integrierer); bleibt die Signalform erhalten und ändert sich nur die Amplitude, ist es ein Widerstand.

Schritt 2: Der invertierende Summierverstärker

Der Summierer (Summierverstärker, Addierer) ist ein invertierender Verstärker mit mehreren Eingängen. Jede Eingangsspannung speist über ihren eigenen Widerstand den −-Eingang. Weil der +-Eingang auf 0 V liegt, liegt auch der −-Eingang auf 0 V (virtuelle Masse). Deshalb beeinflussen sich die Eingänge gegenseitig nicht: Jeder Eingangsstrom hängt nur von seiner eigenen Spannung und seinem eigenen Widerstand ab.

Am Knoten vor dem −-Eingang addieren sich die Eingangsströme. Da in den OPV kein Strom fließt, fließt ihre Summe vollständig über den Rückkopplungswiderstand R_\mathrm{F}:

I_\mathrm{F} = I_1 + I_2 + I_3 = \frac{U_1}{R_1} + \frac{U_2}{R_2} + \frac{U_3}{R_3} \qquad U_\mathrm{A} = -R_\mathrm{F} \cdot I_\mathrm{F}

Daraus folgt die Ausgangsgleichung des Summierers:

U_\mathrm{A} = -\left(\frac{R_\mathrm{F}}{R_1} \cdot U_1 + \frac{R_\mathrm{F}}{R_2} \cdot U_2 + \frac{R_\mathrm{F}}{R_3} \cdot U_3\right)

Jede Eingangsspannung geht mit ihrem eigenen Gewichtsfaktor R_\mathrm{F} : R_n in die Summe ein. Drei Sonderfälle sind wichtig:

• Gleiche Widerstände (R_1 = R_2 = R_3 = R_\mathrm{F}): U_\mathrm{A} = -(U_1 + U_2 + U_3), die Schaltung addiert einfach.

• Mittelwert: Mit R_\mathrm{F} = R : n bei n gleichen Eingangswiderständen R entsteht der negative Mittelwert der Eingangsspannungen.

• Gewichtete Summe: Unterschiedliche Widerstände gewichten die Eingänge unterschiedlich, z. B. als Mischpult oder als D/A-Umsetzer (Schritt 3).

Beispiel: Mit R_\mathrm{F} = 20\ \mathrm{k\Omega}, R_1 = 10\ \mathrm{k\Omega} an U_1 = 0{,}5\ \mathrm{V} und R_2 = 40\ \mathrm{k\Omega} an U_2 = 1{,}2\ \mathrm{V} ergibt sich U_\mathrm{A} = -(2 \cdot 0{,}5\ \mathrm{V} + 0{,}5 \cdot 1{,}2\ \mathrm{V}) = -1{,}6\ \mathrm{V}.

Wie beim invertierenden Verstärker gilt: Die Ausgangsspannung kann den Aussteuerbereich \pm U_\mathrm{sat} nicht verlassen. Liefert die Gleichung einen größeren Betrag, geht der Ausgang in die Sättigung, und die Rechnung stimmt nicht mehr. Der Eingangswiderstand jedes Eingangs ist sein eigener Widerstand R_n gegen die virtuelle Masse.

Schritt 3: Gewichtete Eingänge – der Summierer als D/A-Umsetzer

Legt man an die Eingänge eines Summierers digitale Signale (0 V oder eine feste High-Spannung U_\mathrm{H}) und wählt die Widerstände im Verhältnis R, 2R, 4R, 8R, \dots, entsteht ein einfacher D/A-Umsetzer mit gewichtetem Widerstandsnetzwerk. Das höchstwertige Bit (MSB) liegt am kleinsten Widerstand und bekommt das größte Gewicht; jedes weitere Bit hat das halbe Gewicht seines Vorgängers.

Beispiel (3 Bit): Ein Mikrocontroller liefert U_\mathrm{H} = 3{,}3\ \mathrm{V}. Mit R_\mathrm{F} = 4\ \mathrm{k\Omega} und den Eingangswiderständen 8\ \mathrm{k\Omega} (Bit 2, MSB), 16\ \mathrm{k\Omega} (Bit 1) und 32\ \mathrm{k\Omega} (Bit 0, LSB) gilt:

Für das Bitmuster 110 addieren sich die Beiträge von Bit 2 und Bit 1 zu U_\mathrm{A} = -2{,}475\ \mathrm{V}. Die kleinste Stufe (Auflösung) entspricht dem Beitrag des LSB, hier 0{,}4125\ \mathrm{V}. Ein nachgeschalteter invertierender Verstärker mit V = -1 macht die Ausgangsspannung positiv.

Für viele Bits wird dieses Verfahren unpraktisch: Die Widerstände reichen über einen großen Wertebereich und müssen sehr genau sein. In der Praxis setzt man deshalb meist R-2R-Netzwerke ein. Beides behandelt der Artikel D/A-Umsetzer.

Schritt 4: Mehrstufige Rechenschaltungen und Ausgangsgleichungen

Häufig sind mehrere OPV-Stufen hintereinander geschaltet. Die Ausgangsgleichung der ganzen Schaltung bestimmst Du Stufe für Stufe: Die Ausgangsspannung der ersten Stufe ist die Eingangsspannung der zweiten.

• Summierer und Umkehrverstärker: Ein invertierender Verstärker mit V = -1 hinter dem Summierer hebt das Minuszeichen auf: U_\mathrm{A} = +\left(\frac{R_\mathrm{F}}{R_1} U_1 + \frac{R_\mathrm{F}}{R_2} U_2\right).

• Subtrahieren mit dem Summierer: Läuft eine Spannung vorher durch einen Umkehrverstärker (-U_2), subtrahiert der Summierer sie: U_\mathrm{A} = -(U_1 - U_2) = U_2 - U_1 bei gleichen Widerständen.

• Pegelverschiebung (Offset): Eine feste Referenzspannung an einem zusätzlichen Summierer-Eingang verschiebt die Kennlinie. So lässt sich ein Sensorsignal, das um 0 V schwankt, in den Eingangsbereich eines A/D-Umsetzers bringen.

Beispiel: Stufe 1 ist ein Summierer mit R_1 = R_2 = R_\mathrm{F} = 10\ \mathrm{k\Omega} an U_1 und U_2; Stufe 2 ein invertierender Verstärker mit R_3 = 10\ \mathrm{k\Omega} und R_4 = 22\ \mathrm{k\Omega}. Stufe 1 liefert U_\mathrm{A1} = -(U_1 + U_2), Stufe 2 U_\mathrm{A} = -\frac{R_4}{R_3} \cdot U_\mathrm{A1}. Eingesetzt ergibt sich die Ausgangsgleichung U_\mathrm{A} = 2{,}2 \cdot (U_1 + U_2).

Bei jeder Stufe prüfst Du, ob ihr Ergebnis innerhalb von \pm U_\mathrm{sat} bleibt. Auch eine Zwischenstufe kann in die Sättigung gehen, obwohl das Endergebnis im Bereich läge.

Schritt 5: Der Differenzverstärker (Subtrahierer)

Der Differenzverstärker verstärkt die Differenz zweier Spannungen. U_1 wird über R_1 an den −-Eingang geführt, R_2 koppelt vom Ausgang dorthin zurück. U_2 gelangt über den Spannungsteiler R_3/R_4 an den +-Eingang (Übersichtsbild, oben rechts).

Mit den beiden Rechenregeln kommst Du immer zum Ziel, auch wenn die Widerstände nicht paarweise gleich sind:

1. Teilspannung am +-Eingang aus dem unbelasteten Spannungsteiler: U_\mathrm{P} = U_2 \cdot \frac{R_4}{R_3 + R_4}.

2. Virtueller Kurzschluss: Der −-Eingang hat dieselbe Spannung, U_\mathrm{N} = U_\mathrm{P}.

3. Strom durch R_1, der vollständig auch durch R_2 fließt: I = \frac{U_1 - U_\mathrm{N}}{R_1}, und damit U_\mathrm{A} = U_\mathrm{N} - I \cdot R_2.

Zusammengefasst ergibt sich die allgemeine Gleichung (Überlagerung beider Eingänge):

U_\mathrm{A} = U_2 \cdot \frac{R_4}{R_3 + R_4} \cdot \left(1 + \frac{R_2}{R_1}\right) - U_1 \cdot \frac{R_2}{R_1}

Im Normalfall wählt man R_3 = R_1 und R_4 = R_2. Dann vereinfacht sich die Gleichung:

U_\mathrm{A} = \frac{R_2}{R_1} \cdot (U_2 - U_1)

Beispiel: Mit R_1 = R_3 = 10\ \mathrm{k\Omega}, R_2 = R_4 = 47\ \mathrm{k\Omega}, U_2 = 2{,}30\ \mathrm{V} und U_1 = 2{,}20\ \mathrm{V} liegt am +-Eingang U_\mathrm{P} = 2{,}30\ \mathrm{V} \cdot \frac{47}{57} \approx 1{,}90\ \mathrm{V}, ebenso am −-Eingang. Die Ausgangsspannung ist U_\mathrm{A} = 4{,}7 \cdot 0{,}10\ \mathrm{V} = 0{,}47\ \mathrm{V}. Beide Eingangsspannungen sind groß, ihre Differenz klein; der Differenzverstärker verstärkt nur die Differenz.

Entwurf eines Subtrahierers: Soll die Schaltung zwei Spannungen nur subtrahieren (U_\mathrm{A} = U_2 - U_1), wählst Du alle vier Widerstände gleich, z. B. 10\ \mathrm{k\Omega}. Für eine Verstärkung V_\mathrm{D} der Differenz legst Du R_1 = R_3 fest und berechnest R_2 = R_4 = V_\mathrm{D} \cdot R_1; danach wählst Du Normwerte und rechnest nach.

Zwei Eigenschaften musst Du beachten:

• Die Eingangswiderstände sind ungleich und endlich: Der Eingang U_2 sieht R_3 + R_4, der Eingang U_1 sieht R_1 gegen die (nicht festliegende) Spannung U_\mathrm{N}. Hochohmige Quellen werden deshalb belastet.

• Stimmen die Widerstandsverhältnisse nicht genau überein, verstärkt die Schaltung auch einen Teil der Gleichtaktspannung, also der Spannung, die an beiden Eingängen gleich ist. Für genaue Messungen brauchst Du deshalb eng tolerierte Widerstände.

Schritt 6: Differenzverstärker an der Messbrücke

Ein Temperatursensor wie der Pt100 ändert seinen Widerstand nur wenig: R_\vartheta = R_0 \cdot (1 + \alpha \cdot \Delta\vartheta) mit R_0 = 100\ \Omega bei 0 °C und \alpha = 3{,}85 \cdot 10^{-3}\ \mathrm{K}^{-1}. In einer Messbrücke steht er in einem Zweig, der andere Zweig liefert eine feste Vergleichsspannung. Bei der Abgleichtemperatur sind beide Zweigspannungen gleich, die Brückenspannung ist null. Erwärmt sich der Sensor, entsteht eine kleine Differenzspannung – genau das Signal, das ein Differenzverstärker verarbeiten soll. Wie Brücken berechnet werden, zeigt der Artikel Brückenschaltungen und Messbrücken.

Beispiel: Eine Brücke an U_\mathrm{B} = 1\ \mathrm{V} hat in beiden Zweigen oben 1\ \mathrm{k\Omega}; unten liegen im Vergleichszweig 100\ \Omega, im Messzweig der Pt100.

Soll der Differenzverstärker bei 50 °C etwa 1\ \mathrm{V} liefern, braucht er V_\mathrm{D} = 1\ \mathrm{V} : 15{,}6\ \mathrm{mV} \approx 64. Mit R_1 = R_3 = 10\ \mathrm{k\Omega} ergibt sich R_2 = R_4 \approx 640\ \mathrm{k\Omega}; der E24-Wert 620\ \mathrm{k\Omega} liefert U_\mathrm{A} \approx 0{,}97\ \mathrm{V}. Weil der Widerstand eines Pt-Sensors nicht ganz linear in die Brückenspannung eingeht, rechnest Du für jeden Punkt der Kennlinie mit den Zweigspannungen und nicht mit einer festen Steigung.

Das Problem der Belastung: Die Brückenzweige sind Spannungsteiler mit einem eigenen Innenwiderstand. Die Eingangswiderstände des Differenzverstärkers (R_1 bzw. R_3 + R_4) liegen parallel dazu und verändern die Zweigspannungen – und zwar ungleich, weil die beiden Eingänge verschiedene Eingangswiderstände haben. Abhilfe schaffen zwei Impedanzwandler zwischen Brücke und Differenzverstärker: Sie belasten die Brücke praktisch nicht und liefern die Zweigspannungen niederohmig an den Differenzverstärker. Diese Idee führt direkt zum Instrumentenverstärker.

Schritt 7: Der Instrumentenverstärker

Der Instrumentenverstärker (instrumentation amplifier, kurz INA) besteht aus drei OPV. Die beiden Eingangsstufen N1 und N2 sind nichtinvertierende Verstärker, die über einen gemeinsamen Widerstand R_\mathrm{G} (gain) miteinander verbunden sind. Dahinter folgt ein Differenzverstärker N3.

Mit R_5 = R_6, R_3 = R_1 und R_4 = R_2 gilt:

U_\mathrm{A} = \left(1 + \frac{2 \cdot R_5}{R_\mathrm{G}}\right) \cdot \frac{R_2}{R_1} \cdot (U_2 - U_1)

Beispiel: Mit R_5 = R_6 = 20\ \mathrm{k\Omega}, R_\mathrm{G} = 4{,}7\ \mathrm{k\Omega} und R_1 = R_2 verstärkt die Eingangsstufe die Differenz um 1 + 40 : 4{,}7 \approx 9{,}51, der Differenzverstärker um 1.

Der Instrumentenverstärker hat gegenüber dem einfachen Differenzverstärker mehrere Vorteile als Messverstärker:

• Beide Eingänge sind sehr hochohmig und gleich, denn das Signal liegt direkt an den +-Eingängen der OPV. Die Messbrücke wird nicht belastet.

• Die Verstärkung wird mit einem einzigen Widerstand R_\mathrm{G} eingestellt, ohne dass die Symmetrie der Schaltung leidet.

• Die Gleichtaktunterdrückung ist hoch: Spannungen, die an beiden Eingängen gleich sind (z. B. die halbe Brückenspeisespannung oder eingekoppelte Störungen auf beiden Leitungen), werden kaum verstärkt.

Integrierte Instrumentenverstärker enthalten die drei OPV und alle Widerstände außer R_\mathrm{G} in einem Gehäuse; die Widerstände sind beim Hersteller abgeglichen. Das Datenblatt nennt eine Gleichung für die Verstärkung, typischerweise in der Form G = 1 + \frac{R_\mathrm{int}}{R_\mathrm{G}} mit einem festen inneren Widerstandswert R_\mathrm{int} (meist einige zehn Kiloohm). Für eine geforderte Verstärkung stellst Du nach R_\mathrm{G} = \frac{R_\mathrm{int}}{G - 1} um und wählst einen Normwert.

Die Bandbreite liest Du ebenfalls im Datenblatt ab, meist als Tabelle oder Diagramm der Bandbreite über der Verstärkung. Wie beim einzelnen OPV gilt: Je größer die Verstärkung, desto kleiner die Bandbreite. Für Temperatur- oder Kraftmessungen reicht die Bandbreite fast immer, für schnelle Signale musst Du nachsehen.

Schritt 8: Der Integrierer

Beim Integrierer liegt im Rückkopplungszweig ein Kondensator C, am Eingang ein Widerstand R (Übersichtsbild, unten links). Wegen der virtuellen Masse liegt die Eingangsspannung ganz an R. Der Eingangsstrom

i = \frac{u_\mathrm{E}}{R}

fließt vollständig in den Kondensator und lädt ihn. Bei konstanter Eingangsspannung ist der Ladestrom konstant, die Kondensatorspannung steigt gleichmäßig an. Weil die linke Kondensatorseite auf virtueller Masse liegt, erscheint diese Spannung mit umgekehrtem Vorzeichen am Ausgang:

\Delta U_\mathrm{A} = -\frac{\Delta Q}{C} = -\frac{I \cdot \Delta t}{C} = -\frac{U_\mathrm{E} \cdot \Delta t}{R \cdot C}

Das Produkt \tau = R \cdot C ist die Zeitkonstante (Integrationszeit) des Integrierers. In der Zeit \tau ändert sich die Ausgangsspannung um genau den Betrag der Eingangsspannung.

• Eine positive Eingangsspannung ergibt eine fallende Rampe, eine negative eine steigende.

• Nach einem Rechteckimpuls bleibt die Ausgangsspannung auf dem erreichten Wert stehen: Der Kondensator „merkt sich“ die Ladung. Die Schaltung bildet das Produkt aus Impulshöhe und Impulsdauer.

• Eine Rechteckspannung wird zu einer Dreieckspannung.

• Die Rampe endet spätestens an der Sättigungsspannung \pm U_\mathrm{sat}.

Beispiel: Mit R = 10\ \mathrm{k\Omega} und C = 100\ \mathrm{nF} ist \tau = 1\ \mathrm{ms}. Eine Eingangsspannung von 1\ \mathrm{V} treibt einen Ladestrom von I = 1\ \mathrm{V} : 10\ \mathrm{k\Omega} = 100\ \mathrm{\mu A}; nach 1\ \mathrm{ms} hat sich die Ausgangsspannung um -1\ \mathrm{V} geändert. Bei einer Rechteckspannung von \pm 1\ \mathrm{V} mit 2\ \mathrm{ms} Periodendauer entsteht ein Dreieck:

Bauteile dimensionieren: Ist eine bestimmte Steigung bzw. Änderung gefordert, stellst Du die Gleichung um, z. B. C = \frac{U_\mathrm{E} \cdot \Delta t}{R \cdot \lvert \Delta U_\mathrm{A} \rvert}. Sinnvolle Werte liegen bei R zwischen 1\ \mathrm{k\Omega} und 1\ \mathrm{M\Omega} und bei C im Nano- bis unteren Mikrofaradbereich; als Kondensator eignen sich Folienkondensatoren, keine Elektrolytkondensatoren (Leckstrom, Polung).

Praktische Ergänzungen: Ein realer Integrierer integriert auch die Offsetspannung des OPV und läuft dadurch langsam in die Sättigung (Drift). Zwei zusätzliche Bauteile im Rückkopplungszweig verhindern das:

• Ein großer Widerstand R_\mathrm{P} parallel zu C begrenzt die Gleichspannungsverstärkung auf -R_\mathrm{P} : R. Für Signale, deren Frequenz deutlich über 1 : (2\pi R_\mathrm{P} C) liegt, integriert die Schaltung weiterhin.

• Ein Schalter parallel zu C (Rücksetzschalter) entlädt den Kondensator und setzt den Integrierer auf 0 V zurück, z. B. vor jeder Messung.

Frequenzgang: Bei Sinusspannung wirkt der Kondensator mit seinem Blindwiderstand X_C = \frac{1}{2\pi f C} wie R_2 beim invertierenden Verstärker. Der Betrag der Verstärkung ist deshalb

\lvert V \rvert = \frac{X_C}{R} = \frac{1}{2\pi f \cdot R \cdot C}

Er sinkt bei jeder Verzehnfachung der Frequenz auf ein Zehntel (−20 dB je Dekade): Der Integrierer verhält sich wie ein Tiefpass. Bei der Frequenz f_1 = \frac{1}{2\pi R C} ist \lvert V \rvert = 1; im Beispiel mit \tau = 1\ \mathrm{ms} sind das etwa 159\ \mathrm{Hz}. Aus einem Sinus wird ein Kosinus, die Ausgangsspannung ist um 90° gegenüber der Eingangsspannung verschoben.

Schritt 9: Der Differenzierer

Beim Differenzierer sind Kondensator und Widerstand vertauscht: C liegt im Eingangszweig, R im Rückkopplungszweig (Übersichtsbild, unten rechts). Durch den Kondensator fließt nur dann ein Strom, wenn sich die Eingangsspannung ändert: i = C \cdot \frac{\Delta u_\mathrm{E}}{\Delta t}. Dieser Strom fließt über R, deshalb gilt:

u_\mathrm{A} = -R \cdot C \cdot \frac{\Delta u_\mathrm{E}}{\Delta t}

Die Ausgangsspannung ist proportional zur Änderungsgeschwindigkeit der Eingangsspannung:

• Eine Dreieckspannung (konstante Steigung, abwechselnd steigend und fallend) wird zu einer Rechteckspannung.

• Eine Rechteckspannung ergibt kurze Nadelimpulse an den Flanken; dazwischen ist die Ausgangsspannung null.

• Eine konstante Gleichspannung ergibt u_\mathrm{A} = 0.

Einfluss der Kapazität: Die Ausgangsspannung ist proportional zum Produkt R \cdot C. Wird C verdoppelt, verdoppelt sich bei gleicher Steigung des Eingangssignals die Amplitude der Ausgangsspannung; wird C kleiner, sinkt sie entsprechend. Gleiches gilt für R.

Beispiel: Ein Dreieck steigt mit 2\ \mathrm{V/ms} an. Mit R = 10\ \mathrm{k\Omega} und C = 47\ \mathrm{nF} (R \cdot C = 0{,}47\ \mathrm{ms}) liefert der Differenzierer während des Anstiegs u_\mathrm{A} = -0{,}47\ \mathrm{ms} \cdot 2\ \mathrm{V/ms} = -0{,}94\ \mathrm{V}, während des Abfalls +0{,}94\ \mathrm{V}.

Frequenzgang: Hier steht der Blindwiderstand im Eingangszweig, deshalb gilt \lvert V \rvert = \frac{R}{X_C} = 2\pi f \cdot R \cdot C. Die Verstärkung steigt mit der Frequenz (+20 dB je Dekade): Der Differenzierer verhält sich wie ein Hochpass. Das macht ihn empfindlich für hochfrequente Störungen und anfällig für Schwingungen. In der Praxis liegt deshalb ein kleiner Widerstand in Reihe zu C, der die Verstärkung bei hohen Frequenzen begrenzt, und oft ein kleiner Kondensator parallel zu R.

Schritt 10: Funktionsgenerator aus Schmitt-Trigger und Integrierer

Schaltet man einen Schmitt-Trigger und einen Integrierer im Ring, schwingt die Schaltung von selbst und liefert gleichzeitig eine Rechteck- und eine Dreieckspannung. Wie der Schmitt-Trigger arbeitet, zeigt der Artikel Komparator und Schmitt-Trigger.

So arbeiten die Stufen zusammen:

1. Der Schmitt-Trigger liefert entweder +U_\mathrm{sat} oder -U_\mathrm{sat} – am Ausgang u_\mathrm{A1} liegt ein Rechteck.

2. Der Integrierer macht aus dieser konstanten Spannung eine Rampe; am Ausgang u_\mathrm{A2} liegt ein Dreieck.

3. Die Rampe ist über R_1 auf den Eingang des Schmitt-Triggers zurückgeführt. Erreicht sie eine seiner Kippspannungen, kippt der Schmitt-Trigger, und die Rampe läuft in die Gegenrichtung.

Die Dreieckspannung pendelt also genau zwischen den beiden Kippspannungen. Für den nichtinvertierenden Schmitt-Trigger mit --Eingang auf 0 V gilt:

\hat{u}_\mathrm{A2} = U_\mathrm{sat} \cdot \frac{R_1}{R_2}

Die Steigung der Rampe ist \frac{U_\mathrm{sat}}{R_3 \cdot C}. Für eine Flanke von -\hat{u}_\mathrm{A2} bis +\hat{u}_\mathrm{A2} braucht der Integrierer die Anstiegszeit t_\mathrm{r} = \frac{2 \cdot \hat{u}_\mathrm{A2} \cdot R_3 \cdot C}{U_\mathrm{sat}}, eine Periode besteht aus Anstieg und Abfall. Daraus folgt die Frequenz:

f = \frac{1}{2 \cdot t_\mathrm{r}} = \frac{R_2}{4 \cdot R_1 \cdot R_3 \cdot C}

Beispiel: Mit U_\mathrm{sat} = 13\ \mathrm{V}, R_1 = 10\ \mathrm{k\Omega}, R_2 = 33\ \mathrm{k\Omega}, R_3 = 10\ \mathrm{k\Omega} und C = 100\ \mathrm{nF} pendelt das Dreieck zwischen \pm 3{,}94\ \mathrm{V}, die Frequenz ist f = \frac{33\ \mathrm{k\Omega}}{4 \cdot 10\ \mathrm{k\Omega} \cdot 10\ \mathrm{k\Omega} \cdot 100\ \mathrm{nF}} = 825\ \mathrm{Hz}.

Frequenz und Anstiegszeit einstellen: Die Frequenz änderst Du am einfachsten über den Integrierer, weil dann die Amplitude des Dreiecks gleich bleibt:

• Grob in Dekaden durch Umschalten von C (z. B. 1\ \mathrm{\mu F}, 100\ \mathrm{nF}, 10\ \mathrm{nF}): Ein zehnmal kleinerer Kondensator ergibt die zehnfache Frequenz.

• Fein mit einem Potenziometer in Reihe zu einem festen Teil von R_3: Die Anstiegszeit ist proportional zu R_3.

• Eine Änderung von R_1 oder R_2 ändert dagegen Amplitude und Frequenz.

Hinter den Ausgängen sitzt meist ein Impedanzwandler bzw. eine Endstufe, damit eine angeschlossene Last die Signalformen nicht verändert. Viele Laborgeräte formen das Dreieck zusätzlich mit einem Diodennetzwerk in eine sinusähnliche Spannung um. Bedienung und Messung mit dem Gerät beschreibt der Artikel Oszilloskop und Funktionsgenerator.

Schritt 11: Der Integrierer im Dual-Slope-Verfahren

Der Integrierer ist auch das Herzstück eines genauen A/D-Umsetzers, wie er in vielen Digitalmultimetern arbeitet. Das Dual-Slope-Verfahren (Doppelrampen-Verfahren) misst eine Spannung in zwei Phasen:

1. Aufintegrieren: Der Integrierer integriert die unbekannte Spannung U_x für eine feste Zeit t_1, die ein Zähler abzählt. Danach hat die Ausgangsspannung den Betrag \frac{U_x \cdot t_1}{R \cdot C} erreicht – er ist proportional zu U_x.

2. Abintegrieren: Jetzt wird eine Referenzspannung U_\mathrm{ref} mit umgekehrter Polarität angelegt. Die Ausgangsspannung läuft mit fester Steigung zurück. Der Zähler misst die Zeit t_2, bis ein Komparator den Nulldurchgang meldet.

Weil die Kondensatorladung in beiden Phasen gleich groß ist, gilt U_x \cdot t_1 = U_\mathrm{ref} \cdot t_2, also

U_x = U_\mathrm{ref} \cdot \frac{t_2}{t_1}

R und C kürzen sich heraus: Ihre Toleranzen und ihre Alterung beeinflussen das Ergebnis nicht. Wählt man t_1 als ganzzahliges Vielfaches von 20\ \mathrm{ms}, mittelt der Integrierer eine eingekoppelte 50-Hz-Störung heraus. Der Nachteil ist die lange Umsetzzeit. Weitere Verfahren vergleicht der Artikel A/D-Umsetzer.

Schritt 12: OPV-Grundschaltungen im PID-Regler

Ein analoger PID-Regler lässt sich vollständig aus den OPV-Schaltungen dieses Artikels aufbauen. Jede Stufe übernimmt eine Aufgabe:

Die Übergangsfunktion (Sprungantwort) zeigt, wie der Regler auf einen Sprung der Regelabweichung um \Delta e reagiert:

• P-Regler: Die Stellgröße springt sofort auf K_\mathrm{P} \cdot \Delta e und bleibt dort.

• I-Regler: Die Stellgröße steigt als Rampe; mit dem Integrierer aus Schritt 8 ändert sie sich in der Zeit R \cdot C um \Delta e.

• PI-Regler: Sprung auf K_\mathrm{P} \cdot \Delta e, danach eine Rampe. Die Zeit, nach der der I-Anteil so groß geworden ist wie der Sprung des P-Anteils, heißt Nachstellzeit T_\mathrm{N}.

• PD- und PID-Regler: Der D-Anteil erzeugt im Moment des Sprungs eine kurze, hohe Spitze, danach bleiben P- bzw. P- und I-Anteil.

Beispiel: Ein PI-Regler hat einen P-Zweig mit K_\mathrm{P} = 2 und einen I-Zweig mit R = 100\ \mathrm{k\Omega} und C = 10\ \mathrm{\mu F} (R \cdot C = 1\ \mathrm{s}). Bei einem Sprung von \Delta e = 0{,}5\ \mathrm{V} springt die Stellgröße auf 1\ \mathrm{V} und steigt dann um 0{,}5\ \mathrm{V} je Sekunde. Nach 2\ \mathrm{s} hat der I-Anteil den Sprung des P-Anteils erreicht: T_\mathrm{N} = 2\ \mathrm{s}, die Stellgröße liegt bei 2\ \mathrm{V}.

Planen und Aufbauen: Für eine Reglerplatine nach Bestückungsplan gehst Du schrittweise vor:

1. Stufen nach der Tabelle festlegen, Widerstände und Kondensatoren aus K_\mathrm{P} und den Zeitkonstanten berechnen, Normwerte wählen.

2. Pinbelegung der OPV (z. B. Vierfach-OPV) aus dem Datenblatt ermitteln, symmetrische Versorgung und Abblockkondensatoren direkt an den Versorgungsanschlüssen vorsehen.

3. Bauteile nach Bestückungsplan einsetzen; dabei Polung von Elektrolytkondensatoren und die Einbaurichtung der OPV prüfen.

4. In Betrieb nehmen: zuerst Versorgungsspannungen ohne OPV messen, dann jede Stufe einzeln mit einer bekannten Eingangsspannung prüfen (Subtrahierer, P-Zweig), den I-Zweig mit einem Spannungssprung und dem Oszilloskop.

Wie Regelkreise und Regler insgesamt arbeiten, beschreibt der Artikel Regelungstechnik.

Schritt 13: Weitere Rechenschaltungen im Überblick

Zwei weitere OPV-Schaltungen begegnen Dir in Messverstärkern häufig:

• Präzisionsgleichrichter: An einer einfachen Diode geht die Schwellspannung von etwa 0{,}6\ \mathrm{V} verloren, kleine Wechselspannungen lassen sich so nicht gleichrichten. Liegt die Diode im Rückkopplungszweig eines OPV, gleicht der OPV die Schwellspannung aus: Die Schaltung richtet auch Millivolt-Signale gleich. Sie wird z. B. in Effektivwert- und Mittelwertmessern eingesetzt.

• Spannungs-Strom-Wandler: Der OPV regelt den Strom durch einen Messwiderstand so, dass die Spannung daran gleich der Eingangsspannung ist: I = U_\mathrm{E} : R_\mathrm{S}, unabhängig vom Lastwiderstand, solange die Versorgungsspannung reicht. So entstehen z. B. Stromsignale von 4 bis 20 mA, siehe Messumformer und Einheitssignale.

Wie geht es weiter?

• Aufgaben zu allen Schritten dieses Artikels: Übungsaufgaben zu OPV-Rechen- und Messverstärkern

• Grundlagen, invertierender und nichtinvertierender Verstärker, Impedanzwandler: Operationsverstärker-Grundschaltungen

• OPV ohne Gegenkopplung und mit Mitkopplung: Komparator und Schmitt-Trigger

• Gewichtete Widerstände und R-2R-Netzwerk: D/A-Umsetzer

• Messbrücken berechnen: Brückenschaltungen und Messbrücken

• Pt100 und andere Temperaturfühler: Temperatursensoren

• Regler und Regelkreis: Regelungstechnik

Leitfragen

1. Woran erkennst Du Summierer, Differenzverstärker, Integrierer und Differenzierer im Stromlaufplan? Antwort

Summierer: mehrere Eingangswiderstände am −-Eingang, Widerstand in der Rückführung, + an 0 V. Differenzverstärker: ein Signal über Widerstand an −, das andere über einen Spannungsteiler an +. Integrierer: Widerstand am Eingang, Kondensator in der Rückführung. Differenzierer: Kondensator am Eingang, Widerstand in der Rückführung. siehe Abschnitt „Schritt 1: Rechenschaltungen an der Beschaltung erkennen“

2. Wie lautet die Ausgangsgleichung eines invertierenden Summierers mit verschiedenen Eingangswiderständen? Antwort

U_\mathrm{A} = -\left(\frac{R_\mathrm{F}}{R_1} U_1 + \frac{R_\mathrm{F}}{R_2} U_2 + \dots\right); jeder Eingang geht mit seinem Gewichtsfaktor R_\mathrm{F} : R_n ein. siehe Abschnitt „Schritt 2: Der invertierende Summierverstärker“

3. Wie bestimmst Du die Gewichtung der Eingänge eines D/A-Umsetzers mit gewichtetem Widerstandsnetzwerk? Antwort

Jeder Eingang trägt -U_\mathrm{H} \cdot R_\mathrm{F} : R_n bei. Mit R, 2R, 4R, \dots halbiert sich das Gewicht von Bit zu Bit; das MSB liegt am kleinsten Widerstand, das LSB bestimmt die Auflösung. siehe Abschnitt „Schritt 3: Gewichtete Eingänge – der Summierer als D/A-Umsetzer“

4. Wie stellst Du die Ausgangsgleichung einer mehrstufigen Rechenschaltung auf? Antwort

Stufe für Stufe: Die Ausgangsgleichung der ersten Stufe ist die Eingangsspannung der nächsten; einsetzen und zusammenfassen. Für jede Stufe prüfen, ob sie innerhalb von \pm U_\mathrm{sat} bleibt. siehe Abschnitt „Schritt 4: Mehrstufige Rechenschaltungen und Ausgangsgleichungen“

5. Wie berechnest Du einen Differenzverstärker, dessen Widerstände nicht paarweise gleich sind? Antwort

Zuerst U_\mathrm{P} aus dem Spannungsteiler R_3/R_4, dann U_\mathrm{N} = U_\mathrm{P}, dann den Strom durch R_1, der auch durch R_2 fließt, und daraus U_\mathrm{A} = U_\mathrm{N} - I \cdot R_2. Bei R_3 = R_1 und R_4 = R_2 gilt vereinfacht U_\mathrm{A} = \frac{R_2}{R_1} (U_2 - U_1). siehe Abschnitt „Schritt 5: Der Differenzverstärker (Subtrahierer)“

6. Warum setzt man zwischen Messbrücke und Differenzverstärker Impedanzwandler ein? Antwort

Die Eingangswiderstände des Differenzverstärkers sind endlich und ungleich; sie belasten die Brückenzweige unterschiedlich und verfälschen die Brückenspannung. Impedanzwandler belasten die Brücke praktisch nicht und liefern die Zweigspannungen niederohmig weiter. siehe Abschnitt „Schritt 6: Differenzverstärker an der Messbrücke“

7. Welche Vorteile hat ein Instrumentenverstärker aus drei OPV? Antwort

Sehr hochohmige, gleiche Eingänge, Einstellung der Verstärkung mit einem Widerstand R_\mathrm{G} und hohe Gleichtaktunterdrückung. siehe Abschnitt „Schritt 7: Der Instrumentenverstärker“

8. Wie ändert sich die Ausgangsspannung eines Integrierers bei konstanter Eingangsspannung? Antwort

Linear (Rampe) mit \Delta U_\mathrm{A} = -\frac{U_\mathrm{E} \cdot \Delta t}{R \cdot C}, bis die Eingangsspannung wegfällt oder der Ausgang die Sättigung erreicht. Nach einem Rechteckimpuls bleibt die erreichte Spannung stehen. siehe Abschnitt „Schritt 8: Der Integrierer“

9. Welches Frequenzverhalten haben Integrierer und Differenzierer? Antwort

Integrierer: \lvert V \rvert = \frac{1}{2\pi f R C}, fällt mit 20 dB je Dekade (Tiefpass). Differenzierer: \lvert V \rvert = 2\pi f R C, steigt mit 20 dB je Dekade (Hochpass). siehe Abschnitt „Schritt 8: Der Integrierer“ und Abschnitt „Schritt 9: Der Differenzierer“

10. Wie beeinflusst die Kapazität die Ausgangsspannung eines Differenzierers? Antwort

Die Ausgangsspannung ist proportional zu R \cdot C und zur Steigung der Eingangsspannung. Doppelte Kapazität ergibt bei gleichem Eingangssignal die doppelte Ausgangsspannung. siehe Abschnitt „Schritt 9: Der Differenzierer“

11. Wie entstehen Rechteck und Dreieck in einem Funktionsgenerator, und wie änderst Du seine Frequenz? Antwort

Der Schmitt-Trigger liefert das Rechteck, der Integrierer macht daraus das Dreieck, das zwischen den Kippspannungen pendelt. Die Frequenz f = \frac{R_2}{4 R_1 R_3 C} änderst Du grob durch Umschalten von C und fein mit einem Potenziometer in R_3; die Amplitude bleibt dabei gleich. siehe Abschnitt „Schritt 10: Funktionsgenerator aus Schmitt-Trigger und Integrierer“

12. Warum gehen beim Dual-Slope-Verfahren R und C nicht in das Ergebnis ein? Antwort

Derselbe Integrierer wird mit U_x für die feste Zeit t_1 auf- und mit U_\mathrm{ref} in der Zeit t_2 abintegriert. Aus der gleichen Ladung folgt U_x = U_\mathrm{ref} \cdot t_2 : t_1; R \cdot C kürzt sich heraus. siehe Abschnitt „Schritt 11: Der Integrierer im Dual-Slope-Verfahren“

13. Welche OPV-Schaltungen bilden einen PID-Regler, und wie sieht die Übergangsfunktion eines PI-Reglers aus? Antwort

Subtrahierer für e = w - x, invertierender Verstärker (P), Integrierer (I), Differenzierer (D), Summierer und Umkehrverstärker. Der PI-Regler springt auf K_\mathrm{P} \cdot \Delta e und steigt danach als Rampe an. siehe Abschnitt „Schritt 12: OPV-Grundschaltungen im PID-Regler“

Links und weitere Informationen

• als Nachschlagewerk: Wikipedia: Operationsverstärker

• zum Instrumentenverstärker: Wikipedia: Instrumentenverstärker

• zum Integrierer: Wikipedia: Integrierer

• zum Dual-Slope-Verfahren: Wikipedia: Analog-Digital-Umsetzer

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Dieser Artikel und seine Texte, Bilder, Grafiken, Code und sonstiger Inhalt sind - sofern nicht anders angegeben - lizenziert unter CC BY 4.0. Nennung gemäß TULLU-Regel bitte wie folgt: “OPV-Rechen- und Messverstärker: Summierer, Differenz- und Instrumentenverstärker, Integrierer, Differenzierer” von oer-informatik.de (H. Stein), Lizenz: CC BY 4.0. Der Artikel wurde unter https://oer-informatik.de/opv-rechen-messverstaerker veröffentlicht, die Quelltexte sind in weiterverarbeitbarer Form verfügbar im Repository unter https://gitlab.com/oer-informatik/elektrotechnik/analogtechnik. Erstellt mit KI-Assistenz; von mir umfassend redaktionell überarbeitet, geprüft und freigegeben. Stand: 12.11.2026.

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