Übungsaufgaben zur linearen Regression

Kopiere den Text in ein KI-Sprachmodell Deiner Wahl und passe Kompetenzstufe, Anzahl, Bearbeitungszeit und Szenario bei Bedarf an. Wie die Aufgaben aufgebaut sind, beschreibt der Artikel Wie sind die Aufgaben aufgebaut?. Prüfe die Ergebnisse mit dem Lehrartikel: KI-Sprachmodelle machen Fehler.

Erstelle neue Übungsaufgaben zum Thema „Prognosen mit linearer
Regression“.

Bauplan: Halte Dich an Aufbau, Kompetenzstufen, Operatoren,
Anforderungsbereiche, Punkte und Zeitschätzung, die im Artikel
https://oer-informatik.de/aufgaben-aufbau beschrieben sind.

Fachliche Grundlage:
- https://oer-informatik.de/regression
- https://oer-informatik.de/datenauswertung-statistik
- https://oer-informatik.de/maschinelles-lernen
- Stilbeispiel: https://oer-informatik.de/regression-uebungsaufgaben

Die Aufgaben sollen Inhalte zu diesen Schlagwörtern abdecken:
- lineare Regression
- Regressionsgerade
- Prognose
- Residuen
- Residuendiagramm
- Ausreißer
- Methode der kleinsten Quadrate
- Bestimmtheitsmaß
- Extrapolation

Kompetenzstufe: Profilkompetenz (alternativ: Basiskompetenz, Kernkompetenz, Expertise)
Anzahl: 1 Aufgabe mit Teilaufgaben
Bearbeitungszeit in Minuten ca.: <5 bis 30 min>
Szenario: eines der Szenarien aus dem Bauplan

Vorgehen:
1. Lies zuerst die verlinkten Artikel. Kannst Du keine Webseiten
   abrufen, sag mir das, statt zu raten.
2. Steht bei einer Angabe noch ein Platzhalter in <…>, frag mich
   zuerst danach. Richte Punkte und Zahl der Teilaufgaben nach der
   Bearbeitungszeit (ca. 0,9 min je Punkt).
3. Gib je Aufgabe Titel mit Kompetenzstufe, Ausgangssituation und
   Teilaufgaben mit Operator und Punktzahl aus, dazu die geschätzte
   Bearbeitungszeit.
4. Gib die Beispiellösungen mit Punkteverteilung erst aus, wenn ich
   danach frage.

Rechenweg am Beispiel x = 50: ŷ = −1,9 min + 0,14 min/Person · 50 Personen = 5,1 min; ε = 3,5 min − 5,1 min = −1,6 min.

Ein positives Residuum heißt: Die gemessene Wartezeit war länger, als die Gerade vorhersagt. Bei 80 Ankünften standen die Gäste im Schnitt 2,7 Minuten länger an, als das Modell behauptet – die Gerade unterschätzt dort die Wartezeit.

Bewertung: Rechenweg 1 P, Prognosen 2 P, Residuen 2 P, Deutung des Vorzeichens 1 P. Die Summe der Residuen ist hier −0,2 min statt genau 0, weil Emre die Koeffizienten gerundet hat.

Muster: Bei wenigen Ankünften (10, 20) und bei 80 Ankünften liegen die Residuen über der Nulllinie, dazwischen alle darunter. Die Punkte bilden ein U. Die Abweichungen sind also nicht zufällig verteilt, sondern hängen systematisch von x ab: Die Wartezeit wächst nicht gleichmäßig, sondern immer schneller, je mehr Personen ankommen.

Bewertung: Achsen mit Beschriftung und Nulllinie 1 P, Residuen richtig eingetragen 2 P, Muster beschrieben 1 P, Schluss „systematisch, nicht linear“ 1 P.

• R² gibt an, welcher Anteil der Streuung der Wartezeiten durch die Gerade erklärt wird. Ein hoher Wert entsteht schon, wenn die Werte insgesamt steigen – er sagt nicht, ob eine Gerade die richtige Form ist (1 P).

• Das U-förmige Residuenmuster zeigt einen systematischen Fehler: Der Zusammenhang ist gekrümmt, die Gerade liegt im mittleren Bereich zu hoch und an den Rändern zu niedrig (1 P).

• Für 10 Ankünfte sagt die Gerade −0,5 min Wartezeit voraus. Eine negative Wartezeit ist unmöglich – ein weiteres Zeichen, dass das Modell am Rand nicht trägt (1 P).

• Urteil: R² ≈ 0,83 stützt Emres Aussage nicht. Für eine Planung gerade am oberen Rand der Messwerte ist die Gerade ungeeignet (1 P).

Mit der Geraden (2 P): ŷ = β₀ + β₁ · x nach x umstellen:

x = \frac{\hat{y} - \beta_0}{\beta_1} = \frac{10\ \text{min} - (-1{,}9\ \text{min})}{0{,}14\ \frac{\text{min}}{\text{Person}}} = \underline{\underline{85\ \text{Personen}}}\ \text{je 10 min}

Aus den Messwerten (1 P): Die 10 Minuten liegen zwischen (70 | 7,5) und (80 | 12,0):

x = 70 + 10 \cdot \frac{10{,}0 - 7{,}5}{12{,}0 - 7{,}5} \approx 75{,}6 \quad\Rightarrow\quad \underline{\underline{\text{etwa 75 Personen}}}\ \text{je 10 min}

Entscheidung (2 P): Nach der Geraden wären 80 Ankünfte unkritisch (ŷ = 9,3 min). Gemessen wurden bei genau dieser Rate aber 12 Minuten Wartezeit – die Grenze von 10 Minuten wird schon ab etwa 75 Ankünften überschritten. Maßgeblich sind die Messwerte, denn die Gerade unterschätzt die Wartezeit gerade dort, wo es eng wird. Zwei Terminals reichen also nicht; die Orga sollte ein drittes Terminal (mit Badge-Drucker) einplanen oder die Ankünfte entzerren, z. B. durch Zeitfenster auf dem Ticket.

1. Nicht sinnvoll: Für den Wert gibt es keinen Hinweis auf einen Messfehler, er setzt den Trend der vorherigen Werte fort. Er liegt außerdem genau im Bereich, für den geplant wird. Wer ihn löscht, schönt die Daten (1 P).

2. Nicht sinnvoll für diese Frage: Die neue Gerade beschreibt den unteren Bereich besser, wird aber flacher. Für 80 Ankünfte wäre das eine Extrapolation, die die Wartezeit noch stärker unterschätzt (1 P).

3. Sinnvoll: Ein gekrümmtes Modell (Polynomregression) kann das immer schnellere Wachstum abbilden. Ob es passt, zeigt ein Residuendiagramm ohne erkennbares Muster. Bei nur acht Werten bleibt das Modell aber unsicher (1 P).

4. Sinnvoll: Gemessen wird dann genau in der Situation und dem Bereich, für die geplant wird; zusätzlich zeigt sich, wie viel ein drittes Terminal bringt. Daten aus dem relevanten Bereich ersetzen jede Extrapolation (1 P).

• Fehler: Die Argumente sind vertauscht. STEIGUNG und ACHSENABSCHNITT erwarten zuerst die y-Werte (Zielgröße), dann die x-Werte. Natalia hat also die Zahl der Optionen aus der Montagezeit vorhergesagt (1 P).

• Prüfung an den Ergebnissen: Mit 0,044 und −1,377 ergäben 2 Optionen eine Montagezeit von etwa −1,3 min, gemessen wurden 95 min. Die Werte passen nur als „Optionen je Minute“ – eine Steigung von etwa 0,044 Optionen je Minute Montagezeit (1 P).

• Korrigiert: =STEIGUNG(C2:C10; B2:B10) und =ACHSENABSCHNITT(C2:C10; B2:B10). Sie liefern β₁ ≈ 11,042 min/Option und β₀ ≈ 86,250 min (1 P).

• R² ist das Quadrat des Korrelationskoeffizienten r. Die Formel für r ist in x und y symmetrisch, deshalb ändert das Vertauschen nichts an F4 (1 P).

Mittelwerte (1 P): x̄ = 38 / 8 = 4,75 Optionen; ȳ = 1050 min / 8 = 131,25 min

Abweichungen und Produkte 2 P, Summen 1 P. Kontrolle: Die Summen der Abweichungen vom Mittelwert sind 0.

\beta_1 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum (x_i - \bar{x})^2} = \frac{392{,}5\ \text{Option} \cdot \text{min}}{31{,}5\ \text{Option}^2} \approx \underline{\underline{12{,}460\ \frac{\text{min}}{\text{Option}}}}

\beta_0 = \bar{y} - \beta_1 \cdot \bar{x} = 131{,}25\ \text{min} - 12{,}460\ \frac{\text{min}}{\text{Option}} \cdot 4{,}75\ \text{Optionen} \approx \underline{\underline{72{,}063\ \text{min}}}

β₁ 1,5 P, β₀ 1,5 P. Wer mit dem gerundeten β₁ weiterrechnet, erhält β₀ ≈ 72,065 min – ebenfalls richtig. Die Gerade lautet ŷ ≈ 72,063 min + 12,460 min/Option · x.

• Vergleich (2 P): Rad 5 liegt weit über den anderen Rädern mit vier Optionen und zieht die Gerade in der Mitte nach oben. Mit Rad 5 ist sie flacher (11,042 statt 12,460 min/Option) und beginnt höher (86,250 statt 72,063 min). R² sinkt von 0,981 auf 0,484: Mit Rad 5 erklärt das Modell nur noch knapp die Hälfte der Streuung.

• Entscheidung (2 P): Für die Planung eignet sich das Modell ohne Rad 5. Die lange Montagezeit hat eine dokumentierte Ursache (Rahmentausch nach Transportschaden), die mit den Sonderoptionen nichts zu tun hat und nicht regelmäßig auftritt. Ein Wert darf nicht entfernt werden, nur weil er stört – hier ist der Grund aber belegt. Das Weglassen gehört in die Dokumentation, und für solche Störungen braucht die Werkstatt eine eigene Zeitreserve.

1. Nur eingeschränkt richtig: β₀ ist die vom Modell geschätzte Grundmontagezeit für 0 Optionen. Gemessen wurden aber nur Räder mit 2 bis 8 Optionen, der Wert ist also eine Extrapolation und keine zugesicherte Zeit (1 P).

2. Falsch: β₁ ist ein Durchschnitt über alle Optionsarten. Ein Regenverdeck kostet vermutlich deutlich mehr Zeit als ein zusätzliches Schloss. Ein einheitlicher Zuschlag wäre für manche Optionen zu hoch, für andere zu niedrig. Besser: Montagezeiten je Optionsart erfassen, z. B. für eine multiple Regression (1 P).

3. Falsch: R² misst nur, wie gut die Gerade zu den Daten passt. Ein Zusammenhang beweist keine Ursache – Räder mit vielen Optionen könnten z. B. auch häufiger eine aufwendige Rahmenform haben (1 P).

4. Richtig: ŷ = 72,063 min + 12,460 min/Option · 5 Optionen ≈ 134,363 min; Residuum ε = 140 min − 134,363 min ≈ 5,637 min (1 P).

Residuen ε = y − ŷ mit ŷ = 72,063 + 12,460 · x (2 P):

Puffer (1 P): Das größte positive Residuum hat Rad 6 mit 5,637 min. Mit diesem Puffer hätte jedes Rad in sein Zeitfenster gepasst.

Zeitfenster für sechs Optionen (1 P):

\hat{y}(6) + \text{Puffer} = 72{,}063\ \text{min} + 12{,}460\ \frac{\text{min}}{\text{Option}} \cdot 6\ \text{Optionen} + 5{,}637\ \text{min} \approx 152{,}460\ \text{min} \ \Rightarrow\ \underline{\underline{155\ \text{min}}}

Beurteilung für zwölf Optionen (1 P): Das Modell liefert ŷ(12) ≈ 221,583 min. Zwölf Optionen liegen weit außerhalb der gemessenen 2 bis 8 Optionen – das ist eine Extrapolation. Ob der Zusammenhang dort noch linear ist, weiß niemand, und der Puffer stammt aus nur acht Rädern im gemessenen Bereich. Für solche Räder sollte Bastian großzügiger planen und die tatsächliche Zeit erfassen, um das Modell zu erweitern.