Übungsaufgaben zum Klassifizieren mit Trenngeraden, kNN und Entscheidungsbäumen

Kopiere den Text in ein KI-Sprachmodell Deiner Wahl und passe Kompetenzstufe, Anzahl, Bearbeitungszeit und Szenario bei Bedarf an. Wie die Aufgaben aufgebaut sind, beschreibt der Artikel Wie sind die Aufgaben aufgebaut?. Prüfe die Ergebnisse mit dem Lehrartikel: KI-Sprachmodelle machen Fehler.

Erstelle neue Übungsaufgaben zum Thema „Klassifizieren mit Trenngeraden,
kNN und Entscheidungsbäumen“.

Bauplan: Halte Dich an Aufbau, Kompetenzstufen, Operatoren,
Anforderungsbereiche, Punkte und Zeitschätzung, die im Artikel
https://oer-informatik.de/aufgaben-aufbau beschrieben sind.

Fachliche Grundlage:
- https://oer-informatik.de/klassifikation-knn
- https://oer-informatik.de/maschinelles-lernen
- Stilbeispiel: https://oer-informatik.de/klassifikation-knn-uebungsaufgaben

Die Aufgaben sollen Inhalte zu diesen Schlagwörtern abdecken:
- Klassifikation
- Trenngerade
- Geradengleichung
- Trefferquote
- k-nächste Nachbarn
- kNN
- euklidische Distanz
- Normalisierung
- Entscheidungsbaum
- ID3

Kompetenzstufe: Profilkompetenz (alternativ: Basiskompetenz, Kernkompetenz, Expertise)
Anzahl: 1 Aufgabe mit Teilaufgaben
Bearbeitungszeit in Minuten ca.: <5 bis 30 min>
Szenario: eines der Szenarien aus dem Bauplan

Vorgehen:
1. Lies zuerst die verlinkten Artikel. Kannst Du keine Webseiten
   abrufen, sag mir das, statt zu raten.
2. Steht bei einer Angabe noch ein Platzhalter in <…>, frag mich
   zuerst danach. Richte Punkte und Zahl der Teilaufgaben nach der
   Bearbeitungszeit (ca. 0,9 min je Punkt).
3. Gib je Aufgabe Titel mit Kompetenzstufe, Ausgangssituation und
   Teilaufgaben mit Operator und Punktzahl aus, dazu die geschätzte
   Bearbeitungszeit.
4. Gib die Beispiellösungen mit Punkteverteilung erst aus, wenn ich
   danach frage.

Geg.: S_1 = (120 \mid 74), S_2 = (240 \mid 92)

Ges.: m und b der Geraden y = m \cdot x + b

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{92 - 74}{240 - 120} = \frac{18}{120} = 0{,}15

b = y_1 - m \cdot x_1 = 74 - 0{,}15 \cdot 120 = 74 - 18 = 56

\underline{\underline{y = 0{,}15x + 56}}

Probe mit S_2: 0{,}15 \cdot 240 + 56 = 92, stimmt. Zum Skizzieren genügt die Verbindung von S1 und S2, verlängert über die ganze Achse (z. B. von (80 | 68) bis (260 | 95)); die Lage ist in der Grafik zu Teilaufgabe c zu sehen.

• Steigung 0,15: Je Milliohm mehr Innenwiderstand liegt die Grenze um 0,15 Prozentpunkte Restkapazität höher, je 10 mΩ also um 1,5 Prozentpunkte. Ein Akku mit hohem Innenwiderstand muss demnach noch mehr Restkapazität haben, um als stabil zu gelten.
• Achsenabschnitt 56: Er wäre die Grenze bei 0 mΩ. Einen Akku ohne Innenwiderstand gibt es nicht, und die Daten beginnen erst bei etwa 90 mΩ. Der Wert ist nur ein Rechenwert der Geraden; außerhalb des gemessenen Bereichs darf man die Regel nicht anwenden (Extrapolation).

Bewertung: 1 Punkt Steigung, 1 Punkt Achsenabschnitt, 1 Punkt Funktionsvorschrift mit Rechenweg, 1 Punkt Skizze, je 1 Punkt für die beiden Deutungen.

Test mit dem stabilen Trainingsakku (140 | 96): grenze = 0,15 · 140 + 56 = 77, g = 96 − 77 = +19. Die Funktion liefert „kritisch“, obwohl der Akku stabil war. Ebenso wird der kritische Akku (200 | 76) mit g = 76 − 86 = −10 als „stabil“ ausgegeben.

Fehler: Die Seiten sind vertauscht. Die stabilen Akkus liegen oberhalb der Geraden (g > 0), die kritischen unterhalb (g < 0). Das ergibt sich aus den Trainingsdaten, nicht aus der Formel.

def einstufen(widerstand_mohm: float, kapazitaet_prozent: float) -> str:
    grenze = M * widerstand_mohm + B
    g = kapazitaet_prozent - grenze
    if g > 0:
        return "stabil"
    return "kritisch"          # auch g == 0: im Zweifel lieber prüfen

Festlegung für g = 0: „kritisch“. Ein Akku genau an der Grenze ist unsicher; eine zusätzliche Prüfung kostet wenig, ein übersehener Ausfall bedeutet für die Kundschaft eine Panne unterwegs. (Eine andere Festlegung ist mit schlüssiger Begründung ebenfalls richtig.)

Bewertung: 1 Punkt Test mit konkretem Akku, 1 Punkt Fehlerbeschreibung, 1 Punkt korrigierter Code, 1 Punkt Festlegung mit Begründung.

\text{Trefferquote} = \frac{6}{8} = \underline{\underline{75\,\%}}

• übersehen: 1 kritischer Akku (T3); von 4 kritischen Testakkus werden also 3 erkannt.
• unnötig gemeldet: 1 stabiler Akku (T4).

Bewertung: 3 Punkte für die acht Einstufungen (je zwei richtige 1 Punkt, Rechenweg über g erkennbar), 1 Punkt eigene, übersichtliche Tabelle, 1 Punkt Trefferquote, je 1 Punkt für die beiden Fehlerarten.

• Testakkus: Die Grenze steigt überall um 3. T3 erhält g = 89 − 89,75 = −0,75 und wird jetzt als kritisch erkannt. Alle übrigen Einstufungen bleiben gleich (T1 +2,75, T6 +3, T8 +3,75 bleiben stabil; T4 bleibt unnötig gemeldet). Trefferquote 7/8 = 87,5 %, kein kritischer Testakku wird übersehen.
• Trainingsakkus: Der stabile Akku (150 | 80) liegt nun mit g = 80 − 81,5 = −1,5 unterhalb und würde unnötig gemeldet. Auf den Trainingsdaten entsteht also ein Fehler, den die ursprüngliche Gerade nicht hatte.
• Unabhängigkeit: Die Verschiebung wurde gewählt, weil sie bei T3 hilft. Damit sind die Testdaten in die Festlegung der Geraden eingeflossen; die 87,5 % sind zu optimistisch. Für eine ehrliche Aussage braucht es neue, bisher unbenutzte Akkus.
• Bewertung: Die Richtung ist fachlich nachvollziehbar, weil ein übersehener kritischer Akku teurer ist als eine zusätzliche Prüfung. Die Werkstatt kann die Verschiebung übernehmen, sollte sie aber als bewusste Vorsichtsregel kennzeichnen und mit weiteren Akkus überprüfen.

Bewertung: 1 Punkt neue Einstufung von T3, 1 Punkt neue Trefferquote, 1 Punkt Wirkung auf Trainingsakkus, 1 Punkt Unabhängigkeit der Testdaten, 1 Punkt begründetes Fazit.

Spannweiten: Vorlauf 20 − 1 = 19 Tage, Mietdauer 50 − 2 = 48 h, frühere Ausleihen 8 − 0 = 8.

d(N, R5) = \sqrt{0{,}0249 + 0{,}0069 + 0{,}1406} = \sqrt{0{,}1724} \approx \underline{\underline{0{,}415}}

d(N, R6) = \sqrt{0{,}0111 + 0{,}1406 + 0{,}0156} = \sqrt{0{,}1673} \approx \underline{\underline{0{,}409}}

Bewertung: 1 Punkt Spannweiten, 1 Punkt normierte Differenzen, je 1 Punkt für Quadratsumme und Wurzel jeder Distanz.

Reihenfolge: R2 (0,275, verfallen), R6 (0,409, verfallen), R5 (0,415, abgeholt), R3 (0,462, abgeholt), R8 (0,619, verfallen), R1 (0,802, abgeholt), R4 (0,860, verfallen), R7 (1,253, abgeholt).

• k = 1: R2 → verfallen
• k = 3: R2, R6, R5 → 2 : 1 → verfallen
• k = 5: R2, R6, R5, R3, R8 → 3 : 2 → verfallen

Für N wird also eine Erinnerung gesendet. R6 und R5 liegen sehr dicht beieinander; schon kleine Rundungsunterschiede könnten ihre Reihenfolge ändern, für k = 3 und 5 bliebe das Ergebnis aber gleich.

Bewertung: 1 Punkt Reihenfolge, je 1 Punkt für zwei richtige Vorhersagen (k = 1 zählt mit).

Ohne Normierung zählt jedes Merkmal in seiner eigenen Einheit. Die Mietdauer hat mit 48 h die größte Spannweite; Unterschiede von 18 h (R6) gehen mit 324 in die Summe der Quadrate ein, ein Unterschied von 3 früheren Ausleihen (R5) nur mit 9, obwohl er im Bereich 0 bis 8 schon mehr als ein Drittel der Spannweite ausmacht. R6 rückt dadurch weit nach hinten, R5 und R1 nach vorn. Die Nachbarn werden fast nur nach der Mietdauer ausgewählt.

Mehr Vertrauen verdient das normierte Ergebnis aus b), weil dort jedes Merkmal mit gleichem Gewicht eingeht. Ob alle drei Merkmale tatsächlich gleich wichtig sind, ist eine fachliche Frage, die man z. B. mit Validierungsdaten prüfen kann.

Bewertung: 2 Punkte Erklärung (dominierendes Merkmal, Wirkung auf die Rangfolge), 1 Punkt begründete Entscheidung.

• Wahl k = 7: Auf den Validierungsdaten, die nicht zu den gespeicherten Trainingsdaten gehören, ist die Trefferquote hier am höchsten (84 %). k = 7 ist außerdem ungerade, bei zwei Klassen gibt es also kein Unentschieden. (k = 9 mit 83 % wäre mit dieser Begründung ebenfalls vertretbar.)
• Kleine k (1, 3): Einzelne, untypische Reservierungen in der Nähe bestimmen das Ergebnis, das Modell passt sich zu stark an (Overfitting).
• Große k (13, 15): Weit entfernte, unähnliche Reservierungen stimmen mit; die Vorhersage wird unspezifisch (Underfitting).
• 100 % bei k = 1 auf den Trainingsdaten: Jeder Trainingspunkt ist sein eigener nächster Nachbar (Distanz 0) und „sagt“ deshalb immer seine eigene Klasse voraus. Das misst nur das Auswendiglernen, nicht die Leistung bei neuen Reservierungen.

Bewertung: 1 Punkt Wahl, 1 Punkt Begründung über die Validierungsdaten, 1 Punkt ungerades k, 1 Punkt Einordnung zu kleiner bzw. zu großer k, 1 Punkt Erklärung der 100 %.

Die Stationen haben keine natürliche Reihenfolge. Mit 1, 2, 3 wäre der Abstand Hauptbahnhof–Universität 1, Hauptbahnhof–Altstadt aber 2. Reservierungen an Hauptbahnhof und Altstadt würden also als doppelt so verschieden gelten, nur weil die Zahlen zufällig so vergeben wurden.

Besser ist die One-Hot-Kodierung mit drei 0/1-Spalten:

Jedes Paar verschiedener Stationen hat dann denselben Abstand \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}. Die Werte liegen wie die normierten Merkmale zwischen 0 und 1.

Bewertung: 1 Punkt Problem der Reihenfolge mit Abstandsbeispiel, 1 Punkt One-Hot-Kodierung, 1 Punkt gleiche Abstände bzw. passende Größenordnung.

Alle Reservierungen: 4 abgeholt, 4 verfallen → H(S) = 1.

• Buchungsweg: App 5 Reservierungen (4 abgeholt : 1 verfallen), H = -0{,}8 \log_2 0{,}8 - 0{,}2 \log_2 0{,}2 \approx 0{,}722; Telefon 3 (0 : 3), H = 0. IG = 1 - \left(\frac{5}{8} \cdot 0{,}722 + \frac{3}{8} \cdot 0\right) \approx \underline{\underline{0{,}549}}
• Abholtag: Werktag 5 (2 : 3), H ≈ 0,971; Wochenende 3 (2 : 1), H ≈ 0,918. IG = 1 - \left(\frac{5}{8} \cdot 0{,}971 + \frac{3}{8} \cdot 0{,}918\right) \approx \underline{\underline{0{,}049}}

ID3 setzt den Buchungsweg an die Wurzel. Ablesbare Regel: „Telefonisch reservierte Lastenräder verfallen“ (in diesen Daten ohne Ausnahme). Für den App-Zweig (4 : 1) muss weiter aufgeteilt werden.

Bewertung: je 1 Punkt für die beiden Informationsgewinne, 1 Punkt Wurzel, 1 Punkt Regel.

1. Trifft nicht zu. kNN speichert nur die Daten und rechnet erst bei einer Anfrage; neue Reservierungen werden einfach ergänzt. (Bei Min-Max-Normierung sollten die Spannweiten gelegentlich neu bestimmt werden.)
2. Trifft zu. Ein Baum liefert lesbare Wenn-dann-Regeln; kNN begründet eine Vorhersage nur über ähnliche Fälle, das ist weniger übersichtlich, aber nachvollziehbar.
3. Trifft nicht zu. ID3 verzweigt nach einzelnen Werten. Zahlen wie Vorlauf und Mietdauer müssen vorher in Klassen eingeteilt werden (z. B. Vorlauf „bis 7 Tage“, „mehr als 7 Tage“); die Grenzen beeinflussen den Baum.

Je Aussage 1 Punkt (Urteil mit Begründung).