Schwingkreise: Wiederholung und Übungsaufgaben

Als Wechselstrom-Grundlagen kann ich nach Durcharbeiten des Artikels…

• … die Blindwiderstände X_C und X_L berechnen und die Phasenlage von Strom und Spannung an Kondensator und Spule erklären.

• … Schein-, Wirk- und Blindleistung berechnen und eine Blindleistungskompensation dimensionieren.

• … die Resonanzfrequenz eines Schwingkreises berechnen.

• … das Verhalten von Reihen- und Parallelschwingkreis bei Resonanz (Scheinwiderstand, Strom, Spannungs- und Stromüberhöhung) unterscheiden.

• … Güte und Bandbreite eines Schwingkreises berechnen und ihren Zusammenhang erklären.

• … Saugkreis und Sperrkreis in einer Schaltung erkennen und dimensionieren.

Darüber hinaus kann ich als Schwingkreis-Expertenwissen…

• … Zeigerdiagramme und Frequenzgänge von Schwingkreisen den passenden Schaltungen und Betriebsfällen zuordnen.

• … einen Schwingkreis mit Kapazitätsdiode anhand einer Datenblattkennlinie abstimmen.

• … den Resonanzwiderstand eines realen Sperrkreises und sein Dämpfungsmaß in dB berechnen.

• … den Einfluss von Messgeräten auf einen Schwingkreis abschätzen und den Einsatz von Schwingquarzen beurteilen.

Kopiere den Text in ein KI-Sprachmodell Deiner Wahl und passe Kompetenzstufe, Anzahl, Bearbeitungszeit und Szenario bei Bedarf an. Wie die Aufgaben aufgebaut sind, beschreibt der Artikel Wie sind die Aufgaben aufgebaut?. Prüfe die Ergebnisse mit dem Lehrartikel: KI-Sprachmodelle machen Fehler.

Erstelle neue Übungsaufgaben zum Thema „Schwingkreise“.

Bauplan: Halte Dich an Aufbau, Kompetenzstufen, Operatoren,
Anforderungsbereiche, Punkte und Zeitschätzung, die im Artikel
https://oer-informatik.de/aufgaben-aufbau beschrieben sind.

Fachliche Grundlage:
- https://oer-informatik.de/blindwiderstand-impedanz
- https://oer-informatik.de/schwingkreise
- Stilbeispiel: https://oer-informatik.de/schwingkreise-wiederholung

Die Aufgaben sollen Inhalte zu diesen Schlagwörtern abdecken:
- Schwingkreis
- Resonanzfrequenz
- Blindwiderstand
- Blindleistungskompensation
- Güte
- Bandbreite
- Saugkreis
- Sperrkreis
- Kapazitätsdiode
- Elektroniker für Geräte und Systeme

Kompetenzstufe: Kernkompetenz (alternativ: Basiskompetenz, Profilkompetenz, Expertise)
Anzahl: 1 Aufgabe mit Teilaufgaben
Bearbeitungszeit in Minuten ca.: <5 bis 30 min>
Szenario: eines der Szenarien aus dem Bauplan

Vorgehen:
1. Lies zuerst die verlinkten Artikel. Kannst Du keine Webseiten
   abrufen, sag mir das, statt zu raten.
2. Steht bei einer Angabe noch ein Platzhalter in <…>, frag mich
   zuerst danach. Richte Punkte und Zahl der Teilaufgaben nach der
   Bearbeitungszeit (ca. 0,9 min je Punkt).
3. Gib je Aufgabe Titel mit Kompetenzstufe, Ausgangssituation und
   Teilaufgaben mit Operator und Punktzahl aus, dazu die geschätzte
   Bearbeitungszeit.
4. Gib die Beispiellösungen mit Punkteverteilung erst aus, wenn ich
   danach frage.

Richtige Antwort: 4

Geg.: C_1 = 4{,}7\ \mu\text{F}; U = 230\ \text{V}; f = 50\ \text{Hz}

Ges.: I

\begin{aligned} &\text{(I)} && U = X_C \cdot I \\ &\text{(II)} && X_C = \frac{1}{2\pi f C} \end{aligned}

II in I:

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U & = & \dfrac{I}{2\pi f C} & \color{gray}{\cdot 2\pi f C} \\ I & = & U \cdot 2\pi f C = 230\ \text{V} \cdot 2\pi \cdot 50\ \text{Hz} \cdot 4{,}7 \cdot 10^{-6}\ \text{F} & \\ I & \approx & \underline{\underline{0{,}340\ \text{A}}} & \end{array}

Damit ist Antwort 4 richtig.

Typische Fehler: Antwort 2 entsteht, wenn 2\pi vergessen wird (I = U \cdot f \cdot C), Antwort 5 bei doppelter Multiplikation mit 2\pi.

Geg.: C_1 = 1{,}00\ \mu\text{F}; U = 12{,}0\ \text{V}; I = 45{,}2\ \text{mA}

a) Ges.: X_C

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U & = & X_C \cdot I & \color{gray}{:I} \\ X_C & = & \dfrac{U}{I} = \dfrac{12{,}0\ \text{V}}{45{,}2 \cdot 10^{-3}\ \text{A}} & \\ X_C & \approx & \underline{\underline{265\ \Omega}} & \end{array}

b) Ges.: f

Beide Formeln sind einfach, daher wird X_C eliminiert:

\begin{aligned} &\text{(I)} && U = X_C \cdot I \\ &\text{(II)} && X_C = \frac{1}{2\pi f C} \end{aligned}

II in I:

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U & = & \dfrac{I}{2\pi f C} & \color{gray}{\cdot f} \\ U \cdot f & = & \dfrac{I}{2\pi C} & \color{gray}{:U} \\ f & = & \dfrac{I}{2\pi C U} = \dfrac{45{,}2 \cdot 10^{-3}\ \text{A}}{2\pi \cdot 1{,}00 \cdot 10^{-6}\ \text{F} \cdot 12{,}0\ \text{V}} & \\ f & \approx & \underline{\underline{599\ \text{Hz}}} & \end{array}

c) Ges.: I_2 bei f_2 = 2 \cdot f

Aus II in I (siehe b), nach I umgestellt:

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U & = & \dfrac{I}{2\pi f C} & \color{gray}{\cdot 2\pi f C} \\ I & = & U \cdot 2\pi f C & \end{array}

I ist proportional zu f: Bei doppelter Frequenz halbiert sich X_C, und der Strom verdoppelt sich.

I_2 = 2 \cdot I = 2 \cdot 45{,}2\ \text{mA} = \underline{\underline{90{,}4\ \text{mA}}}

Richtige Antwort: 2

Geg.: L_1 = 120\ \text{mH}; U = 24{,}0\ \text{V}; f = 400\ \text{Hz}

Ges.: I

\begin{aligned} &\text{(I)} && U = X_L \cdot I \\ &\text{(II)} && X_L = 2\pi f L \end{aligned}

II in I:

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U & = & 2\pi f L \cdot I & \color{gray}{:(2\pi f L)} \\ I & = & \dfrac{U}{2\pi f L} = \dfrac{24{,}0\ \text{V}}{2\pi \cdot 400\ \text{Hz} \cdot 0{,}120\ \text{H}} & \\ I & \approx & \underline{\underline{79{,}6\ \text{mA}}} & \end{array}

Damit ist Antwort 2 richtig.

Typische Fehler: Antwort 3 entsteht ohne 2\pi, Antwort 4 mit 50 Hz statt 400 Hz.

Geg.: U_= = 12{,}0\ \text{V}; I_= = 0{,}800\ \text{A}; U_\sim = 230\ \text{V}; I_\sim = 1{,}20\ \text{A}; f = 50\ \text{Hz}

a) Ges.: R_\mathrm{L} (bei Gleichspannung wirkt nur der Wicklungswiderstand)

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U_= & = & R_\mathrm{L} \cdot I_= & \color{gray}{:I_=} \\ R_\mathrm{L} & = & \dfrac{U_=}{I_=} = \dfrac{12{,}0\ \text{V}}{0{,}800\ \text{A}} & \\ R_\mathrm{L} & = & \underline{\underline{15{,}0\ \Omega}} & \end{array}

b) Ges.: Z

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U_\sim & = & Z \cdot I_\sim & \color{gray}{:I_\sim} \\ Z & = & \dfrac{U_\sim}{I_\sim} = \dfrac{230\ \text{V}}{1{,}20\ \text{A}} & \\ Z & \approx & \underline{\underline{192\ \Omega}} & \end{array}

c) Ges.: X_L (mit Z \approx 192\ \Omega aus b)

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} Z & = & \sqrt{R_\mathrm{L}^2 + X_L^2} & \color{gray}{(\ )^2} \\ Z^2 & = & R_\mathrm{L}^2 + X_L^2 & \color{gray}{-R_\mathrm{L}^2} \\ X_L^2 & = & Z^2 - R_\mathrm{L}^2 & \color{gray}{\sqrt{\ }} \\ X_L & = & \sqrt{Z^2 - R_\mathrm{L}^2} = \sqrt{(192\ \Omega)^2 - (15{,}0\ \Omega)^2} & \\ X_L & \approx & \underline{\underline{191\ \Omega}} & \end{array}

Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: X_L \approx 191\ \Omega (191,08 Ω).

d) Ges.: L_1 (mit X_L \approx 191\ \Omega aus c)

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} X_L & = & 2\pi f L & \color{gray}{:(2\pi f)} \\ L & = & \dfrac{X_L}{2\pi f} = \dfrac{191\ \Omega}{2\pi \cdot 50\ \text{Hz}} & \\ L_1 & \approx & \underline{\underline{0{,}608\ \text{H}}} & \end{array}

Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: L_1 \approx 0{,}608\ \text{H}.

e) Ges.: \cos\varphi, \varphi (mit Z \approx 192\ \Omega aus b)

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} \cos\varphi & = & \dfrac{R_\mathrm{L}}{Z} = \dfrac{15{,}0\ \Omega}{192\ \Omega} & \\ \cos\varphi & \approx & \underline{\underline{0{,}0781}} & \color{gray}{\arccos} \\ \varphi & \approx & \underline{\underline{85{,}5^\circ}} & \end{array}

Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: \cos\varphi \approx 0{,}0783; \varphi \approx 85{,}5^\circ (induktiv, der Strom eilt nach).

f) Ges.: Begründung

Bei Gleichspannung begrenzt nur der Wicklungswiderstand R_\mathrm{L} = 15{,}0\ \Omega den Strom. Bei 50 Hz kommt der induktive Blindwiderstand X_L \approx 191\ \Omega hinzu, sodass der Scheinwiderstand etwa 13-mal so groß ist. Deshalb reicht eine fast 20-mal kleinere Gleichspannung für einen ähnlich großen Strom.

Richtige Antwort: 3

Geg.: U = 230\ \text{V}; I = 5{,}00\ \text{A}; \cos\varphi = 0{,}80

Ges.: Q

\begin{aligned} &\text{(I)} && S = U \cdot I \\ &\text{(II)} && Q = S \cdot \sin\varphi \\ &\text{(III)} && \sin^2\varphi + \cos^2\varphi = 1 \end{aligned}

III nach \sin\varphi umstellen:

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} \sin^2\varphi + \cos^2\varphi & = & 1 & \color{gray}{-\cos^2\varphi} \\ \sin^2\varphi & = & 1 - \cos^2\varphi & \color{gray}{\sqrt{\ }} \\ \sin\varphi & = & \sqrt{1 - \cos^2\varphi} & \end{array}

I und III in II:

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} Q & = & U \cdot I \cdot \sqrt{1 - \cos^2\varphi} = 230\ \text{V} \cdot 5{,}00\ \text{A} \cdot \sqrt{1 - 0{,}80^2} & \\ Q & = & \underline{\underline{690\ \text{var}}} & \end{array}

Damit ist Antwort 3 richtig.

Typischer Fehler: Antwort 4 ist die Wirkleistung P = U \cdot I \cdot \cos\varphi = 920\ \text{W}.

Geg.: P = 2{,}00\ \text{kW}; U = 230\ \text{V}; f = 50\ \text{Hz}; \cos\varphi_1 = 0{,}70; \cos\varphi_2 = 0{,}95

a) Ges.: I_1, Q_1

Strom:

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} P & = & U \cdot I_1 \cdot \cos\varphi_1 & \color{gray}{:(U \cdot \cos\varphi_1)} \\ I_1 & = & \dfrac{P}{U \cdot \cos\varphi_1} = \dfrac{2000\ \text{W}}{230\ \text{V} \cdot 0{,}70} & \\ I_1 & \approx & \underline{\underline{12{,}4\ \text{A}}} & \end{array}

Blindleistung (der Winkel wird als Zwischenwert berechnet):

\varphi_1 = \arccos 0{,}70 \approx 45{,}6^\circ \qquad \tan\varphi_1 \approx 1{,}02

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} \tan\varphi_1 & = & \dfrac{Q_1}{P} & \color{gray}{\cdot P} \\ Q_1 & = & P \cdot \tan\varphi_1 = 2000\ \text{W} \cdot 1{,}02 & \\ Q_1 & \approx & \underline{\underline{2{,}04\ \text{kvar}}} & \end{array}

Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: Q_1 \approx 2{,}04\ \text{kvar} (2040,4 var).

b) Ges.: Q_C

\varphi_2 = \arccos 0{,}95 \approx 18{,}2^\circ \qquad \tan\varphi_2 \approx 0{,}329

Q_2 = P \cdot \tan\varphi_2 = 2000\ \text{W} \cdot 0{,}329 \approx 658\ \text{var}

Q_C = Q_1 - Q_2 = 2040\ \text{var} - 658\ \text{var} \approx \underline{\underline{1{,}38\ \text{kvar}}}

Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: Q_C \approx 1{,}38\ \text{kvar} (1383,0 var).

c) Ges.: C_1 (mit Q_C \approx 1{,}38\ \text{kvar} aus b)

\begin{aligned} &\text{(I)} && Q_C = \frac{U^2}{X_C} \\ &\text{(II)} && X_C = \frac{1}{2\pi f C} \end{aligned}

II in I:

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} Q_C & = & U^2 \cdot 2\pi f C & \color{gray}{:(U^2 \cdot 2\pi f)} \\ C & = & \dfrac{Q_C}{U^2 \cdot 2\pi f} = \dfrac{1380\ \text{var}}{(230\ \text{V})^2 \cdot 2\pi \cdot 50\ \text{Hz}} & \\ C_1 & \approx & \underline{\underline{83{,}0\ \mu\text{F}}} & \end{array}

Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: C_1 \approx 83{,}2\ \mu\text{F}. Die Abweichung liegt mit 0,2 % innerhalb der 1-%-Grenze.

d) Ges.: I_2, Vorteil der Kompensation

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} P & = & U \cdot I_2 \cdot \cos\varphi_2 & \color{gray}{:(U \cdot \cos\varphi_2)} \\ I_2 & = & \dfrac{P}{U \cdot \cos\varphi_2} = \dfrac{2000\ \text{W}}{230\ \text{V} \cdot 0{,}95} & \\ I_2 & \approx & \underline{\underline{9{,}15\ \text{A}}} & \end{array}

Vorteil (eine Nennung genügt): kleinerer Netzstrom und damit geringere Leitungsverluste (P_\mathrm{V} = I^2 \cdot R) und geringerer Spannungsfall; kleinere Leitungsquerschnitte und Transformatoren möglich; keine Blindarbeitskosten beim Energieversorger.

Richtige Antwort: 4

Der Strom ist beim Reihenschwingkreis im Resonanzfall am größten.

Geg.: R_1 = 47\ \Omega; L_1 = 10\ \text{mH}; C_1 = 100\ \text{nF}; U = 5\ \text{V}

Ges.: f_0

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} f_0 & = & \dfrac{1}{2\pi\sqrt{L C}} = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{10 \cdot 10^{-3}\ \text{H} \cdot 100 \cdot 10^{-9}\ \text{F}}} & \\ f_0 & \approx & \underline{\underline{5{,}03\ \text{kHz}}} & \end{array}

Damit ist Antwort 4 richtig.

Hinweis: R_1 und U haben keinen Einfluss auf die Resonanzfrequenz. Antwort 5 entsteht, wenn 2\pi vergessen wird (\omega_0 = 31\,623\ \text{s}^{-1}).

Geg.: R_1 = 10{,}0\ \Omega; L_1 = 50{,}0\ \text{mH}; C_1 = 220\ \text{nF}; U = 2{,}00\ \text{V}

a) Ges.: f_0

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} f_0 & = & \dfrac{1}{2\pi\sqrt{L C}} = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{50{,}0 \cdot 10^{-3}\ \text{H} \cdot 220 \cdot 10^{-9}\ \text{F}}} & \\ f_0 & \approx & \underline{\underline{1{,}52\ \text{kHz}}} & \end{array}

b) Ges.: I_0 (bei Resonanz ist Z = R)

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U & = & R \cdot I_0 & \color{gray}{:R} \\ I_0 & = & \dfrac{U}{R} = \dfrac{2{,}00\ \text{V}}{10{,}0\ \Omega} & \\ I_0 & = & \underline{\underline{0{,}200\ \text{A}}} & \end{array}

c) Ges.: U_L, U_C

Die Formeln sind einfach; X_{L0} und f_0 werden eliminiert:

\begin{aligned} &\text{(I)} && U_L = U_C = I_0 \cdot X_{L0} \\ &\text{(II)} && X_{L0} = 2\pi f_0 L \\ &\text{(III)} && f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \end{aligned}

III in II:

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} X_{L0} & = & \dfrac{2\pi L}{2\pi\sqrt{LC}} = \dfrac{L}{\sqrt{LC}} = \sqrt{\dfrac{L}{C}} & \end{array}

in I:

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U_L & = & I_0 \cdot \sqrt{\dfrac{L}{C}} = 0{,}200\ \text{A} \cdot \sqrt{\dfrac{50{,}0 \cdot 10^{-3}\ \text{H}}{220 \cdot 10^{-9}\ \text{F}}} & \\ U_L = U_C & \approx & \underline{\underline{95{,}3\ \text{V}}} & \end{array}

Bei nur 2 V Generatorspannung liegen an L_1 und C_1 jeweils über 95 V (Spannungsüberhöhung).

d) Ges.: Q

\begin{aligned} &\text{(I)} && Q = \frac{X_0}{R} \\ &\text{(II)} && X_0 = \sqrt{\frac{L}{C}} \end{aligned}

II in I:

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} Q & = & \dfrac{1}{R}\sqrt{\dfrac{L}{C}} = \dfrac{1}{10{,}0\ \Omega} \cdot \sqrt{\dfrac{50{,}0 \cdot 10^{-3}\ \text{H}}{220 \cdot 10^{-9}\ \text{F}}} & \\ Q & \approx & \underline{\underline{47{,}7}} & \end{array}

e) Ges.: X_L, X_C, Z, I bei f = 1{,}00\ \text{kHz}; Verhalten (induktiv/kapazitiv)

Die Formel für Z ist komplex, daher werden die Zwischenwerte einzeln berechnet:

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} X_L & = & 2\pi f L = 2\pi \cdot 1{,}00 \cdot 10^{3}\ \text{Hz} \cdot 50{,}0 \cdot 10^{-3}\ \text{H} \approx \underline{\underline{314\ \Omega}} & \\ X_C & = & \dfrac{1}{2\pi f C} = \dfrac{1}{2\pi \cdot 1{,}00 \cdot 10^{3}\ \text{Hz} \cdot 220 \cdot 10^{-9}\ \text{F}} \approx \underline{\underline{723\ \Omega}} & \\ Z & = & \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{(10{,}0\ \Omega)^2 + (314\ \Omega - 723\ \Omega)^2} \approx \underline{\underline{409\ \Omega}} & \end{array}

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U & = & Z \cdot I & \color{gray}{:Z} \\ I & = & \dfrac{U}{Z} = \dfrac{2{,}00\ \text{V}}{409\ \Omega} & \\ I & \approx & \underline{\underline{4{,}89\ \text{mA}}} & \end{array}

Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: Z \approx 409\ \Omega (409,4 Ω); I \approx 4{,}89\ \text{mA}.

Da X_C > X_L (Frequenz unterhalb f_0), wirkt die Schaltung kapazitiv.

Richtige Antwort: 3

Die Resonanzfrequenz f_0 = 1/(2\pi\sqrt{L_1 C_1}) \approx 3{,}39\ \text{kHz} liegt im durchfahrenen Bereich. Dort begrenzt nur R_1 den Strom, und R_1 setzt die größte Leistung um. Für diesen ungünstigsten Fall wird die Spannung bestimmt.

Geg.: R_1 = 47\ \Omega; P_\mathrm{max} = 0{,}25\ \text{W}

Ges.: U_\mathrm{max}

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} P_\mathrm{max} & = & \dfrac{U_\mathrm{max}^2}{R_1} & \color{gray}{\cdot R_1} \\ U_\mathrm{max}^2 & = & P_\mathrm{max} \cdot R_1 & \color{gray}{\sqrt{\phantom{x}}} \\ U_\mathrm{max} & = & \sqrt{P_\mathrm{max} \cdot R_1} = \sqrt{0{,}25\ \text{W} \cdot 47\ \Omega} & \\ U_\mathrm{max} & \approx & \underline{\underline{3{,}43\ \text{V}}} & \end{array}

Damit ist Antwort 3 richtig.

Typische Fehler: Antwort 4 vergisst die Wurzel (P \cdot R = 11{,}75). Antwort 1 berechnet mit \sqrt{P/R} den Strom (in A) statt der Spannung. Antwort 2 teilt zusätzlich durch die Güte Q \approx 4{,}54, als ob die Spannungsüberhöhung am Widerstand aufträte. Antwort 5 übersieht, dass die Wirkleistung in R_1 bei Resonanz am größten ist.

Richtige Antwort: 4

Weil der Pegelmesser nicht belastet, fließt derselbe Strom durch L_1, C_1 und R_1; U_2 ist die Spannung an R_1.

Geg.: U_1 = 1{,}5\ \text{V}; f = 5{,}0\ \text{kHz}; L_1 = 6{,}8\ \text{mH}; C_1 = 47\ \text{nF}; R_1 = 1{,}0\ \text{k}\Omega

Ges.: U_2

Zuerst die Blindwiderstände und der Scheinwiderstand:

X_L = 2\pi f L_1 = 2\pi \cdot 5{,}0 \cdot 10^{3}\ \text{Hz} \cdot 6{,}8 \cdot 10^{-3}\ \text{H} \approx 214\ \Omega \qquad X_C = \frac{1}{2\pi f C_1} = \frac{1}{2\pi \cdot 5{,}0 \cdot 10^{3}\ \text{Hz} \cdot 47 \cdot 10^{-9}\ \text{F}} \approx 677\ \Omega

Z = \sqrt{R_1^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{(1000\ \Omega)^2 + (214\ \Omega - 677\ \Omega)^2} \approx 1{,}10\ \text{k}\Omega

Dann über den Spannungsteiler aus Z und R_1:

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} \dfrac{U_2}{U_1} & = & \dfrac{R_1}{Z} & \color{gray}{\cdot U_1} \\ U_2 & = & U_1 \cdot \dfrac{R_1}{Z} = 1{,}5\ \text{V} \cdot \dfrac{1{,}0\ \text{k}\Omega}{1{,}10\ \text{k}\Omega} & \\ U_2 & \approx & \underline{\underline{1{,}36\ \text{V}}} & \end{array}

Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: Z \approx 1{,}102\ \text{k}\Omega, U_2 \approx 1{,}36\ \text{V}.

Damit ist Antwort 4 richtig. Die Resonanzfrequenz liegt bei etwa 8,9 kHz; 5,0 kHz liegen darunter, die Schaltung wirkt dort kapazitiv.

Typische Fehler: Antwort 5 nimmt Resonanz an (U_2 = U_1). Antwort 3 addiert R_1 und |X_L - X_C| ohne Quadrat und Wurzel. Antwort 2 ist die Spannung am Kondensator U_C = I \cdot X_C. Antwort 1 rechnet die Blindwiderstände ohne den Faktor 2\pi.

Richtige Antwort: 1

Der Reihenschwingkreis im Querzweig wirkt als Saugkreis: Er muss bei 50 Hz in Resonanz sein. Dann bildet er mit R_\mathrm{i} einen Spannungsteiler, an dem für 50 Hz fast keine Spannung mehr zum Verbraucher gelangt.

Geg.: f_0 = 50\ \text{Hz}; L_1 = 1{,}5\ \text{H}

Ges.: C_1

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} f_0 & = & \dfrac{1}{2\pi\sqrt{L C}} & \color{gray}{\cdot 2\pi\sqrt{LC}} \\ f_0 \cdot 2\pi\sqrt{LC} & = & 1 & \color{gray}{:(2\pi f_0)} \\ \sqrt{LC} & = & \dfrac{1}{2\pi f_0} & \color{gray}{(\ )^2} \\ LC & = & \dfrac{1}{4\pi^2 f_0^2} & \color{gray}{:L} \\ C & = & \dfrac{1}{4\pi^2 f_0^2 L} = \dfrac{1}{4\pi^2 \cdot (50\ \text{Hz})^2 \cdot 1{,}5\ \text{H}} & \\ C_1 & \approx & \underline{\underline{6{,}75\ \mu\text{F}}} & \end{array}

Damit ist Antwort 1 richtig.

Typischer Fehler: Antwort 4 entsteht, wenn 2\pi nicht quadriert wird.

Richtige Antwort: 2

Ein Sperrkreis sperrt bei seiner Resonanzfrequenz; also muss f_0 = 1{,}00\ \text{MHz} sein.

Geg.: f_0 = 1{,}00\ \text{MHz}; L_1 = 0{,}47\ \text{mH}

Ges.: C_1

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} f_0 & = & \dfrac{1}{2\pi\sqrt{L C}} & \color{gray}{\cdot 2\pi\sqrt{LC}} \\ f_0 \cdot 2\pi\sqrt{LC} & = & 1 & \color{gray}{:(2\pi f_0)} \\ \sqrt{LC} & = & \dfrac{1}{2\pi f_0} & \color{gray}{(\ )^2} \\ LC & = & \dfrac{1}{4\pi^2 f_0^2} & \color{gray}{:L} \\ C & = & \dfrac{1}{4\pi^2 f_0^2 L} = \dfrac{1}{4\pi^2 \cdot (1{,}00 \cdot 10^{6}\ \text{Hz})^2 \cdot 0{,}47 \cdot 10^{-3}\ \text{H}} & \\ C_1 & \approx & \underline{\underline{53{,}9\ \text{pF}}} & \end{array}

Damit ist Antwort 2 richtig.

Typischer Fehler: Antwort 4 entsteht, wenn 2\pi beim Umstellen nicht quadriert wird.

Geg.: U = 10\ \text{V}; R_1 = 1\ \text{k}\Omega; L_1 = 2\ \text{mH}; C_1 = 47\ \text{nF}

a) Ges.: f_0

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} f_0 & = & \dfrac{1}{2\pi\sqrt{L C}} = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{2 \cdot 10^{-3}\ \text{H} \cdot 47 \cdot 10^{-9}\ \text{F}}} & \\ f_0 & \approx & \underline{\underline{16{,}4\ \text{kHz}}} & \end{array}

b) Ges.: I_R, I_L, I_C, I

Strom durch den Widerstand:

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U & = & R \cdot I_R & \color{gray}{:R} \\ I_R & = & \dfrac{U}{R} = \dfrac{10\ \text{V}}{1000\ \Omega} & \\ I_R & = & \underline{\underline{10{,}0\ \text{mA}}} & \end{array}

Blindströme: Wie in Aufgabe 4.2 c ist bei Resonanz X_{L0} = X_{C0} = \sqrt{L/C} (III in II):

\begin{aligned} &\text{(I)} && U = X_{L0} \cdot I_L \\ &\text{(II)} && X_{L0} = 2\pi f_0 L \\ &\text{(III)} && f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \end{aligned}

III in II:

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} X_{L0} & = & \dfrac{2\pi L}{2\pi\sqrt{LC}} = \dfrac{L}{\sqrt{LC}} = \sqrt{\dfrac{L}{C}} & \end{array}

in I:

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U & = & \sqrt{\dfrac{L}{C}} \cdot I_L & \color{gray}{:\sqrt{\dfrac{L}{C}}} \\ I_L & = & \dfrac{U}{\sqrt{L/C}} = \dfrac{10\ \text{V}}{\sqrt{\dfrac{2 \cdot 10^{-3}\ \text{H}}{47 \cdot 10^{-9}\ \text{F}}}} & \\ I_L = I_C & \approx & \underline{\underline{48{,}5\ \text{mA}}} & \end{array}

Gesamtstrom: Bei Resonanz ist I_L = I_C, die Blindströme heben sich auf.

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} I & = & \sqrt{I_R^2 + (I_L - I_C)^2} = \sqrt{I_R^2 + 0} = I_R & \\ I & = & \underline{\underline{10{,}0\ \text{mA}}} & \end{array}

c) Ges.: Q; Erklärung Stromüberhöhung

\begin{aligned} &\text{(I)} && Q = \frac{R_\mathrm{P}}{X_0} \\ &\text{(II)} && X_0 = \sqrt{\frac{L}{C}} \end{aligned}

II in I:

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} Q & = & \dfrac{R_\mathrm{P}}{\sqrt{L/C}} = \dfrac{1000\ \Omega}{\sqrt{\dfrac{2 \cdot 10^{-3}\ \text{H}}{47 \cdot 10^{-9}\ \text{F}}}} & \\ Q & \approx & \underline{\underline{4{,}85}} & \end{array}

Erklärung: Im Schwingkreis pendelt zwischen L_1 und C_1 ein Blindstrom von 48,5 mA, der knapp fünfmal so groß ist wie der Strom von 10,0 mA, den der Generator liefern muss (Q = I_L / I). Nach außen heben sich I_L und I_C auf, weil sie um 180° gegeneinander verschoben sind.

d) Ges.: I bei f = 10{,}0\ \text{kHz}; Verhalten (induktiv/kapazitiv)

Die Formel für I ist komplex, daher werden die Zwischenwerte einzeln berechnet:

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} I_L & = & \dfrac{U}{2\pi f L} = \dfrac{10\ \text{V}}{2\pi \cdot 10{,}0 \cdot 10^{3}\ \text{Hz} \cdot 2 \cdot 10^{-3}\ \text{H}} \approx 79{,}6\ \text{mA} & \\ I_C & = & U \cdot 2\pi f C = 10\ \text{V} \cdot 2\pi \cdot 10{,}0 \cdot 10^{3}\ \text{Hz} \cdot 47 \cdot 10^{-9}\ \text{F} \approx 29{,}5\ \text{mA} & \\ I & = & \sqrt{I_R^2 + (I_L - I_C)^2} = \sqrt{(10{,}0\ \text{mA})^2 + (79{,}6\ \text{mA} - 29{,}5\ \text{mA})^2} & \\ I & \approx & \underline{\underline{51{,}1\ \text{mA}}} & \end{array}

Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: I \approx 51{,}0\ \text{mA} (51,04 mA). Die Rundung der Zwischenwerte verschiebt hier die letzte Stelle; die Abweichung liegt mit 0,1 % innerhalb der 1-%-Grenze.

Da I_L > I_C (Frequenz unterhalb f_0), wirkt die Schaltung induktiv (\varphi \approx 78{,}7^\circ, Z \approx 196\ \Omega).

Richtige Antwort: 3

Geg.: U = 1{,}0\ \text{V} (konstant); Messreihe I(f); kleinster Strom I_\mathrm{min} = 46{,}7\ \mu\text{A} bei f \approx 16\ \text{kHz}

Ges.: Schwingkreisart; Scheinwiderstand Z bei f_0

Bei konstanter Spannung verhält sich der Strom umgekehrt zum Scheinwiderstand. Der Strom hat bei etwa 16 kHz ein ausgeprägtes Minimum, der Scheinwiderstand dort also ein Maximum: Das ist das Kennzeichen des Parallelschwingkreises. Ein Reihenschwingkreis hätte bei f_0 seinen kleinsten Scheinwiderstand und würde dort den größten Strom aufnehmen.

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U & = & Z \cdot I & \color{gray}{:I} \\ Z & = & \dfrac{U}{I_\mathrm{min}} = \dfrac{1{,}0\ \text{V}}{46{,}7 \cdot 10^{-6}\ \text{A}} & \\ Z & \approx & \underline{\underline{21{,}4\ \text{k}\Omega}} & \end{array}

Damit ist Antwort 3 richtig.

Zu den falschen Antworten: Antwort 1 schließt aus dem Strom-Minimum auf den falschen Kreis. Antwort 2 verwechselt Saug- und Sperrkreis: Bei f_0 ist die Baugruppe hochohmig und würde im Längszweig als Sperrkreis wirken. Antwort 4 entsteht, wenn µA wie mA eingesetzt werden. Antwort 5 ist falsch, weil ein Parallelschwingkreis unterhalb von f_0 induktiv wirkt (dort ist I_L > I_C).

Richtige Antwort: 4

Geg.: RLC-Parallelschaltung; f < f_0

Ges.: passendes Zeigerdiagramm

\begin{aligned} &\text{(I)} && X_L = 2\pi f L \\ &\text{(II)} && X_C = \frac{1}{2\pi f C} \\ &\text{(III)} && I_L = \frac{U}{X_L},\quad I_C = \frac{U}{X_C} \end{aligned}

Unterhalb von f_0 ist X_L < X_C (I, II), also nach III I_L > I_C. Mit U als Bezugszeiger liegt I_R in Phase mit U, I_L zeigt nach unten (nacheilend), I_C nach oben (voreilend). Der Gesamtstrom I = \sqrt{I_R^2 + (I_L - I_C)^2} liegt unterhalb von U, die Schaltung wirkt induktiv.

Damit ist Diagramm 4 richtig.

Zu den falschen Antworten: Diagramm 1 zeigt den kapazitiven Fall (f > f_0). Diagramm 2 ist ein Zeigerdiagramm der Reihenschaltung (Spannungen addiert, I als Bezug). Diagramm 3 zeigt I_R senkrecht zu U. In Diagramm 5 sind die Richtungen von I_L und I_C vertauscht.

Richtige Antwort: 1

Geg.: f_0 = 455\ \text{kHz}; Q = 65

Ges.: B

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} B & = & \dfrac{f_0}{Q} = \dfrac{455\ \text{kHz}}{65} & \\ B & = & \underline{\underline{7{,}00\ \text{kHz}}} & \end{array}

Damit ist Antwort 1 richtig.

Typischer Fehler: Antwort 5 entsteht durch Multiplikation statt Division (f_0 \cdot Q).

Geg.: f_0 = 100\ \text{kHz}; B = 2{,}00\ \text{kHz}; L_1 = 1{,}00\ \text{mH}; U = 1{,}00\ \text{V}

a) Ges.: Q

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} B & = & \dfrac{f_0}{Q} & \color{gray}{\cdot Q} \\ B \cdot Q & = & f_0 & \color{gray}{:B} \\ Q & = & \dfrac{f_0}{B} = \dfrac{100\ \text{kHz}}{2{,}00\ \text{kHz}} & \\ Q & = & \underline{\underline{50{,}0}} & \end{array}

b) Ges.: C_1

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} f_0 & = & \dfrac{1}{2\pi\sqrt{L C}} & \color{gray}{\cdot 2\pi\sqrt{LC}} \\ f_0 \cdot 2\pi\sqrt{LC} & = & 1 & \color{gray}{:(2\pi f_0)} \\ \sqrt{LC} & = & \dfrac{1}{2\pi f_0} & \color{gray}{(\ )^2} \\ LC & = & \dfrac{1}{4\pi^2 f_0^2} & \color{gray}{:L} \\ C & = & \dfrac{1}{4\pi^2 f_0^2 L} = \dfrac{1}{4\pi^2 \cdot (100 \cdot 10^{3}\ \text{Hz})^2 \cdot 1{,}00 \cdot 10^{-3}\ \text{H}} & \\ C_1 & \approx & \underline{\underline{2{,}53\ \text{nF}}} & \end{array}

c) Ges.: R

\begin{aligned} &\text{(I)} && Q = \frac{X_0}{R} \\ &\text{(II)} && X_0 = 2\pi f_0 L \end{aligned}

II in I:

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} Q & = & \dfrac{2\pi f_0 L}{R} & \color{gray}{\cdot R} \\ Q \cdot R & = & 2\pi f_0 L & \color{gray}{:Q} \\ R & = & \dfrac{2\pi f_0 L}{Q} = \dfrac{2\pi \cdot 100 \cdot 10^{3}\ \text{Hz} \cdot 1{,}00 \cdot 10^{-3}\ \text{H}}{50{,}0} & \\ R & \approx & \underline{\underline{12{,}6\ \Omega}} & \end{array}

Dieser Wert umfasst den Wicklungswiderstand der Spule und einen eventuell zusätzlich eingesetzten Widerstand.

d) Ges.: f_\mathrm{u}, f_\mathrm{o} (Näherung zulässig, da Q \gg 1)

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} f_\mathrm{u} & \approx & f_0 - \dfrac{B}{2} = 100\ \text{kHz} - 1{,}00\ \text{kHz} = \underline{\underline{99{,}0\ \text{kHz}}} & \\ f_\mathrm{o} & \approx & f_0 + \dfrac{B}{2} = 100\ \text{kHz} + 1{,}00\ \text{kHz} = \underline{\underline{101\ \text{kHz}}} & \end{array}

e) Ges.: U_C; Konsequenz für den Kondensator

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} U_C & = & Q \cdot U = 50{,}0 \cdot 1{,}00\ \text{V} & \\ U_C & = & \underline{\underline{50{,}0\ \text{V}}} & \end{array}

Konsequenz: Die Nennspannung des Kondensators muss deutlich über der Generatorspannung liegen (hier mindestens 50 V plus Sicherheitsreserve, z. B. 100 V), sonst droht ein Durchschlag.

f) Ges.: Q', B' bei R' = 2R

\begin{aligned} &\text{(I)} && Q = \frac{X_0}{R} \\ &\text{(II)} && B = \frac{f_0}{Q} \end{aligned}

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} Q' & = & \dfrac{X_0}{2R} = \dfrac{Q}{2} = \dfrac{50{,}0}{2} = \underline{\underline{25{,}0}} & \\ B' & = & \dfrac{f_0}{Q'} = \dfrac{100\ \text{kHz}}{25{,}0} = \underline{\underline{4{,}00\ \text{kHz}}} & \end{array}

Die Güte halbiert sich, die Bandbreite verdoppelt sich. Die Resonanzfrequenz bleibt unverändert, die Resonanzkurve wird flacher und breiter; die Trennschärfe nimmt ab.

Richtige Antwort: 2

Geg.: Reihenschwingkreis; f_0 soll unverändert bleiben

Ges.: Maßnahme, die Q erhöht

\begin{aligned} &\text{(I)} && Q = \frac{X_0}{R} = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}} \\ &\text{(II)} && f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \end{aligned}

Nach II bleibt f_0 nur gleich, wenn L und C unverändert bleiben (oder ihr Produkt). Nach I steigt die Güte dann nur, wenn der Verlustwiderstand R kleiner wird.

Damit ist Antwort 2 (Spule mit kleinerem Wicklungswiderstand) richtig.

Zu den falschen Antworten: Ein zusätzlicher Widerstand (1) und ein verlustreicher Kondensator (3) vergrößern die Verluste. Die Generatorfrequenz (4) ändert die Güte des Kreises nicht. Antwort 5 verändert die Resonanzfrequenz.

Geg.: R_\mathrm{i} = 1{,}0\ \text{k}\Omega; L_1 = 220\ \mu\text{H}; R_\mathrm{V} = 6{,}8\ \Omega; C_1 = 2{,}2\ \text{nF}

a) Ges.: f_0

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} f_0 & = & \dfrac{1}{2\pi\sqrt{L_1 C_1}} = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{220 \cdot 10^{-6}\ \text{H} \cdot 2{,}2 \cdot 10^{-9}\ \text{F}}} & \\ f_0 & \approx & \underline{\underline{229\ \text{kHz}}} & \end{array}

b) Ges.: X_0, Q

\begin{aligned} &\text{(I)} && X_0 = \sqrt{\frac{L_1}{C_1}} \\ &\text{(II)} && Q = \frac{X_0}{R_\mathrm{V}} \end{aligned}

X_0 = \sqrt{\frac{220 \cdot 10^{-6}\ \text{H}}{2{,}2 \cdot 10^{-9}\ \text{F}}} \approx \underline{\underline{316\ \Omega}}

I in II:

Q = \frac{316\ \Omega}{6{,}8\ \Omega} \approx \underline{\underline{46{,}5}}

c) Ges.: B, f_\mathrm{u}, f_\mathrm{o}

B = \frac{f_0}{Q} = \frac{229\ \text{kHz}}{46{,}5} \approx \underline{\underline{4{,}92\ \text{kHz}}}

f_\mathrm{u} \approx f_0 - \frac{B}{2} \approx \underline{\underline{226\ \text{kHz}}} \qquad f_\mathrm{o} \approx f_0 + \frac{B}{2} \approx \underline{\underline{231\ \text{kHz}}}

d) Ges.: A_U bei f_0

Bei f_0 heben sich X_L und X_C auf; vom Saugkreis bleibt nur R_\mathrm{V}. Er bildet mit R_\mathrm{i} einen Spannungsteiler.

\begin{aligned} &\text{(I)} && \frac{U_2}{U_1} = \frac{R_\mathrm{V}}{R_\mathrm{i} + R_\mathrm{V}} \\ &\text{(II)} && A_U = 20 \cdot \lg\frac{U_1}{U_2}\ \text{dB} \end{aligned}

I in II (Kehrwert von I eingesetzt):

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} A_U & = & 20 \cdot \lg\dfrac{R_\mathrm{i} + R_\mathrm{V}}{R_\mathrm{V}}\ \text{dB} = 20 \cdot \lg\dfrac{1006{,}8\ \Omega}{6{,}8\ \Omega}\ \text{dB} & \\ A_U & \approx & \underline{\underline{43{,}4\ \text{dB}}} & \end{array}

Das Störsignal wird auf etwa 0,68 % seiner Spannung abgeschwächt.

e) Ges.: zwei Maßnahmen für eine kleinere Bandbreite

• Den Verlustwiderstand der Spule verkleinern (dickerer Draht, HF-Litze, Spule mit verlustarmem Kern): Q = X_0/R_\mathrm{V} steigt.

• Das Verhältnis L/C vergrößern, also größere Induktivität und entsprechend kleinere Kapazität bei gleichem Produkt L \cdot C: X_0 = \sqrt{L/C} und damit Q steigen, f_0 bleibt gleich.

Richtige Antwort: 2

Geg.: Stromlaufplan Anlage 1

Ges.: Funktion der Bauteilgruppen

• L_4, C_4: Reihenschwingkreis im Querzweig gegen Masse → Saugkreis

• L_2, R_3: Parallelschwingkreis mit Kapazitätsdiode → Abstimmkreis

• R_5, C_7, R_6: Diode mit Ladekondensator und Arbeitswiderstand → Demodulator (Hüllkurvengleichrichter)

• L_5, C_5: Längsdrossel und Querkondensator in der Versorgung → Siebglied (LC-Tiefpass)

Damit ist Zeile 2 richtig. Zeile 1 verwechselt Saugkreis und Sperrkreis; ein Sperrkreis müsste als Parallelschwingkreis in Reihe zum Signalweg liegen.

Richtige Antwort: 3

Geg.: f_0 = 455\ \text{kHz}; L_4 = 1{,}00\ \text{mH}

Ges.: C_4

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} f_0 & = & \dfrac{1}{2\pi\sqrt{L C}} & \color{gray}{\cdot 2\pi\sqrt{LC}} \\ f_0 \cdot 2\pi\sqrt{LC} & = & 1 & \color{gray}{:(2\pi f_0)} \\ \sqrt{LC} & = & \dfrac{1}{2\pi f_0} & \color{gray}{(\ )^2} \\ LC & = & \dfrac{1}{4\pi^2 f_0^2} & \color{gray}{:L} \\ C & = & \dfrac{1}{4\pi^2 f_0^2 L} = \dfrac{1}{4\pi^2 \cdot (455 \cdot 10^{3}\ \text{Hz})^2 \cdot 1{,}00 \cdot 10^{-3}\ \text{H}} & \\ C_4 & \approx & \underline{\underline{122\ \text{pF}}} & \end{array}

Damit ist Antwort 3 richtig.

Typischer Fehler: Antwort 5 entsteht, wenn 2\pi nicht quadriert wird.

Richtige Antwort: 4

Geg.: Saugkreis L_4/C_4 im Querzweig am Antenneneingang

Ges.: Übertragungsverhalten U_2/U_1

\begin{aligned} &\text{(I)} && Z_\mathrm{Saug} = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} \end{aligned}

Bei f_0 ist Z_\mathrm{Saug} = R \approx 0: Der Saugkreis schließt Signale mit f_0 gegen Masse kurz, U_2/U_1 bricht ein. Bei allen anderen Frequenzen ist Z_\mathrm{Saug} groß, die Signale werden nahezu ungedämpft übertragen. Das ist das Verhalten einer Bandsperre.

Damit ist Diagramm 4 richtig. Diagramm 2 (Bandpass) zeigt dagegen das Verhalten des Abstimmkreises L_2/R_3.

Geg.: L_2 = 250\ \mu\text{H}; Kennlinie der Kapazitätsdiode (Anlage 3)

a) Ges.: Aufgabe von C_3 und R_4

C_3 trennt die Abstimmgleichspannung vom Schwingkreis: Ohne C_3 würde die Spule L_2 (Gleichstromwiderstand nahezu null) die Spannung an R_3 kurzschließen. Weil C_3 = 10\ \text{nF} sehr viel größer ist als C_\mathrm{D}, beeinflusst er die Resonanzfrequenz kaum. R_4 führt die Abstimmspannung zu. Er ist so hochohmig, dass er den Schwingkreis nicht nennenswert belastet und die Hochfrequenz vom Potenziometer und von der Versorgung fernhält (HF-Entkopplung).

b) Ges.: C_\mathrm{D}, f_0 bei U_\mathrm{R} = 2{,}0\ \text{V}

Ablesung aus Anlage 3: C_\mathrm{D} = 200\ \text{pF}

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} f_0 & = & \dfrac{1}{2\pi\sqrt{L_2 \cdot C_\mathrm{D}}} = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{250 \cdot 10^{-6}\ \text{H} \cdot 200 \cdot 10^{-12}\ \text{F}}} & \\ f_0 & \approx & \underline{\underline{712\ \text{kHz}}} & \end{array}

c) Ges.: f_0 bei U_\mathrm{R} = 8{,}0\ \text{V}

Ablesung aus Anlage 3: C_\mathrm{D} = 60\ \text{pF}

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} f_0 & = & \dfrac{1}{2\pi\sqrt{L_2 \cdot C_\mathrm{D}}} = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{250 \cdot 10^{-6}\ \text{H} \cdot 60 \cdot 10^{-12}\ \text{F}}} & \\ f_0 & \approx & \underline{\underline{1{,}30\ \text{MHz}}} & \end{array}

d) Ges.: C_\mathrm{D}, U_\mathrm{R} für f_0 = 1000\ \text{kHz}

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} f_0 & = & \dfrac{1}{2\pi\sqrt{L_2 C_\mathrm{D}}} & \color{gray}{\cdot 2\pi\sqrt{L_2 C_\mathrm{D}}} \\ f_0 \cdot 2\pi\sqrt{L_2 C_\mathrm{D}} & = & 1 & \color{gray}{:(2\pi f_0)} \\ \sqrt{L_2 C_\mathrm{D}} & = & \dfrac{1}{2\pi f_0} & \color{gray}{(\ )^2} \\ L_2 C_\mathrm{D} & = & \dfrac{1}{4\pi^2 f_0^2} & \color{gray}{:L_2} \\ C_\mathrm{D} & = & \dfrac{1}{4\pi^2 f_0^2 L_2} = \dfrac{1}{4\pi^2 \cdot (1{,}00 \cdot 10^{6}\ \text{Hz})^2 \cdot 250 \cdot 10^{-6}\ \text{H}} & \\ C_\mathrm{D} & \approx & \underline{\underline{101\ \text{pF}}} & \end{array}

Ablesung aus Anlage 3: \underline{\underline{U_\mathrm{R} \approx 5{,}0\ \text{V}}}

e) Ges.: Begründung

Mit steigender Sperrspannung wird die Sperrschicht der Kapazitätsdiode breiter. Der „Plattenabstand“ des Kondensators wächst, C_\mathrm{D} wird kleiner. Wegen f_0 \sim 1/\sqrt{C} steigt die Resonanzfrequenz.

Geg.: L_5 = 100\ \mu\text{H}; C_5 = 100\ \mu\text{F}; Schaltfrequenz f_\mathrm{S} = 100\ \text{kHz}; 40 dB je Dekade oberhalb von f_\mathrm{g}

a) Ges.: f_\mathrm{g}, Dämpfung bei f_\mathrm{S}

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} f_\mathrm{g} & = & \dfrac{1}{2\pi\sqrt{L_5 \cdot C_5}} = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{100 \cdot 10^{-6}\ \text{H} \cdot 100 \cdot 10^{-6}\ \text{F}}} & \\ f_\mathrm{g} & \approx & \underline{\underline{1{,}59\ \text{kHz}}} & \end{array}

Anzahl der Dekaden zwischen f_\mathrm{g} und f_\mathrm{S}, dann die Dämpfung:

n = \lg\frac{f_\mathrm{S}}{f_\mathrm{g}} = \lg\frac{100\ \text{kHz}}{1{,}59\ \text{kHz}} \approx 1{,}80 \qquad A \approx 40\ \text{dB} \cdot 1{,}80 \approx \underline{\underline{72\ \text{dB}}}

Die 100-kHz-Anteile werden also etwa auf ein Viertausendstel ihrer Spannung abgeschwächt (Abschätzung für das ideale, unbelastete Siebglied).

b) Ges.: Beurteilung

Der Vorschlag ist \underline{\underline{\text{abzulehnen}}}. Ohne L_5 liegt C_5 direkt am Ausgang des Schaltnetzteils. Dessen Innenwiderstand ist sehr klein; es entsteht kein wirksamer Spannungsteiler, und die Welligkeit wird kaum gedämpft. Die Störspannung gelangt über R_2 und R_4 auf die Abstimmspannung U_\mathrm{R}. C_\mathrm{D} und damit die Resonanzfrequenz schwanken im Takt der Störung. Der Empfänger wird ständig leicht verstimmt, was als Störgeräusch oder Lautstärkeschwankung hörbar wird.

c) Ges.: Begründung zur Wahl von C_5

Der Kondensator soll im Querzweig die Störanteile kurzschließen. Bei 100 kHz und darüber ist der Blindwiderstand von C_5 winzig, wirksam bleiben vor allem sein Ersatzserienwiderstand (ESR) und die Induktivität der Anschlüsse. Ein kleiner ESR hält die Restwelligkeit klein. Ein Keramikkondensator mit sehr kleiner Eigeninduktivität übernimmt zusätzlich die hohen Frequenzen (Oberschwingungen, Schaltspitzen), bei denen der Elko bereits induktiv wirkt.

Geg.: L_2 = 250\ \mu\text{H}; C_\mathrm{D} = 200\ \text{pF} (bei U_\mathrm{R} = 2{,}0\ \text{V}); C_\mathrm{T1} = 65\ \text{pF}; C_\mathrm{T10} = 12\ \text{pF}; f_0 \approx 712\ \text{kHz} (aus 7.4 b)

a) Ges.: f_1, F_1 (die Eingangskapazität liegt parallel zu C_\mathrm{D})

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} f_1 & = & \dfrac{1}{2\pi\sqrt{L_2 \cdot (C_\mathrm{D} + C_\mathrm{T1})}} = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{250 \cdot 10^{-6}\ \text{H} \cdot 265 \cdot 10^{-12}\ \text{F}}} & \\ f_1 & \approx & \underline{\underline{618\ \text{kHz}}} & \end{array}

F_1 = \frac{f_1 - f_0}{f_0} \cdot 100\ \% = \frac{618\ \text{kHz} - 712\ \text{kHz}}{712\ \text{kHz}} \cdot 100\ \% \approx \underline{\underline{-13{,}2\ \%}}

Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: F_1 \approx -13{,}1\ \%.

b) Ges.: F_{10}

f_{10} = \frac{1}{2\pi\sqrt{250 \cdot 10^{-6}\ \text{H} \cdot 212 \cdot 10^{-12}\ \text{F}}} \approx 691\ \text{kHz}

F_{10} = \frac{691\ \text{kHz} - 712\ \text{kHz}}{712\ \text{kHz}} \cdot 100\ \% \approx \underline{\underline{-2{,}95\ \%}}

Ohne gerundete Zwischenergebnisse ergibt sich: F_{10} \approx -2{,}87\ \%.

c) Ges.: Entscheidung mit Begründung

Der \underline{\underline{\text{10 : 1-Tastkopf}}} ist besser geeignet. Seine kleine Eingangskapazität verstimmt den Kreis nur um knapp 3 % statt um rund 13 %. Sein Eingangswiderstand von 10 MΩ liegt parallel zum Schwingkreis und dämpft ihn weniger als 1 MΩ; die Güte sinkt weniger, und die gemessene Spannung wird kaum verfälscht. Dafür ist das Signal am Bildschirm zehnfach abgeschwächt, was bei der Einstellung der Ablenkung zu berücksichtigen ist.

Richtige Antwort: 2

Geg.: Spule L_2 mit Haube aus Aluminium; C_\mathrm{D} unverändert

Ges.: Änderung von L_2, Q und f_0

Das Wechselfeld der Spule induziert im Aluminium Wirbelströme. Ihr Gegenfeld schwächt das Streufeld, das die Spule umgibt. Dadurch sinkt der magnetische Fluss bei gleichem Strom: L_2 wird \underline{\underline{\text{kleiner}}}, und mit f_0 = 1/(2\pi\sqrt{L_2 C_\mathrm{D}}) steigt die Resonanzfrequenz. Die Wirbelströme erwärmen das Blech; diese Verluste wirken wie ein zusätzlicher Verlustwiderstand, die Güte sinkt.

Damit ist Antwort 2 richtig. Antworten 1 und 5 behandeln Aluminium wie einen ferromagnetischen Kern, der die Induktivität erhöhen würde. Antwort 3 übersieht die Wirbelstromverluste. Antwort 4 übersieht, dass das Streufeld der Spule bis in die Haube reicht. Darum hält man zwischen Spule und Haube einen Abstand ein und gleicht den Kreis nach dem Aufsetzen neu ab.

Richtige Antwort: 3

Geg.: f_\mathrm{N} = 4{,}000\ \text{MHz}; Toleranz \pm 30\ \text{ppm}

Ges.: \Delta f_\mathrm{max}

\Delta f_\mathrm{max} = f_\mathrm{N} \cdot 30 \cdot 10^{-6} = 4{,}000 \cdot 10^{6}\ \text{Hz} \cdot 30 \cdot 10^{-6} = \underline{\underline{120\ \text{Hz}}}

Die Frequenz liegt also zwischen 3 999 880 Hz und 4 000 120 Hz. Damit ist Antwort 3 richtig.

Typische Fehler: Antwort 2 liest „30 ppm“ als 30 Hz. Antwort 4 rechnet mit 10^{-5}, Antwort 1 mit 10^{-7} statt 10^{-6}. Antwort 5 setzt ppm mit Promille (10^{-3}) gleich. Über die Temperaturdrift sagt diese Angabe nichts; sie steht im Datenblatt gesondert, ebenfalls in ppm.

Geg.: f = 4{,}00\ \text{MHz}; Q_\mathrm{Quarz} = 50\,000; L = 10{,}0\ \mu\text{H}; R_\mathrm{V} = 2{,}00\ \Omega

a) Ges.: C

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} f_0 & = & \dfrac{1}{2\pi\sqrt{L C}} & \color{gray}{\cdot 2\pi\sqrt{LC}} \\ f_0 \cdot 2\pi\sqrt{LC} & = & 1 & \color{gray}{:(2\pi f_0)} \\ \sqrt{LC} & = & \dfrac{1}{2\pi f_0} & \color{gray}{(\ )^2} \\ LC & = & \dfrac{1}{4\pi^2 f_0^2} & \color{gray}{:L} \\ C & = & \dfrac{1}{4\pi^2 f_0^2 L} = \dfrac{1}{4\pi^2 \cdot (4{,}00 \cdot 10^{6}\ \text{Hz})^2 \cdot 10{,}0 \cdot 10^{-6}\ \text{H}} & \\ C & \approx & \underline{\underline{158\ \text{pF}}} & \end{array}

b) Ges.: Q_\mathrm{LC}, B_\mathrm{LC}

\begin{aligned} &\text{(I)} && Q = \frac{X_0}{R_\mathrm{V}} \\ &\text{(II)} && X_0 = 2\pi f L \\ &\text{(III)} && B = \frac{f}{Q} \end{aligned}

II in I:

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} Q_\mathrm{LC} & = & \dfrac{2\pi f L}{R_\mathrm{V}} = \dfrac{2\pi \cdot 4{,}00 \cdot 10^{6}\ \text{Hz} \cdot 10{,}0 \cdot 10^{-6}\ \text{H}}{2{,}00\ \Omega} & \\ Q_\mathrm{LC} & \approx & \underline{\underline{126}} & \end{array}

II in I in III:

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} B_\mathrm{LC} & = & \dfrac{f}{2\pi f L / R_\mathrm{V}} = \dfrac{R_\mathrm{V}}{2\pi L} = \dfrac{2{,}00\ \Omega}{2\pi \cdot 10{,}0 \cdot 10^{-6}\ \text{H}} & \\ B_\mathrm{LC} & \approx & \underline{\underline{31{,}8\ \text{kHz}}} & \end{array}

c) Ges.: B_\mathrm{Quarz}

\def\arraystretch{2.3} \begin{array}{rcl|l} B_\mathrm{Quarz} & = & \dfrac{f}{Q_\mathrm{Quarz}} = \dfrac{4{,}00 \cdot 10^{6}\ \text{Hz}}{50\,000} & \\ B_\mathrm{Quarz} & = & \underline{\underline{80{,}0\ \text{Hz}}} & \end{array}

d) Ges.: Beurteilung

Die Bandbreite des LC-Kreises ist rund 400-mal so groß wie die des Quarzes. Der Oszillator kann damit in einem viel breiteren Bereich schwingen. Hinzu kommen Bauteiltoleranzen sowie die Temperatur- und Alterungsdrift von L und C. Für einen Testaufbau ist der LC-Kreis brauchbar. Als dauerhafter Ersatz eignet er sich nicht, wenn eine genaue Taktfrequenz benötigt wird (z. B. Zeitmessung, serielle Schnittstellen, Frequenzanzeige).