Übungsaufgaben zu Komparator, Fensterkomparator und Schmitt-Trigger

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Erstelle neue Übungsaufgaben zum Thema „Komparator, Fensterkomparator
und Schmitt-Trigger“.

Bauplan: Halte Dich an Aufbau, Kompetenzstufen, Operatoren,
Anforderungsbereiche, Punkte und Zeitschätzung, die im Artikel
https://oer-informatik.de/aufgaben-aufbau beschrieben sind.

Fachliche Grundlage:
- https://oer-informatik.de/komparator-schmitt-trigger
- https://oer-informatik.de/opv-grundschaltungen
- https://oer-informatik.de/spannungsteiler
- Stilbeispiel: https://oer-informatik.de/komparator-schmitt-trigger-uebungsaufgaben

Die Aufgaben sollen Inhalte zu diesen Schlagwörtern abdecken:
- Komparator
- Fensterkomparator
- Balkenanzeige
- Lichtschranke
- PWM
- Tastgrad
- Schmitt-Trigger
- Hysterese
- Mitkopplung
- Kippspannung

Kompetenzstufe: Kernkompetenz (alternativ: Basiskompetenz, Profilkompetenz, Expertise)
Anzahl: 1 Aufgabe mit Teilaufgaben
Bearbeitungszeit in Minuten ca.: <5 bis 30 min>
Szenario: eines der Szenarien aus dem Bauplan

Vorgehen:
1. Lies zuerst die verlinkten Artikel. Kannst Du keine Webseiten
   abrufen, sag mir das, statt zu raten.
2. Steht bei einer Angabe noch ein Platzhalter in <…>, frag mich
   zuerst danach. Richte Punkte und Zahl der Teilaufgaben nach der
   Bearbeitungszeit (ca. 0,9 min je Punkt).
3. Gib je Aufgabe Titel mit Kompetenzstufe, Ausgangssituation und
   Teilaufgaben mit Operator und Punktzahl aus, dazu die geschätzte
   Bearbeitungszeit.
4. Gib die Beispiellösungen mit Punkteverteilung erst aus, wenn ich
   danach frage.

Geg.: Teilerkette R_1 = 56\ \mathrm{k\Omega}, R_2 = 1{,}5\ \mathrm{k\Omega}, R_3 = 1{,}0\ \mathrm{k\Omega}, R_4 = 6{,}8\ \mathrm{k\Omega} an 5\ \mathrm{V}; U_\mathrm{S} = 0{,}5\ \mathrm{V} + 10\ \mathrm{mV/°C} \cdot \vartheta; Ausgänge High \approx 5\ \mathrm{V}, Low \approx 0\ \mathrm{V}

Ges.: Art der Schaltung mit Begründung

N1 bis N3 arbeiten als \underline{\underline{\text{Komparatoren}}} (1 Punkt). Begründung (1 Punkt): Kein Bauteil führt vom Ausgang auf einen Eingang zurück, es gibt also weder Gegen- noch Mitkopplung. Am +-Eingang liegt das Messsignal U_\mathrm{S}, am −-Eingang eine feste Vergleichsspannung aus der Teilerkette; der Ausgang kann nur High oder Low sein.

Ges.: U_\mathrm{N1}, U_\mathrm{N2}, U_\mathrm{N3}

\begin{aligned} &\text{(I)} && U_\mathrm{Abgriff} = U_\mathrm{B} \cdot \frac{R_\mathrm{unterhalb}}{R_\mathrm{ges}} \\ &\text{(II)} && R_\mathrm{ges} = R_1 + R_2 + R_3 + R_4 \end{aligned}

R_\mathrm{ges} = 56\ \mathrm{k\Omega} + 1{,}5\ \mathrm{k\Omega} + 1{,}0\ \mathrm{k\Omega} + 6{,}8\ \mathrm{k\Omega} = 65{,}3\ \mathrm{k\Omega}; II in I, je Abgriff 1 Punkt:

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U_\mathrm{N1} & = & 5\ \mathrm{V} \cdot \dfrac{6{,}8\ \mathrm{k\Omega}}{65{,}3\ \mathrm{k\Omega}} \approx \underline{\underline{0{,}521\ \mathrm{V}}} & \\ U_\mathrm{N2} & = & 5\ \mathrm{V} \cdot \dfrac{7{,}8\ \mathrm{k\Omega}}{65{,}3\ \mathrm{k\Omega}} \approx \underline{\underline{0{,}597\ \mathrm{V}}} & \\ U_\mathrm{N3} & = & 5\ \mathrm{V} \cdot \dfrac{9{,}3\ \mathrm{k\Omega}}{65{,}3\ \mathrm{k\Omega}} \approx \underline{\underline{0{,}712\ \mathrm{V}}} & \end{array}

Ges.: Zustandstabelle

\begin{aligned} &\text{(I)} && U_\mathrm{S} = 0{,}5\ \mathrm{V} + 10\ \mathrm{mV/°C} \cdot \vartheta \end{aligned}

Ein Komparator liegt auf High, wenn U_\mathrm{S} größer als die Spannung an seinem −-Eingang ist (Schwellen aus b): 0{,}521\ \mathrm{V}, 0{,}597\ \mathrm{V}, 0{,}712\ \mathrm{V}). Je Zeile 1 Punkt:

Die Anzeige arbeitet als Balkenanzeige: P1 bedeutet über etwa 2 °C, P2 über etwa 10 °C, P3 über etwa 21 °C.

Ges.: Zuordnung zu den Funktionsblöcken

Je zwei richtige Zuordnungen 1 Punkt:

Ges.: Funktion von K1 und K2; LEDs am Morgen

Bei −1 °C ist U_\mathrm{S} = 0{,}49\ \mathrm{V} kleiner als 0{,}521\ \mathrm{V}; N1 schaltet auf Low. K1 invertiert dieses Signal, am Setzeingang S von K2 liegt High, und das Flipflop wird gesetzt: Q = 1, P4 leuchtet (1 Punkt). Steigt die Temperatur wieder, geht N1 auf High und S auf Low. Das Flipflop behält seinen Zustand, weil weder S noch R aktiv sind: Es speichert die Frostmeldung (1 Punkt). Bei 12 °C (U_\mathrm{S} = 0{,}62\ \mathrm{V}) leuchten am Morgen \underline{\underline{\text{P1, P2 und P4}}}; P4 erlischt erst, wenn die Quittiertaste den Rücksetzeingang R aktiviert (1 Punkt).

Geg.: U_\mathrm{N1,neu} = 0{,}550\ \mathrm{V}; R_1, R_2, R_3 unverändert

Ges.: R_4, Normwert, neue Schwelle

\begin{aligned} &\text{(I)} && U_\mathrm{N1} = U_\mathrm{B} \cdot \frac{R_4}{R_1 + R_2 + R_3 + R_4} \end{aligned}

Umstellen nach R_4 mit R_\mathrm{o} = R_1 + R_2 + R_3 = 58{,}5\ \mathrm{k\Omega} (1 Punkt):

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U_\mathrm{N1} & = & U_\mathrm{B} \cdot \dfrac{R_4}{R_\mathrm{o} + R_4} & \color{gray}{\cdot (R_\mathrm{o} + R_4)} \\ U_\mathrm{N1} \cdot R_\mathrm{o} + U_\mathrm{N1} \cdot R_4 & = & U_\mathrm{B} \cdot R_4 & \color{gray}{- U_\mathrm{N1} \cdot R_4} \\ U_\mathrm{N1} \cdot R_\mathrm{o} & = & R_4 \cdot (U_\mathrm{B} - U_\mathrm{N1}) & \color{gray}{: (U_\mathrm{B} - U_\mathrm{N1})} \\ R_4 & = & \dfrac{U_\mathrm{N1} \cdot R_\mathrm{o}}{U_\mathrm{B} - U_\mathrm{N1}} = \dfrac{0{,}55\ \mathrm{V} \cdot 58{,}5\ \mathrm{k\Omega}}{4{,}45\ \mathrm{V}} \approx \underline{\underline{7{,}23\ \mathrm{k\Omega}}} & \end{array}

Normwert (1 Punkt): Der nächstgelegene E24-Wert ist \underline{\underline{7{,}5\ \mathrm{k\Omega}}} (6,8 kΩ wäre zu weit entfernt). Neue Schwelle (1 Punkt):

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U_\mathrm{N1} & = & 5\ \mathrm{V} \cdot \dfrac{7{,}5\ \mathrm{k\Omega}}{66{,}0\ \mathrm{k\Omega}} \approx \underline{\underline{0{,}568\ \mathrm{V}}} & \\ \vartheta & = & \dfrac{0{,}568\ \mathrm{V} - 0{,}5\ \mathrm{V}}{10\ \mathrm{mV/°C}} \approx \underline{\underline{6{,}80\ \mathrm{°C}}} & \end{array}

Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: \vartheta = 6{,}82\ \mathrm{°C}. Weil sich R_\mathrm{ges} ändert, verschieben sich auch die Schwellen von N2 (0{,}644\ \mathrm{V}) und N3 (0{,}758\ \mathrm{V}).

Ges.: Ursache des Flackerns, Abhilfe

Ursache (1 Punkt): U_\mathrm{S} steigt nur langsam und ist von kleinen Störungen (Rauschen, Einstreuungen) überlagert. Solange sie um die Schwelle von N1 pendelt, kippt der Ausgang des Komparators bei jeder kleinen Schwankung um; P1 flackert.

Abhilfe (1 Punkt): N1 als Schmitt-Trigger beschalten, also über einen Mitkopplungswiderstand vom Ausgang auf den +-Eingang eine Hysterese erzeugen. Dann schaltet P1 erst bei der oberen Schwelle ein und erst bei der unteren wieder aus. Ebenfalls richtig: ein Kondensator am Sensorausgang, der die Störungen glättet (beseitigt aber nur schnelle Störungen).

Geg.: invertierender Schmitt-Trigger, R_1 = 4{,}7\ \mathrm{k\Omega}, R_2 = 47\ \mathrm{k\Omega}, U_\mathrm{sat} = \pm 11\ \mathrm{V}

Ges.: Aufgabe des Schmitt-Triggers

Der Schmitt-Trigger formt aus dem verrauschten, sinusähnlichen Sensorsignal ein Rechtecksignal mit steilen Flanken und festen Pegeln (1 Punkt). Wegen der Hysterese schaltet er je Halbperiode nur einmal; Störungen, die kleiner als die Hysterese sind, lösen keine zusätzlichen Flanken aus. Der Zähler zählt deshalb jede Umdrehung genau einmal (1 Punkt).

Ges.: U_\mathrm{o}, U_\mathrm{u}, U_\mathrm{H}

\begin{aligned} &\text{(I)} && U_\mathrm{o} = +U_\mathrm{sat} \cdot \frac{R_1}{R_1 + R_2} \\ &\text{(II)} && U_\mathrm{H} = U_\mathrm{o} - U_\mathrm{u} \end{aligned}

Je Ergebnis 1 Punkt:

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U_\mathrm{o} & = & 11\ \mathrm{V} \cdot \dfrac{4{,}7\ \mathrm{k\Omega}}{51{,}7\ \mathrm{k\Omega}} = \underline{\underline{1{,}00\ \mathrm{V}}} & \\ U_\mathrm{u} & = & -11\ \mathrm{V} \cdot \dfrac{4{,}7\ \mathrm{k\Omega}}{51{,}7\ \mathrm{k\Omega}} = \underline{\underline{-1{,}00\ \mathrm{V}}} & \\ U_\mathrm{H} & = & 1{,}00\ \mathrm{V} - (-1{,}00\ \mathrm{V}) = \underline{\underline{2{,}00\ \mathrm{V}}} & \end{array}

Geg.: \hat{u}_\mathrm{E} = 2\ \mathrm{V}, f = 200\ \mathrm{Hz}, Anfangszustand u_\mathrm{A} = +11\ \mathrm{V}

Ges.: Umschaltzeitpunkte und Pegel; Vergleich mit Komparator

\begin{aligned} &\text{(I)} && T = \frac{1}{f} \\ &\text{(II)} && \sin\varphi = \frac{U_\mathrm{o}}{\hat{u}_\mathrm{E}} \\ &\text{(III)} && t = \frac{\varphi}{360°} \cdot T \end{aligned}

T = 1 : 200\ \mathrm{Hz} = 5\ \mathrm{ms}. Solange u_\mathrm{A} = +11\ \mathrm{V} ist, liegt der +-Eingang auf +1{,}00\ \mathrm{V} (1 Punkt):

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} \sin\varphi_1 & = & \dfrac{1{,}00\ \mathrm{V}}{2\ \mathrm{V}} = 0{,}5 \Rightarrow \varphi_1 = 30° & \\ t_1 & = & \dfrac{30°}{360°} \cdot 5\ \mathrm{ms} \approx \underline{\underline{0{,}417\ \mathrm{ms}}} & \end{array}

Bei t_1 übersteigt das steigende Signal U_\mathrm{o}; der Ausgang kippt auf \underline{\underline{-11\ \mathrm{V}}} (1 Punkt). Jetzt liegt der +-Eingang auf -1{,}00\ \mathrm{V}. Das fallende Signal erreicht -1{,}00\ \mathrm{V} bei \varphi_2 = 180° + 30° = 210° (1 Punkt):

t_2 = \frac{210°}{360°} \cdot 5\ \mathrm{ms} \approx \underline{\underline{2{,}92\ \mathrm{ms}}}

Der Ausgang kippt zurück auf \underline{\underline{+11\ \mathrm{V}}}. Das Rechteck ist gegenüber dem Eingang um 30° verzögert und gegenphasig (1 Punkt).

Vergleich (1 Punkt): Ein Komparator ohne R_2 schaltet bei den Nulldurchgängen um, also bei 0\ \mathrm{ms} (nach -11\ \mathrm{V}), 2{,}5\ \mathrm{ms} (nach +11\ \mathrm{V}) und 5\ \mathrm{ms}. Beim verrauschten Sensorsignal würde er dort mehrfach kippen.

Ges.: zwei Möglichkeiten; U_\mathrm{H} mit R_2 = 100\ \mathrm{k\Omega}

\begin{aligned} &\text{(I)} && U_\mathrm{H} = 2 \cdot U_\mathrm{sat} \cdot \frac{R_1}{R_1 + R_2} \end{aligned}

Möglichkeiten (1 Punkt): Mitkopplungswiderstand R_2 vergrößern oder R_1 verkleinern; in beiden Fällen wird ein kleinerer Teil der Ausgangsspannung zurückgeführt. Ebenfalls richtig: OPV mit kleinerer Versorgungs- und damit Sättigungsspannung.

Berechnung (2 Punkte):

U_\mathrm{H} = 2 \cdot 11\ \mathrm{V} \cdot \frac{4{,}7\ \mathrm{k\Omega}}{104{,}7\ \mathrm{k\Omega}} \approx \underline{\underline{0{,}988\ \mathrm{V}}}

Die Kippspannungen liegen jetzt bei etwa \pm 0{,}494\ \mathrm{V}.

Geg.: V_\mathrm{T+}: 2,2 / 2,8 / 3,4 V; V_\mathrm{T-}: 1,2 / 1,7 / 2,2 V (min./typ./max.); Signal 0{,}5 \dots 3{,}0\ \mathrm{V}

Ges.: typische Hysterese; sicheres Schalten

\begin{aligned} &\text{(I)} && V_\mathrm{H} = V_\mathrm{T+} - V_\mathrm{T-} \end{aligned}

V_\mathrm{H,typ} = 2{,}8\ \mathrm{V} - 1{,}7\ \mathrm{V} = \underline{\underline{1{,}10\ \mathrm{V}}}

(1 Punkt). Für sicheres Schalten muss das Signal über das größte V_\mathrm{T+} steigen und unter das kleinste V_\mathrm{T-} fallen (1 Punkt). Unten ist das erfüllt (0{,}5\ \mathrm{V} < 1{,}2\ \mathrm{V}), oben nicht: 3{,}0\ \mathrm{V} < 3{,}4\ \mathrm{V}. Ein Exemplar mit großem V_\mathrm{T+} schaltet \underline{\underline{\text{nicht sicher}}}; das Signal muss vorher verstärkt werden (1 Punkt).

Ges.: Messung der Hysterese mit dem Oszilloskop

Je Schritt 1 Punkt, z. B.:

• Funktionsgenerator an den Eingang, langsames Dreieck- oder Sinussignal (z. B. 100 Hz) mit einer Amplitude, die sicher über beide Kippspannungen reicht (z. B. 3 V).

• Kanal 1 an den Eingang, Kanal 2 an den Ausgang, beide DC-gekoppelt, gemeinsame Masse. Oszilloskop in den XY-Betrieb schalten (Eingang auf X, Ausgang auf Y).

• Auf dem Schirm erscheint die Hysteresekennlinie. Die beiden senkrechten Sprünge liegen bei U_\mathrm{o} und U_\mathrm{u}; ihren Abstand (die Hysterese) mit den Cursorn ablesen.

Ebenfalls richtig: im Yt-Betrieb an den Flanken des Ausgangs die zugehörige Eingangsspannung mit den Cursorn ablesen.

Geg.: V_\mathrm{T+} = 2{,}8\ \mathrm{V}, V_\mathrm{T-} = 1{,}7\ \mathrm{V} (typ.), U_\mathrm{B} = 5\ \mathrm{V}, C = 100\ \mathrm{nF}, f = 1\ \mathrm{kHz}

Ges.: R, Normwert, Frequenz

\begin{aligned} &\text{(I)} && t_\mathrm{H} = R C \cdot \ln \frac{U_\mathrm{B} - V_\mathrm{T-}}{U_\mathrm{B} - V_\mathrm{T+}} \\ &\text{(II)} && t_\mathrm{L} = R C \cdot \ln \frac{V_\mathrm{T+}}{V_\mathrm{T-}} \\ &\text{(III)} && f = \frac{1}{t_\mathrm{H} + t_\mathrm{L}} \end{aligned}

Logarithmen (1 Punkt): \ln(3{,}3 : 2{,}2) \approx 0{,}405 und \ln(2{,}8 : 1{,}7) \approx 0{,}499, Summe \approx 0{,}904. I und II in III, nach R umstellen (1 Punkt):

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} f & = & \dfrac{1}{R C \cdot 0{,}904} & \color{gray}{\cdot R} \\ f \cdot R & = & \dfrac{1}{C \cdot 0{,}904} & \color{gray}{: f} \\ R & = & \dfrac{1}{f \cdot C \cdot 0{,}904} = \dfrac{1}{1000\ \mathrm{s^{-1}} \cdot 100 \cdot 10^{-9}\ \mathrm{F} \cdot 0{,}904} \approx \underline{\underline{11{,}1\ \mathrm{k\Omega}}} & \end{array}

Normwert (1 Punkt): \underline{\underline{11\ \mathrm{k\Omega}}} (E24). Frequenz damit (1 Punkt):

f = \frac{1}{11\ \mathrm{k\Omega} \cdot 100\ \mathrm{nF} \cdot 0{,}904} \approx \underline{\underline{1{,}01\ \mathrm{kHz}}}

Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: f \approx 1005\ \mathrm{Hz}. Weil die Schwellen streuen, kann die tatsächliche Frequenz deutlich abweichen; ein Trimmer in Reihe zu R erlaubt den Abgleich.

Geg.: Schaltung der Lichtschranke; I_\mathrm{C} = 0{,}40\ \mathrm{mA} beleuchtet, 2\ \mathrm{\mu A} unterbrochen; N1 mit Open-Collector-Ausgang, U_\mathrm{OL} = 0{,}2\ \mathrm{V}, I_\mathrm{max} = 6\ \mathrm{mA}

Ges.: Zuordnung zu den Baugruppen

Je zwei richtige Zuordnungen 1 Punkt:

Ges.: Einstellbereich U_\mathrm{ref,min} bis U_\mathrm{ref,max}

\begin{aligned} &\text{(I)} && U_\mathrm{ref} = U_\mathrm{B} \cdot \frac{R_\mathrm{unterhalb}}{R_3 + R_\mathrm{P} + R_4} \end{aligned}

R_\mathrm{ges} = 22\ \mathrm{k\Omega} + 10\ \mathrm{k\Omega} + 10\ \mathrm{k\Omega} = 42\ \mathrm{k\Omega} (1 Punkt). Schleifer unten bzw. oben (je 1 Punkt):

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U_\mathrm{ref,min} & = & 5\ \mathrm{V} \cdot \dfrac{10\ \mathrm{k\Omega}}{42\ \mathrm{k\Omega}} \approx \underline{\underline{1{,}19\ \mathrm{V}}} & \\ U_\mathrm{ref,max} & = & 5\ \mathrm{V} \cdot \dfrac{20\ \mathrm{k\Omega}}{42\ \mathrm{k\Omega}} \approx \underline{\underline{2{,}38\ \mathrm{V}}} & \end{array}

Ges.: U_\mathrm{F} beleuchtet und unterbrochen; Pegel am Mikrocontroller

\begin{aligned} &\text{(I)} && U_\mathrm{F} = I_\mathrm{C} \cdot R_\mathrm{E} \end{aligned}

Schwelle in Mittelstellung: U_\mathrm{ref} = 5\ \mathrm{V} \cdot 15 : 42 \approx 1{,}79\ \mathrm{V} (1 Punkt).

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U_\mathrm{F,hell} & = & 0{,}40\ \mathrm{mA} \cdot 10\ \mathrm{k\Omega} = \underline{\underline{4{,}00\ \mathrm{V}}} & \\ U_\mathrm{F,dunkel} & = & 2\ \mathrm{\mu A} \cdot 10\ \mathrm{k\Omega} = \underline{\underline{0{,}0200\ \mathrm{V}}} & \end{array}

(1 Punkt). Pegel (je 1 Punkt):

• Lichtweg frei: U_\mathrm{P} = 4{,}00\ \mathrm{V} > U_\mathrm{N} = 1{,}79\ \mathrm{V}, der Ausgangstransistor sperrt, R_\mathrm{PU} zieht den Eingang auf \underline{\underline{3{,}3\ \mathrm{V}}} (High).

• Lichtweg unterbrochen: U_\mathrm{P} = 0{,}02\ \mathrm{V} < U_\mathrm{N}, der Ausgangstransistor leitet, am Eingang liegen \underline{\underline{0{,}2\ \mathrm{V}}} (Low). Jeder Besucher erzeugt also einen Low-Impuls; der Mikrocontroller zählt z. B. die fallenden Flanken.

Ges.: Begründung für 3,3 V; Strom im Ausgangstransistor

\begin{aligned} &\text{(I)} && I = \frac{U_\mathrm{PU} - U_\mathrm{OL}}{R_\mathrm{PU}} \end{aligned}

Begründung (1 Punkt): Der High-Pegel eines Open-Collector-Ausgangs entsteht allein durch den Pull-up-Widerstand. Hängt er an 3{,}3\ \mathrm{V}, erhält der Mikrocontroller höchstens 3{,}3\ \mathrm{V}; 5\ \mathrm{V} könnten seinen Eingang schädigen. Der Komparator kann trotzdem mit 5\ \mathrm{V} versorgt werden (Pegelanpassung) (1 Punkt).

I = \frac{3{,}3\ \mathrm{V} - 0{,}2\ \mathrm{V}}{10\ \mathrm{k\Omega}} = \underline{\underline{0{,}310\ \mathrm{mA}}} < 6\ \mathrm{mA}

Der Strom ist zulässig (1 Punkt).

Ges.: Auswirkung des verpolten Fototransistors

Verpolt arbeitet der Fototransistor invers mit sehr kleiner Stromverstärkung; der Strom bleibt auch bei Beleuchtung sehr klein. U_\mathrm{F} bleibt dauerhaft nahe 0 V und damit unter der Schwelle (1 Punkt). N1 meldet ständig „unterbrochen“: Am Mikrocontroller liegt dauernd Low (0{,}2\ \mathrm{V}), es entstehen keine Flanken, und es wird nichts gezählt (1 Punkt).

Geg.: R_\mathrm{B1} = 22\ \mathrm{k\Omega}, R_\mathrm{B2} = 10\ \mathrm{k\Omega}, U_\mathrm{BE} = 0{,}7\ \mathrm{V}

Ges.: Schaltschwelle U_\mathrm{F}; zwei Nachteile

\begin{aligned} &\text{(I)} && U_\mathrm{BE} = U_\mathrm{F} \cdot \frac{R_\mathrm{B2}}{R_\mathrm{B1} + R_\mathrm{B2}} \end{aligned}

Nach U_\mathrm{F} umstellen (2 Punkte):

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U_\mathrm{BE} & = & U_\mathrm{F} \cdot \dfrac{R_\mathrm{B2}}{R_\mathrm{B1} + R_\mathrm{B2}} & \color{gray}{\cdot \dfrac{R_\mathrm{B1} + R_\mathrm{B2}}{R_\mathrm{B2}}} \\ U_\mathrm{F} & = & U_\mathrm{BE} \cdot \dfrac{R_\mathrm{B1} + R_\mathrm{B2}}{R_\mathrm{B2}} = 0{,}7\ \mathrm{V} \cdot \dfrac{32\ \mathrm{k\Omega}}{10\ \mathrm{k\Omega}} = \underline{\underline{2{,}24\ \mathrm{V}}} & \end{array}

Nachteile (je 1 Punkt), z. B.:

• Die Schwelle hängt von U_\mathrm{BE} ab, das mit der Temperatur um etwa 2\ \mathrm{mV/K} sinkt und je Exemplar streut; sie ist nicht einstellbar.

• Der Transistor schaltet nicht schlagartig, sondern durchläuft einen Übergangsbereich; die Flanken sind flach, und der Basisspannungsteiler liegt parallel zu R_\mathrm{E}: Er belastet den Sensor, U_\mathrm{F} bei Beleuchtung sinkt von 4{,}00\ \mathrm{V} auf etwa 3{,}05\ \mathrm{V}.

Geg.: R_1 = 33\ \mathrm{k\Omega}, R_2 = 2{,}2\ \mathrm{k\Omega}, R_3 = 15\ \mathrm{k\Omega} an 5\ \mathrm{V}; U_\mathrm{T} = 1{,}00\ \mathrm{V} + 25\ \mathrm{mV/°C} \cdot \vartheta; Ausgänge 0\ \mathrm{V}/5\ \mathrm{V}

Ges.: U_\mathrm{o}, U_\mathrm{u}, Temperaturfenster

\begin{aligned} &\text{(I)} && U_\mathrm{Abgriff} = U_\mathrm{B} \cdot \frac{R_\mathrm{unterhalb}}{R_1 + R_2 + R_3} \\ &\text{(II)} && \vartheta = \frac{U_\mathrm{T} - 1{,}00\ \mathrm{V}}{25\ \mathrm{mV/°C}} \end{aligned}

R_\mathrm{ges} = 50{,}2\ \mathrm{k\Omega}. Je Ergebnis 1 Punkt:

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U_\mathrm{o} & = & 5\ \mathrm{V} \cdot \dfrac{17{,}2\ \mathrm{k\Omega}}{50{,}2\ \mathrm{k\Omega}} \approx \underline{\underline{1{,}71\ \mathrm{V}}} & \\ U_\mathrm{u} & = & 5\ \mathrm{V} \cdot \dfrac{15\ \mathrm{k\Omega}}{50{,}2\ \mathrm{k\Omega}} \approx \underline{\underline{1{,}49\ \mathrm{V}}} & \\ \vartheta_\mathrm{u} & = & \dfrac{1{,}49\ \mathrm{V} - 1{,}00\ \mathrm{V}}{25\ \mathrm{mV/°C}} \approx \underline{\underline{19{,}6\ \mathrm{°C}}} & \\ \vartheta_\mathrm{o} & = & \dfrac{1{,}71\ \mathrm{V} - 1{,}00\ \mathrm{V}}{25\ \mathrm{mV/°C}} \approx \underline{\underline{28{,}4\ \mathrm{°C}}} & \end{array}

Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: \vartheta_\mathrm{u} \approx 19{,}8\ \mathrm{°C}, \vartheta_\mathrm{o} \approx 28{,}5\ \mathrm{°C}. Der Laser ist also bei etwa 20 bis 28,5 °C Kühlwassertemperatur freigegeben.

Ges.: Ausgangspegel

N1 ist High, wenn U_\mathrm{T} > U_\mathrm{o} = 1{,}71\ \mathrm{V}; N2 ist High, wenn U_\mathrm{T} < U_\mathrm{u} = 1{,}49\ \mathrm{V}; das NOR-Gatter gibt nur High aus, wenn beide Eingänge Low sind. Je Zeile 1 Punkt:

Ges.: Ursache des Ein- und Ausschaltens; Wirkung der Mitkopplung

Ursache (1 Punkt): Ein Komparator hat nur eine Schaltschwelle. Schwankt U_\mathrm{T} durch Rauschen, Strömungsänderungen oder Einstreuungen um U_\mathrm{o}, kippt N1 bei jeder kleinen Schwankung, und der Laser wird ständig ein- und ausgeschaltet.

Mitkopplung (1 Punkt): Ein Teil der Ausgangsspannung von N1 wird auf den +-Eingang zurückgeführt. Die Schaltung wird zum Schmitt-Trigger mit einer Einschalt- und einer tieferen Ausschaltschwelle. Nach dem Einschalten der Meldung „zu warm“ muss die Temperatur erst um die Hysterese sinken, bevor der Laser wieder freigegeben wird.

Geg.: R_\mathrm{E} = 10\ \mathrm{k\Omega}, U_\mathrm{H} \approx 0{,}10\ \mathrm{V}, U_\mathrm{N} = U_\mathrm{o} = 1{,}71\ \mathrm{V}, U_\mathrm{AL} = 0\ \mathrm{V}, U_\mathrm{AH} = 5\ \mathrm{V}

Ges.: R_\mathrm{M}; Ein- und Ausschaltspannung

\begin{aligned} &\text{(I)} && U_\mathrm{P} = U_\mathrm{T} \cdot \frac{R_\mathrm{M}}{R_\mathrm{E} + R_\mathrm{M}} + U_\mathrm{A} \cdot \frac{R_\mathrm{E}}{R_\mathrm{E} + R_\mathrm{M}} \\ &\text{(II)} && U_\mathrm{H} = U_\mathrm{AH} \cdot \frac{R_\mathrm{E}}{R_\mathrm{M}} \end{aligned}

II nach R_\mathrm{M} umstellen (1 Punkt):

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U_\mathrm{H} & = & U_\mathrm{AH} \cdot \dfrac{R_\mathrm{E}}{R_\mathrm{M}} & \color{gray}{\cdot R_\mathrm{M}} \\ U_\mathrm{H} \cdot R_\mathrm{M} & = & U_\mathrm{AH} \cdot R_\mathrm{E} & \color{gray}{: U_\mathrm{H}} \\ R_\mathrm{M} & = & \dfrac{U_\mathrm{AH} \cdot R_\mathrm{E}}{U_\mathrm{H}} = \dfrac{5\ \mathrm{V} \cdot 10\ \mathrm{k\Omega}}{0{,}10\ \mathrm{V}} = \underline{\underline{500\ \mathrm{k\Omega}}} & \end{array}

Normwert (1 Punkt): \underline{\underline{510\ \mathrm{k\Omega}}} (E24), damit U_\mathrm{H} = 5\ \mathrm{V} \cdot 10 : 510 \approx 0{,}0980\ \mathrm{V}.

Der Ausgang kippt, wenn U_\mathrm{P} = U_\mathrm{o} ist. I nach U_\mathrm{T} umgestellt: U_\mathrm{T} = \dfrac{U_\mathrm{o} \cdot (R_\mathrm{E} + R_\mathrm{M}) - U_\mathrm{A} \cdot R_\mathrm{E}}{R_\mathrm{M}}. Einschalten bei Ausgang Low, U_\mathrm{A} = 0 (1,5 Punkte), Ausschalten bei Ausgang High, U_\mathrm{A} = 5\ \mathrm{V} (1,5 Punkte):

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U_\mathrm{T,ein} & = & \dfrac{1{,}71\ \mathrm{V} \cdot 520\ \mathrm{k\Omega}}{510\ \mathrm{k\Omega}} \approx \underline{\underline{1{,}74\ \mathrm{V}}} & \\ U_\mathrm{T,aus} & = & \dfrac{1{,}71\ \mathrm{V} \cdot 520\ \mathrm{k\Omega} - 5\ \mathrm{V} \cdot 10\ \mathrm{k\Omega}}{510\ \mathrm{k\Omega}} \approx \underline{\underline{1{,}65\ \mathrm{V}}} & \end{array}

Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: U_\mathrm{T,ein} \approx 1{,}75\ \mathrm{V} (29,9 °C), U_\mathrm{T,aus} \approx 1{,}65\ \mathrm{V} (25,9 °C). Die Meldung „zu warm“ kommt also etwas später als ohne Mitkopplung und geht erst etwa 0,1 V (4 °C) tiefer wieder weg.

Geg.: invertierender Schmitt-Trigger, U_\mathrm{sat} = \pm 4{,}8\ \mathrm{V}, R_1 = 2{,}2\ \mathrm{k\Omega}, R_2 = 10\ \mathrm{k\Omega}; PWM-Komparator, Dreieck 0 \dots 5\ \mathrm{V}, 20\ \mathrm{kHz}

Ges.: Baugruppen der Abtastung; Signal nach der Leitung; Regenerierung

Baugruppen in Signalrichtung (2 Punkte): Sender (IR-LED) → Strichcodescheibe → Empfänger (Fototransistor bzw. Fotodiode mit Arbeitswiderstand) → ggf. Verstärker → Schwellwertschalter (Schmitt-Trigger) → Leitungstreiber bzw. Ausgang.

Signal nach der Leitung (1 Punkt): Leitungskapazität und -widerstand wirken wie ein Tiefpass; die Flanken kommen abgerundet und flach an, das Signal ist gedämpft und von Störspitzen überlagert.

Regenerierung (1 Punkt): Der Schmitt-Trigger schaltet erst, wenn die Flanke die obere bzw. untere Kippspannung erreicht, und liefert dann eine steile Flanke mit vollem Pegel. Störungen kleiner als die Hysterese erzeugen keine zusätzlichen Impulse.

Ges.: U_\mathrm{o}, U_\mathrm{u}

\begin{aligned} &\text{(I)} && U_\mathrm{o,u} = \pm U_\mathrm{sat} \cdot \frac{R_1}{R_1 + R_2} \end{aligned}

Je Ergebnis 1 Punkt:

U_\mathrm{o} = 4{,}8\ \mathrm{V} \cdot \frac{2{,}2\ \mathrm{k\Omega}}{12{,}2\ \mathrm{k\Omega}} \approx \underline{\underline{0{,}866\ \mathrm{V}}} \qquad U_\mathrm{u} \approx \underline{\underline{-0{,}866\ \mathrm{V}}}

Geg.: \hat{u} = 3\ \mathrm{V}, f = 1\ \mathrm{kHz}, Anfangszustand u_\mathrm{A} = +4{,}8\ \mathrm{V}

Ges.: Umschaltzeitpunkte; Zeitdiagramm

\begin{aligned} &\text{(I)} && \sin\varphi = \frac{U_\mathrm{o}}{\hat{u}} \\ &\text{(II)} && t = \frac{\varphi}{360°} \cdot T \end{aligned}

T = 1\ \mathrm{ms} (1 Punkt):

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} \sin\varphi_1 & = & \dfrac{0{,}866\ \mathrm{V}}{3\ \mathrm{V}} \approx 0{,}289 \Rightarrow \varphi_1 \approx 16{,}8° & \\ t_1 & = & \dfrac{16{,}8°}{360°} \cdot 1\ \mathrm{ms} \approx \underline{\underline{46{,}7\ \mathrm{\mu s}}} & \\ t_2 & = & \dfrac{180° + 16{,}8°}{360°} \cdot 1\ \mathrm{ms} \approx \underline{\underline{547\ \mathrm{\mu s}}} & \end{array}

Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: t_1 \approx 46{,}6\ \mathrm{\mu s}.

Bei t_1 kippt der Ausgang auf -4{,}8\ \mathrm{V}, bei t_2 zurück auf +4{,}8\ \mathrm{V} (1 Punkt). Zeichnung (2 Punkte):

Geg.: U_\mathrm{St} = 3{,}0\ \mathrm{V}, Dreieck 0 \dots 5\ \mathrm{V}, f = 20\ \mathrm{kHz}

Ges.: T, t_\mathrm{ein}, g; Zeitdiagramm

\begin{aligned} &\text{(I)} && T = \frac{1}{f} \\ &\text{(II)} && g = \frac{U_\mathrm{St}}{\hat{u}_\mathrm{Dreieck}} \\ &\text{(III)} && t_\mathrm{ein} = g \cdot T \end{aligned}

Der Ausgang ist High, solange das Dreieck am −-Eingang unter U_\mathrm{St} liegt. Je Ergebnis 1 Punkt:

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} T & = & \dfrac{1}{20 \cdot 10^3\ \mathrm{s^{-1}}} = \underline{\underline{50{,}0\ \mathrm{\mu s}}} & \\ g & = & \dfrac{3{,}0\ \mathrm{V}}{5\ \mathrm{V}} = \underline{\underline{60{,}0\ \%}} & \\ t_\mathrm{ein} & = & 0{,}6 \cdot 50\ \mathrm{\mu s} = \underline{\underline{30{,}0\ \mathrm{\mu s}}} & \end{array}

Zeichnung (1 Punkt):

Ges.: U_\mathrm{St} für 40 %; Signal bei 0\ \mathrm{V}

\begin{aligned} &\text{(I)} && g = \frac{U_\mathrm{St}}{\hat{u}_\mathrm{Dreieck}} \end{aligned}

U_\mathrm{St} = g \cdot \hat{u}_\mathrm{Dreieck} = 0{,}4 \cdot 5\ \mathrm{V} = \underline{\underline{2{,}00\ \mathrm{V}}}

(1 Punkt). Bei U_\mathrm{St} = 0\ \mathrm{V} liegt das Dreieck (bis auf die Spitzen bei 0 V) immer über der Steuerspannung: Der Ausgang bleibt dauernd Low, Tastgrad 0 %, der Motor steht (1 Punkt).

Geg.: NE555 an U_\mathrm{B} = 12\ \mathrm{V}

Ges.: Vergleichsspannungen; Wirkung eines Trigger-Impulses

Der interne Teiler aus drei gleichen Widerständen liefert (je 1 Punkt):

• \frac{2}{3} U_\mathrm{B} = \underline{\underline{8{,}00\ \mathrm{V}}} für den Komparator am THRESHOLD-Eingang,

• \frac{1}{3} U_\mathrm{B} = \underline{\underline{4{,}00\ \mathrm{V}}} für den Komparator am TRIGGER-Eingang.

Fällt TRIGGER unter 4\ \mathrm{V}, schaltet dieser Komparator um und setzt das interne RS-Flipflop: Der Ausgang geht auf High, der Entladetransistor sperrt, und der Zeitkondensator lädt sich. Erreicht er 8\ \mathrm{V}, setzt der andere Komparator das Flipflop zurück, der Ausgang geht wieder auf Low (1 Punkt). So entsteht ein Impuls fester Dauer (Monoflop).